6.1平面向量的概念 同步练习
A组基础巩固
1.给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.
其中是向量的有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
答案 A
解析 速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向.
2.(多选)下列命题中错误的有
A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B.向量的模是一个正实数
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.若|a|>|b|，则a>b
答案 ABD
解析 温度没有方向，所以不是向量，故A错；向量的模也可以为0，故B错；向量不可以比较大小，故D错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C对.
3.设O是△ABC的外心，则，，是( )
A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量
答案 B
解析 因为O是△ABC的外心，所以||＝||＝||.
4．若||＝||且 ＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：选C ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵||＝||，
∴平行四边形ABCD相邻两边相等，故四边形ABCD为菱形．故选C.
5.下列说法正确的是( )
A.若a∥b，则a＝b B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线 D.若a≠b，则a一定不与b共线
答案 C
解析 A中，当a∥b时，不能得到a＝b，A不正确；B中，向量的模相等，但a与b的方向不确定，B不正确；D中，a≠b，a可与b共线.
6.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
答案 2
解析 由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，
设AC与BD的交点为O，
∴在Rt△ABO中，||＝||·cos 30°＝2×＝，
∴||＝2||＝2.
7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是________.(填序号)
①与相等的向量只有1个(不含)；
②与的模相等的向量有9个(不含)；
③的模恰为的模的倍；
④与不共线.
答案 ①②③
解析 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项①②正确.而Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，因此选项③正确.由于＝，因此与是共线的，故填①②③.
8.已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
解：∵在四边形ABCD中，＝，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tan D＝，∴B＝D＝60°.又||＝||，∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
9.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移.
解 (1)向量，，，如图所示.
(2)由题意知＝，
∴AD∥BC，AD＝BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，长度为6千米”.
B组能力提升
1.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )
A.||＝|| B.与共线
C.与共线 D.＝
答案 C
2.给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选A ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和与两个向量相等的概念，|a|＝|b|只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．故选A.
3.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向
40 km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
解 (1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(km).
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(km)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东∠BAC，其中sin∠BAC＝.
C组拓展探究
1.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解 (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同.
2.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
解 (1)画出所有的向量，如图所示.
(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，
||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.6.1平面向量的概念 同步练习
A组基础巩固
1.给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.
其中是向量的有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
2.(多选)下列命题中错误的有
A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B.向量的模是一个正实数
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.若|a|>|b|，则a>b
3.设O是△ABC的外心，则，，是( )
A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量
4．若||＝||且 ＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
5.下列说法正确的是( )
A.若a∥b，则a＝b B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线 D.若a≠b，则a一定不与b共线
6.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是________.(填序号)
①与相等的向量只有1个(不含)；
②与的模相等的向量有9个(不含)；
③的模恰为的模的倍；
④与不共线.
8.已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，判断四边形ABCD的形状．
9.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移.
B组能力提升
1.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )
A.||＝|| B.与共线
C.与共线 D.＝
2.给出下列命题：①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a∥b，则|a|＝|b|.其中，正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向
40 km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
C组拓展探究
1.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
2.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
