(共33张PPT)第二课时 函数的概念(二)
设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间．
[问题] (1)如何表示列车的运行速度的范围？
(2)还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？
知识点一 区间的概念
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2．特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤3}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；
(4)R＝________；
(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；
(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2，3] (3)(－1，2)∪(2，＋∞)
(4)(－∞，＋∞) (5)[－5，－1] (6)(－∞，9)∪(9，20)
知识点二 同一个函数
前提条件 定义域相同
对应关系完全一致
结论 这两个函数是同一个函数
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．( )
(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．( )
答案：(1)× (2)√
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
答案：C
区间的应用
[例1] 将下列集合用区间以及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；(2){x|－1(3){x|2≤x≤8且x≠5}；(4){x|3[解] (1){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图①.
(2){x|－1(3){x|2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图③.
(4){x|3用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值；
(2)区间两端点之间用“，”隔开；
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
[跟踪训练]
1．(2021·辽阳高一月考)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－∞，－1)∪(－1，3] B．(－∞，3]
C．(－1，3] D．(－∞，－1)
解析：选A 要使函数f(x)＝＋有意义，则
3－x≥0，))解得x≤3且x≠－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，3]．故选A.
2．已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为________．
解析：由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1.
答案：(－∞，1)
同一个函数的判定
[例2] (多选)下列式子表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝|x|，φ(t)＝
B．y＝，y＝()2
C．y＝·，y＝
D．y＝，y＝x－3
[解析] A：f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数；
B：y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一个函数；
C：y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一个函数；
D：∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．
[答案] AC
判断两个函数是否为同一个函数的步骤
[跟踪训练]
下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
④f(x)＝x0，g(x)＝；
⑤f(x)＝(x－1)2，g(t)＝t2－2t＋1.
其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)．
解析：①f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0}，f(x)＝，g(x)＝，它们的对应关系不同，不是同一个函数；③f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一个函数；⑤虽然表示自变量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数．
答案：④⑤
求函数的值域
[例3] 求下列函数的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
(3)y＝；
(4)y＝2x＋4.
[解] (1)(直接法)∵≥0，∴－1≥－1，
∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，
把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，
∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}．
(3)(分离常数法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R，且y≠3}．
(4)(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象(图略)可得函数的值域为(－∞，4]．
求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
[跟踪训练]
1．函数y＝2x－的值域是________．
解析：设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
答案：
2．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；
(3)y＝.
解：(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤≤4，即函数y＝的值域为[0，4]．
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象(图略)可知y∈[2，11]．
(3)∵y＝＝1－，
且定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠1.
∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}．
抽象函数与复合函数的定义域
一、概念
1．抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
2．复合函数的概念
若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．
[说明] 由复合函数的定义可知，内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集，外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域．
二、结论
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；
(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；
(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
[迁移应用]
1．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域
[例1] 已知函数f(x)＝，则函数f(3x－2)的定义域为( )
A. B.
C．[－3，1] D.
[思路点拨] 解题的关键是求出函数y＝f(x)中x的范围，这个范围即为3x－2的范围，建立不等式求出自变量x的范围即可．
[解析] 由－x2＋2x＋3≥0，
解得－1≤x≤3，
即函数f(x)的定义域为[－1，3]．
由－1≤3x－2≤3，解得≤x≤，
则函数f(3x－2)的定义域为.
[答案] A
2．已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[例2] 已知f(x2－1)定义域为[0，3]，则f(x)的定义域为________．
[思路点拨] 定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－1)中x∈[0，3]，求出x2－1的范围，这个范围即为f(x)的定义域．
[解析] 根据f(x2－1)定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，
∴x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8]．
故f(x)的定义域为[－1，8]．
[答案] [－1，8]
3．已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域
[例3] 若函数f(x＋1)的定义域为，则函数f(x－1)的定义域为________．
[思路点拨] 由f(x＋1)的定义域为，即－≤x≤2，可求得≤x＋1≤3，也就是f(x)的定义域为，由此可推出≤x－1≤3，进而求出x的范围即为f(x－1)的定义域．
[解析] 由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为，∴≤x－1≤3，解得≤x≤4.
故f(x－1)的定义域是.
[答案]
1．不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
解析：选B 不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．
2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
解析：选B y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域为________．
解析：由题图易知函数的值域为[－4，3]．
答案：[－4，3]
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9(共27张PPT)函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象、数学建模
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，值域 数学抽象、数学运算
第一课时 函数的概念(一)
某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8 m/s2.
[问题] (1)时间t和物体下落的距离s有何限制？
(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
(3)下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
知识点 函数的概念
概念 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
对函数概念的再理解
(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；
(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
1．在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
提示：确定．
2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？
提示：不一定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( )
(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )
(4)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
3．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．
答案：{x|x<4}
4．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________．
解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.
答案：2
函数关系的判断
[例1] (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍
[解析] (1)①中，因为在集合M中当1(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.
