福建省龙岩市上杭县西北片区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word解析版)

福建省龙岩市上杭县西北片区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是
A. B.
C. D.
将二次函数通过配方可化为的形式，结果为
A. B.
C. D.
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为
A. B. C. D. 无法确定
如图所示，已知平行四边形的两条对角线与交于平面直角坐标系的原点，点的坐标为，则点的坐标为
A. B. C. D.
如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到的，点的对应点在延长线上，连接若，则的大小是
A. B.
C. D.
关于二次函数的图象，下列说法正确的是
A. 它可由向右平移一个单位得到
B. 开口向下
C. 顶点坐标是
D. 与轴有两个交点
已知某二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是
A. B.
C. D.
已知关于的方程，下列说法正确的是
A. 当时，方程无解
B. 当时，方程有一个实数解
C. 当时，方程有两个相等的实数解
D. 当时，方程总有两个不相等的实数解
如图边长为的正方形中，为边上一点，且，为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
已知：一元二次方程有一个根为，则另一根为______．
抛物线不经过第__________象限
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，那么全组有______名同学．
如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点对应，则的大小为______．
如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得，点在边上，斜边交于点，则图中阴影部分面积为______．
已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；；其中判断正确的是______填序号
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
解下列方程：
．
．
已知抛物线与轴只有一个交点．
求的值；
求此抛物线的顶点坐标及与轴交点坐标．
在平面直角坐标系中，如图所示，，．
画出关于原点成中心对称的，
绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标为______；
是绕点旋转得到，那么的对应点的坐标为______；
上找一点，使平分的面积，利用网格在上标出点．
如图，，是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上．
请直接写出线段与线段的数量关系为______；
如图，将图中的绕点顺时针旋转角，则中的结论是否仍成立？若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由．
如图，一次函数与二次函数的图象交于、两点．
利用图中条件，求两个函数的解析式；
根据图象写出使的的取值范围．
解读诗词通过列方程算出周瑜去世时的年龄：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，
十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．
在一场足球比赛中，球员甲在球门正前方点处起脚射门，在不受阻挡的情况下，足球沿如图所示抛物线飞向球门中心线，当足球飞行的水平距离为米时，高度为米，落地点距点米．已知点距球门米，球门的横梁高为米．
求足球飞行的抛物线解析式及足球飞行过程中的最大高度．
足球能否射入球门？请通过计算说明理由．
阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接求证：．
某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明．
问题解决请你根据他们的想法写出证明过程；
学以致用如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论；
思维拓展等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______．
已知抛物线：，直线：．
求证：直线恒过抛物线的顶点；
若，，当时，二次函数的最小值为，求的取值范围．
点为抛物线的顶点，为抛物线与直线的另一个交点，当时，若线段不含端点，上至少存在一个横坐标为整数的点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据中心对称图形的定义可知，满足条件．
故选：．
利用中心对称图形的定义判断即可．
本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用．
先配方，再化成顶点式．
【解答】
解：，
即．
故选A．
3.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
解得．
故选：．
根据根的判别式，令即可求出根的判别式．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
4.【答案】
【解析】解：当时，，则，
所以若，则此方程必有一根为．
故选：．
由于时有，于是可判断此方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，为角线与的交点，
与关于原点对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
故选：．
由平行四边形的性质得出与关于原点对称，即可得出点的坐标．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，由关于原点对称的点的坐标特征得出点的坐标是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：将绕点顺时针旋转后得到的，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可知是等腰直角三角形，再利用三角形外角的性质可得．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：抛物线可以由二次函数的图象向左平移个单位得到，
故A选项不符合题意；
，所以开口向上，
故B选项不符合题意；
顶点坐标为，
故C选项不符合题意；
根据顶点坐标以及开口向上可判定与轴有两个交点，故D选项符合题意；
故选：．
由二次函数，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；平移的性质；对每个选项分析、判断即可．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．
8.【答案】
【解析】解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
抛物线满足条件．
故选：．
先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线，然后对各选项进行判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，代入的值判断方程根的情况是解题关键．利用的值，分别代入求出方程的根的情况即可．
【解答】
解：关于的方程，
A、当时，，则，故此选项错误；
B、当时，，方程有两个实数解，故此选项错误；
C、当时，，则，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；
D、，所以当且时，方程总有两个不相等的实数解，故此选项错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：过点作于，作于，
四边形是正方形，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
设，
则，，，
，
，
，
，
当时，取最小值，其最小值为，
故选：．
过点作于，作于，根据证≌，设，则，，根据勾股定理得出的表达式，求最小值即可．
本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练应用勾股定理得出关于的代数式并求出最值是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
设方程另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
【解答】
解：设方程另一根为，
根据题意得，
解得．
故答案为．
12.【答案】三
【解析】解：抛物线，
可知：抛物线不经过第三象限．
故答案为：三．
