(共24张PPT)(共20张PPT)第二课时 分数指数幂、无理数指数幂
某大型国企2020年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20年，该企业每一年的生产总值是上一年的倍．据此回答下列问题．
[问题] (1)一年后，该企业的生产总值是多少？
(2)五年后，该企业的生产总值是多少？
知识点 指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂 规定：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
1．分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．
2．正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
3．把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
为什么分数指数幂的底数规定a>0
提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；
②当a＝0时，a0无意义．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)＝x(x>0)．( )
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．( )
(3)0的任何指数幂都等于0.( )
(4)化简式子[(－)2]的结果是.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列运算中正确的是( )
A．a2a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)5＝－a10
答案：D
3．将下列根式与分数指数幂进行互化a＝________；a＝________．
答案：
根式与分数指数幂的互化
[例1] (链接教科书第106页例3)用根式或分数指数幂表示下列各式：a，a(a>0)，，(a>0), (a>0)．
[解] a＝；a＝(a>0)；＝a＝a2；
＝＝a (a>0); ＝ ＝ ＝a(a>0)．
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子；
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
[跟踪训练]
1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)x＝________；(2)x＝________；(3)x－y＝________．
答案：(1) (2) (3)
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；(2)a3·；(3)()－(b>0)．
解：(1)＝＝a－.
(2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(3)(eq \r(4,b)) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b))\s\up6(\f(1,4))))eq \s\up12(－\f(2,3))＝beq \s\up12(－××)＝b.
指数幂的运算
[例2] (链接教科书第106页例2、例4)计算下列各式：
(1)＋2－2×－0.010.5；
(2)0.064－＋[(－2)3]＋16－0.75；
(3)·(a>0，b>0)．
[解] (1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(3)原式＝·a·a·b·b＝a0b0＝.
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
[跟踪训练]
1．计算：(1)＋8＋(－1)0；
(2)216＋－343－.
解：(1)原式＝2＋(23)＋1＝2＋22＋1＝7.
(2)原式＝(63)＋32－(73)－(5－3)
＝36＋9－7－5＝33.
2．化简下列各式：
(1)(x·y·z－1)·(x－1·y·z3) (x>0，y>0，z>0)；
(2)eq \f(\r(3,a·eq \r(a),a)＋(a－＋1)0.
解：(1)原式＝(xyz－1)·(xyz－1)＝xeq \s\up12(＋)·yeq \s\up12(－)·z－1－1＝xz－2.
(2)原式＝＋1＝1＋1＝2.
条件求值问题
[例3] (链接教科书第110页习题8题)已知a＋a－＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解] (1)将a＋a＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，a2－a－2＝________．
解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
答案：±3
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
(1)a±2ab＋b＝(a±b)2；
(2)a－b＝(a＋b)(a－b)；
(3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)；
(4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．
[跟踪训练]
已知x＝，y＝，求－的值．
解：－＝－＝.
因为x＝，y＝，
所以原式＝＝－24＝－8.
1．将5写为根式，正确的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 5＝.
2．计算：(－27)×9＝( )
A．－3 B．－
C．3 D.
解析：选D (－27)×9＝[(－3)3]×(32) ＝(－3)2×3－3＝9×＝.故选D.
3．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B ∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝＝.
4．若10x＝3，10y＝，则102x－y＝________．
解析：102x－y＝(10x)2÷10y＝(3)2÷＝3÷3＝.
答案：
5. －＋ 的值为________．
解析：原式＝ － ＋ ＝－＋＝.
答案：
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6无理数指数幂及其运算性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值 数学抽象、数学运算
2.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质 数学抽象、数学运算
第一课时 n次方根
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．
[问题] 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎样表示？
知识点 n次方根
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a<0 x在实数范围内不存在
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数；
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①()n＝；
②＝
1．在根式符号中，注意以下几点：
(1)n>1，n∈N*；
(2)当n为奇数时，对任意a∈R都有意义；
(3)当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义．
2.与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a；
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) ＝.( )
(2)的运算结果是±2.( )
(3)81的4次方根是±3.( )
(4)当n为大于1的奇数时， 对任意a∈R都有意义．( )
(5)当n为大于1的偶数时， 只有a≥0时才有意义．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．在① ；② ；③；④(n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是________(填序号)．
解析：(－4)2n>0，故①有意义；(－4)2n＋1<0，故②无意义；③显然有意义；当a<0时，a5<0，此时无意义，故④不一定有意义．
答案：①③
3．当x<0时，x＋＋＝________．
答案：1
n次方根的概念
[例1] (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________；
(2)已知x7＝6，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，
∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，
则需x－2≥0，即x≥2.
因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[答案] (1)±4 (2) (3)[2，＋∞)
判断关于n次方根的注意点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
[跟踪训练]
1．(多选)已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子，其中有意义的是( )
A. B.
C. D.
解析：选BCD ∵－22n<0，∴无意义，B、C、D都有意义．
2．若 ＝ ，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ＝|3a－1|, ＝1－3a.因为|3a－1|＝1－3a，故3a－1≤0，所以a≤.
利用根式的性质化简与求值
[例2] (链接教科书第105页例1)化简与求值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) － (x≤－3)．
[解] (1) ＝－5.
(2) ＝＝＝3.
(3)∵a≤，∴1－2a≥0，
∴ ＝ ＝＝.
(4)∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
－ ＝ －＝|x－1|－|x＋3|＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简；
(2)注意点：①正确区分()n与；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
[跟踪训练]
1．计算 ＋4＝________．
解析：原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29.
答案：29
2．当有意义时，化简－的结果是________．
解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，
所以原式＝ －＝(2－x)－(3－x)＝－1.
答案：－1
1．a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．已知：n∈N，n>1，那么等于( )
A．5 B．－5
C．－5或5 D．不能确定
解析：选A ＝＝5.
3．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
解析：选B ∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.
4．若2
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
解析：选C 原式＝|2－a|＋|3－a|，∵25．求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
解：
＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3，3]．
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