[答案] (1)B (2)AD
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应．
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[注意] 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
[跟踪训练]
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
解析：选B A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，但在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中也找不到与之相对应的数．
2．下列各题中的对应关系是不是实数集R上的函数？为什么？
(1)f：把x对应到3x＋1；
(2)g：把x对应到|x|＋1；
(3)h：把x对应到；
(4)r：把x对应到.
解：(1)是，它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任意的x∈R，3x＋1是唯一确定．
(2)是，理由同上．
(3)不是，当x＝0时，无意义．
(4)不是，当x<0时，无意义．
求已知函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝·；
(2)y＝(x－1)0＋.
[解] (1)由题意得， x＝1，
∴函数的定义域为{1}．
(2)由题意得，解得x>－1，且x≠1，
∴函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)的定义域为{x|－2≤x≤2}，函数g(x)＝，则函数g(x)的定义域为( )
A. B．{x|x>－1}
C. D.
解析：选A 由题可得解得－2．求下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
1－x≥0.))
解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
|x|－3≠0，))
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
求函数值
[例3] 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．
[解析] ∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
[答案]
求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)＝，则当f(x)＝2时，x的取值为( )
A．－4 B．4
C．－10 D．10
解析：选C 令＝2，则x＝－10，故选C.
2．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．
解析：因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1.
又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16.
答案：16
1．(多选)下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y2＝4x D．y2＝x2
解析：选CD 选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义．故选C、D.
2．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：选D 由题意可知解得0≤x≤1.
3．已知函数f(x)＝x2－mx＋n，且f(1)＝－1，f(n)＝m，求f(x)及f[f(－1)]．
解：由题意知解得
所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1.
f(f(－1))＝f(1)＝－1.
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7(共35张PPT)第二课时 分段函数
某市空调公共汽车的票价按下列规则实施：
(1)5千米以内(包含5千米)，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站之间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)共有11个汽车站．
[问题] (1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)是函数关系吗？
(2)若是函数关系，则函数的表达式是什么？
知识点 分段函数
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
2．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
对分段函数的再理解
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式；
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( )
(2)函数f(x)＝
－x＋3，x>1))是分段函数．( )
(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( )
(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为 .( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．已知f(x)＝则f(－2)＝________．
答案：2
3．函数y＝的定义域为________________，值域为____________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
4．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是________(填序号)．
答案：④
分段函数求值问题
[例1] 已知函数f(x)＝求f(－5)，f(1)，f.
[解] 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去；当－22．(变设问)本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．
解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是{x|x<2}．
1．求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)＝则f＝( )
A. B．4
C．3 D．－3
解析：选A 依题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则f＝f＝1－＝.故选A.
2．已知f(x)＝
x2－4x，x>0，))若f(a)≤－3，则实数a的取值范围为( )
A．[－3，－1]∪[1，3] B．(－3，－1]∪[1，3)
C．[－2，－1]∪[1，2] D．[－3，3]
解析：选A 当a≤0时，a2＋4a≤－3，a∈[－3，－1]；当a>0时，a2－4a≤－3，a∈[1，3]．因此，a∈[－3，－1]∪[1，3]．故选A.
3．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
A．－3 B．±3
C．－1 D．±1
解析：选D ∵f(－1)＝＝1，∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2，∴f(a)＝1，即或解得a＝1或a＝－1.∴a＝±1.
分段函数的图象及应用
[例2] (链接教科书第68页例6)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，x∈R，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析法表示函数φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域、值域．
[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟踪训练]
1.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________________．
解析：由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
将(－1，0)，(0，1)代入解析式，
则∴
∴f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，
将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.