将抛物线的解析式变形为顶点式，即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式解答是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设全组有名同学，
则每名同学所赠的标本为：件，
那么名同学共赠：件，
则，
解得不合题意舍去，．
故全组共有名同学．
故答案为：．
先求每名同学赠的标本，再求名同学赠的标本，而已知全组共互赠了件，故根据等量关系可得到方程，求解即可．
本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
14.【答案】
【解析】解：如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点即为旋转中心．连接，
即为旋转角，
旋转角为
故答案为：
如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点即为旋转中心．连接，，即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
15.【答案】
【解析】解：是直角三角形，，，，
，，，
是旋转而成，
，
，
是等边三角形，
，
，，
即，
，
，
是的中位线，
，，
．
先根据已知条件求出的长及的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出的形状，进而得出的度数，由直角三角形的性质可判断出是的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴为，、异号，
，
与轴的交点在和之间，
，
，
故不正确；
抛物线轴交于点，对称轴为，
与轴的另一个交点为，
当时，，
故不正确；
对称轴为，
，即，
时，，
，
故正确；
由题意可得，方程的两个根为，，
又，即，
，
，
因此，
故正确，
，，，
，
故正确；
综上所述，正确的结论有，
故答案为：．
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
考查二次函数的图象与系数的关系，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
17.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，．
【解析】化成一般式，然后分解因式，得到两个一元一次方程，解方程即可；
化成一般式，然后分解因式，得到两个一元一次方程，解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：抛物线与轴只有一个交点，
，
整理得：，
解得：，
；
由知，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
令，则，
抛物线与轴交点坐标为．
【解析】抛物线与轴只有一个交点，说明，依此得到关于的方程，解方程即可求得的值；
把代入即可得到函数解析式，令即可求出抛物线与轴的交点坐标，再把抛物线的解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．
本题考查抛物线与轴的交点以及求函数解析式，关键是，抛物线与轴有两个交点；，抛物线与轴有乙个交点；，抛物线与轴有无交点的应用．
19.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求．
如图所示，即为所求，的坐标为，
故答案为：；
如图所示，即为所求，的坐标为，
故答案为：；
如图所示，点即为所求．
分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
分别作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
分别作出点、绕点旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可；
结合网格，以、为矩形的对角巷，其交点即为所求．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
20.【答案】
【解析】解：，
理由：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
故答案为：；
成立，
理由：和都是等腰直角三角形，，
，，
由旋转的性质可得，
在与中，
，
≌，
．
根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据等量关系可得线段与线段的关系；
根据等腰直角三角形的性质得到，，由旋转的性质可得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
考查了等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】解：由图象可知：在二次函数上，
，
，
则二次函数，
又在二次函数上，
，
，
则，
又、两点在一次函数上，
，
解得：，
则一次函数，
答：一次函数，二次函数；
根据图象可知：当时，
．
【解析】把坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式，把横坐标代入二次函数解析式即可求得点坐标；把，两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式；
应从交点看一次函数的值大于二次函数的值时的取值．
本题考查用待定系数法求函数解析式，应从两个函数的交点处看什么时候一次函数的值大于二次函数的值时的取值．
22.【答案】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得：
，
解得，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，符合题意，
答：周瑜去世时的年龄为岁．
【解析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人岁的年龄是关键．
23.【答案】解：因为抛物线过点，，
设抛物线解析式为，
将代入解析式，得
．
所以抛物线解析式为；
，
，
当时，有最大值，最大值为，
足球飞行的抛物线解析式为，足球飞行过程中的最大高度为米；
能射入球门，
由 可知，
当时，，
，所以能射入球门．
【解析】根据实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，再根据函数的性质求最值；
把代入中抛物线求出与米比较即可．
本题考查了二次函数的应用，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
24.【答案】
【解析】证明：如图，将绕点顺时针旋转到，
，，，，
，
点，点，点三点共线，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转到，
，，，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
；
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作，交的延长线于，
，，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，
，，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
由旋转的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，可得结论；
由旋转的性质可得，，，由“”可证≌，可得，可得结论；
由旋转的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的盘和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25.【答案】证明：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为．
当时，，
直线恒过抛物线的顶点．
解：，，
当时，取得最小值．
又当时，二次函数的最小值为，
，
．
解：令，则，
解得：，．
线段不含端点，上至少存在一个横坐标为整数的点，
或．
，
或．
又，
或．
【解析】利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将代入一次函数解析式中可得出点在直线上，进而可证出直线恒过抛物线的顶点；
由可得出当时取得最小值，结合当时二次函数的最小值为，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
令可得出关于的一元二次方程，解之可求出点，的横坐标，由线段不含端点，上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出或，再结合，即可求出的取值范围．
本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式，解题的关键是：利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，证出直线恒过抛物线的顶点；利用二次函数的性质结合二次函数的最值，找出关于的一元一次不等式组；令，求出点，的横坐标．第6页，共22页