(共22张PPT)对数
新课程标准解读 核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算 数学运算
4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
[问题] 依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？
知识点一 对数的概念
1．定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数与自然对数
对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子logmN中，底数m的范围是什么？
提示：m>0且m≠1.
2．对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数式log32与log23的意义一样．( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为________．
答案：logaM＝2
3．把对数式loga49＝2写成指数式为________．
答案：a2＝49
知识点二 对数的基本性质
1．负数和0没有对数；
2．loga1＝(a>0，且a≠1)；
3．logaa＝(a>0，且a≠1)．
1．log3＝0，则x＝________．
答案：3
2．ln(lg 10)＝________．
答案：0
指数式与对数式的互化
[例1] (链接教科书第122页例1)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝； (2)＝16；
(3)log27＝－3; (4)log64＝－6.
[解] (1)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(2)∵＝16，∴log16＝－2.
(3)∵log27＝－3，∴＝27.
(4)∵logeq \s\do9()64＝－6，∴()－6＝64.
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟踪训练]
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)log x＝6；
(3)43＝64; (4)3－3＝.
解：(1)因为log216＝4，所以24＝16.
(2)因为logeq \s\do9()x＝6，所以()6＝x.
(3)因为43＝64，所以log464＝3.
(4)因为3－3＝，所以log3＝－3.
对数的计算
[例2] (链接教科书第123页例2)求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x.
[解] (1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂；
(2)已知指数与幂，用指数式求底数；
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
[跟踪训练]
求下列各式中的x值：
(1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.
解：(1)∵log2x＝，∴x＝2，∴x＝.
(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，∴x＝4.
(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，∴x＝3.
对数的性质
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
[解] (1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625.
[母题探究]
(变条件)本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
利用对数的基本性质求以下]2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值；
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
[跟踪训练]
求下列各式中的x的值：
(1)log8[log7(log2x)]＝0；
(2)log2[log3(log2x)]＝1；
(3)3log3(log4(log5x))＝1.
解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，
即log2x＝7，∴x＝27.
(2)由log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
(3)由3log3(log4(log5x))＝1可得log4(log5x)＝1，
故log5x＝4，∴x＝54＝625.
1．将＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．log9＝－2
C．log(－2)＝9 D．log9(－2)＝
解析：选B 根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
2．在b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5)
C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4)
解析：选C 由对数的定义知解得2
3．(多选)下列各式中正确的有( )
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝100
D．若log25x＝，则x＝±5
解析：选AB 对于A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为log25x＝，所以25＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B.
4．已知logx16＝2，则x等于( )
A．4 B．±4
C．256 D．2
解析：选A 由logx16＝2，得x2＝16又x>0，
∴x＝4.
5．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．
解析：∵4a＝2，∴a＝.∵lg x＝a，∴x＝10a＝.
答案：
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5(共26张PPT)对数的运算
对数是指数的另一种表达形式．对数运算是指数运算的逆运算，我们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数的运算性质？
[问题] 计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？
(1)log2(4×8)，log24＋log28；
(2)log2，log232－log24；
(3)log225，5log22.
知识点一 对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( )
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．log84＋log82＝________．
解析：log84＋log82＝log8(4×2)＝log88＝1.
答案：1
3．log510－log52＝________．
解析：log510－log52＝log5＝log55＝1.
答案：1
知识点二 换底公式
1．换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．几个常用推论
(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
1.＝________．
解析：＝log39＝2.
答案：2
2．log29·log32＝________．
解析：log29·log32＝·＝＝2.
答案：2
对数式的运算
[例1] (链接教科书第124页例3)求下列各式的值：
(1)log2(49×26)；
(2)lg；
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[解] (1)log2(49×26)＝log249＋log226＝9log24＋6log22＝9×2＋6×1＝24.
(2)lg＝lg 1 000＝lg 1 000＝×3＝.
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[跟踪训练]
1．(2021·温州高一检测)lg＝( )
A．－4 B．4
C．10 D．－10
解析：选A lg＝lg＝lg 1－lg 104＝－4.
2．已知ab>0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lg＝lg a－lg b；③lg＝lg；④lg(ab)＝.其中正确的是________(填序号)．
解析：①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1.只有③式成立．
答案：③
3．化简下列各式：
(1)4lg 2＋3lg 5－lg ；
(2).
解：(1)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.
(2)原式＝＝＝.
对数换底公式的应用
[例2] (链接教科书第126页练习3题)计算：
(1)log29·log34；
(2).
[解] (1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝log×log 9
＝×＝×＝－.
利用换底公式求值的思想与注意点
[跟踪训练]
1．式子log32·log227的值为( )
A．2 B．3
C. D．－3
解析：选B log32·log227＝·＝＝log327＝3，故选B.
2．若log2x·log34·log59＝8，则x等于( )
A．8 B．25
C．16 D．4
解析：选B ∵log2x·log34·log59＝××＝××＝8，∴lg x＝2lg 5，∴x＝25.
3．已知log32＝a，则log3218用a表示为________．
解析：因为log32＝a，所以log23＝，所以log3218＝log2(2×32)＝(1＋2log23)＝＝.
答案：
对数式的实际应用
[例3] 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
[解] (1)由已知得y＝20lg (其中P0＝2×10－5)．
(2)当P＝0.002 时，
y＝20lg ＝20lg 102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良．
解决对数应用题的一般步骤
[跟踪训练]
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
解析：选A 由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1.
1．计算2log63＋log64的结果是( )
A．2 B．log62
C．log63 D．3
解析：选A 2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
2．已知3x＝log12(3y)＋log12(y>0)，则x的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：选B 3x＝log12(3y)＋log12＝log1212＝1，所以x＝0，故选B.
3．已知log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A. B．9
C．18 D．27
解析：选B ∵log34·log48·log8m＝··＝＝2，∴lg m＝2lg 3，∴m＝9.
4．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：
①(logax)n＝nlogax；
②(logax)n＝logaxn；
③logax＝－loga；
④ ＝logax；
⑤＝loga.
其中正确的是________．
解析：根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M＞0，a＞0，且a≠1)知③与⑤正确．
答案：③⑤
5．计算：＝________．
解析：原式＝
＝
＝＝＝＝1.
答案：1
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