即f(x)＝
答案：f(x)＝
2．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)．
分段函数的应用问题
[例3] (链接教科书第69页例7)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
[解] (1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]，
g(x)＝
(2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得x＝15，
即当12≤x<15时，f(x)当x＝15时，f(x)＝g(x)，
当15g(x)．
②当20g(x)，
故当12≤x<15时，选A俱乐部合算，
当x＝15时，两家俱乐部一样合算，
当15分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
[跟踪训练]
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准．
解：(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0)．
将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)．
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，得解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．
函数图象的变换(探究型)
1．函数图象的平移变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(x＋a)及y＝f(x)＋a(a≠0)的图象有怎样的关系呢？我们先来看一个例子：
作出函数y＝x2，y＝(x＋1)2，y＝x2－1的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中，它们的图象如图所示．
观察图象可知，y＝(x＋1)2的图象可由y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到；y＝x2－1的图象可由y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到．
由此得到如下规律：
(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“左加右减”；
(2)函数y＝f(x)＋a的图象是由函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到的，即“上加下减”．
2．函数图象的对称变换
函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)，y＝－f(x)及y＝－f(－x)的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子：
作出函数y＝，y＝，y＝，y＝－的图象，观察它们之间有怎样的关系．
在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝，③y＝与④y＝的图象的一部分，如图所示．
观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于x轴的对称变换得到；y＝的图象可由y＝的图象作关于原点的对称变换得到．
由此可得如下规律：
函数图象的对称变换包括以下内容：
(1)y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2)y＝－f(x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于x轴的对称变换得到；
(3)y＝－f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象作关于原点的对称变换得到．
3．函数图象的翻折变换
函数图象的翻折变换是指函数y＝f(x)与y＝|f(x)|，y＝f(|x|)的图象间的关系．
函数y＝f(x)的图象与y＝|f(x)|及y＝f(|x|)的图象又有怎样的关系呢？我们再来看一个例子：
作出函数y＝|x2－2x－3|及y＝x2－2|x|－3的图象，观察它们与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系．
事实上，y＝|x2－2x－3|＝
y＝x2－2|x|－3＝
在不同的平面直角坐标系中，分别作出y＝|x2－2x－3|与y＝x2－2|x|－3的图象，如图(1)(2)所示．
通过观察两个图象可知，y＝|x2－2x－3|的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在x轴上及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到y＝|x2－2x－3|的图象．y＝x2－2|x|－3的图象可由y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持y＝x2－2x－3的图象在y轴上及其右侧的部分不变，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象，则这两部分就构成了y＝x2－2|x|－3的图象．
由此可得如下规律：
(1)要作y＝|f(x)|的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将x轴上及其上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称地翻折上去即可；
(2)要作y＝f(|x|)的图象，可先作y＝f(x)的图象，然后将y轴上及其右侧的图象不动，y轴左侧的图象换成将y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象即可．
1．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B．3
C. D.
解析：选D 由题意得f(3)＝，从而f(f(3))＝f＝＋1＝.
2．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：选AD 对于B，取x＝2，得f(2)＝3或4，对于C，取x＝1，f(1)＝5或1，所以B、C都不合题意，故选A、D.
3．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
解析：选B 法一：函数的解析式可化为y＝画出此分段函数的图象，故选B.
法二：由f(－1)＝2，知图象过点(－1，2)，排除A、C、D.
4．已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(a)＝，求a的值．
解：(1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(a)＝，若|a|≤1，则|a－1|－2＝，
得a＝或a＝－.
因为|a|≤1，所以a的值不存在；
若|a|>1，则＝，得a＝±，符合|a|>1.
所以若f(a)＝，a的值为±.
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解析法H就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
的
表/列表法就是列出表格来
示两个变量之间的对应关
就是用图象表示两个变量之间的对应关系函数的表示法
新课程标准解读 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用 数学抽象、直观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、数学运算
第一课时 函数的表示法
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x h后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
[问题] 根据初中所学知识，说出上述分别是用什么法表示函数的？
知识点 函数的表示方法
函数三种表示法的优缺点比较
1．函数y＝f(x)的关系如下表，则f(11)＝( )
x 0y 2 3 4 5
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝( )
A．2 B．4
C．0 D．3
答案：C
3．若反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝－
函数的表示法
[例1] (链接教科书第67页例4)某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系y＝f(x)．
[解] (1)用列表法可将函数y＝f(x)表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
(2)用图象法可将函数y＝f(x)表示为
(3)用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．
1．函数的三种表示法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
2．用三种表示法表示函数时的注意点
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
[跟踪训练]
1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
解析：选C 这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14(℃)，故C错误．
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________．
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1 1
函数图象的作法及应用
[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)．
[解] (1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图①，观察图象可知，其值域为[1，5]．
(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图②，观察图象可知其值域为(0，1]．
描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
[注意] 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
解：(1)f(x)图象的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]．
函数解析式的求法
角度一 用待定系数法求函数解析式
[例3] 已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
∴
2b＝－4，
2a＋2c＝0，))∴
b＝－2，
c＝－1，))
∴f(x)＝x2－2x－1.
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
角度二 用换元法(配凑法)求函数解析式
[例4] 求下列函数的解析式：
(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．
[解] (1)法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.
换元法、配凑法求函数解析式
已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，有两种方法：
(1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式．
利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域；
(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
角度三 用方程组法求函数解析式
[例5] 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)的解析式．
[解] 在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代换x，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
则
消去f(－x)，可得f(x)＝x－1.
方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x)．
[跟踪训练]
1．(2021·福建三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(－1)＝0，f(0)＝－2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2x＋2 B．f(x)＝－2x－2
C．f(x)＝2x－2 D．f(x)＝－2x＋2
解析：选B 设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，依题意得解得k＝b＝－2，所以f(x)＝－2x－2.故选B.
2．已知f＝＋，求f(x)的解析式．
解：令t＝＝＋1，则x＝(t≠1)，
把x＝代入f＝＋，得
f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 由函数y＝g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
2．已知f＝，则当x≠0，1时，f(x)＝( )
A. B.
C. D.－1
解析：选B 令＝t，则x＝(t≠0，且t≠1)，代入f＝，则有f(t)＝＝，∴f(x)＝，故选B.
3．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5，4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
4．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以解得
所以f(x)＝x2＋1.
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