(共36张PPT)任意角
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角 数学抽象
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合 数学抽象
3.了解象限角的概念 数学抽象
奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩声．跳水(Diving)是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转体，并以特定动作入水的运动．
[问题] 如果跳水运动员在空中顺时针连续转体一周半，那么运动员转过的角度是多少？
知识点一 任意角的概念
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示
如图，①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．
3．角的分类
名称 定义 图形
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．
2．正角、负角、零角是根据什么区分的？
提示：根据组成角的射线的旋转方向．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)小于90°的角都是锐角．( )
(2)终边与始边重合的角为零角．( )
(3)大于90°的角都是钝角．( )
(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列说法正确的是( )
A．最大的角是180° B．最大的角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
答案：D
3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．
答案：390° －150° 60°
知识点二 角的加法
1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．
2．设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．
3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．
下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．
解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.
在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.
同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.
答案：①④ ②③
知识点三 象限角与终边相同的角
1．象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．各象限角的集合
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解
(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；
(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；
(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)终边相同的角一定相等．( )
(2)－30°是第四象限角．( )
(3)第二象限角是钝角．( )
(4)225°是第三象限角．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．与 610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)( )
A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
答案：B
3．－179°角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
任意角的概念
[例1] (多选)下列说法正确的是( )
A．锐角都是第一象限角
B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角
D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
[解析] 锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；
－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；
0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：
由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．
[答案] AD
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．
[跟踪训练]
1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析：选B 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B.
2．下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③钝角比第三象限角小．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故③不正确．
答案：②
终边相同的角的表示
[例2] (链接教科书第170页例2)已知角α＝2 021°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；
(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．
[解] (1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．
(2)与2 021°角终边相同的角为k·360°＋2 021°，k∈Z.令－360°≤k·360°＋2 021°＜360°，k∈Z，∴k可取－6，－5，将k的值代入k·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.
(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.
终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[跟踪训练]
1．(2021·吉林省实验中学高一月考)将－880°化为α＋k×360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．160°＋(－3)×360° B．200°＋(－2)×360°
C．160°＋(－2)×360° D．200°＋(－3)×360°
解析：选D 易知－880°＝200°＋(－3)×360°，故选D.
2．在直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；
(2)终边在y＝x(x≥0)上．
解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
象限角的判定
[例3] (链接教科书第170页例1)(1)(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
[解析] 第二象限角α需满足k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A、B、C.
[答案] ABC
(2)已知α是第二象限角，求角所在的象限．
[解] ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°<这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得
n·360°＋225°<这表明是第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
[母题探究]
1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？
解：∵k·360°<α∴k·180°<当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<∴是第一象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋180°<∴是第三象限角．
∴是第一或第三象限角．
1．给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．
2．分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；
(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．
[跟踪训练]
1．－1 060°的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边落在第一象限．
2．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C 因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z，
所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，则－k·360°＋180°＜180°－α＜－k·360°＋270°，k∈Z，
当k＝0时，180°＜180°－α＜270°，故180°－α为第三象限角．
1．已知集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析：选D 集合A中锐角θ满足0°<θ<90°；集合B中θ<90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°<θ2．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为( )
A．－480° B．－240°
C．150° D．480°
解析：选D 由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为480°，∴α＝480°.
3．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________．
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.
又180°＜α＜360°，∴α＝270°.
答案：270°
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正角的弧度数是
数
弧度数
负角的弧度数是一个负数
零角的弧度数是0
弧度数弧度制
新课程标准解读 核心素养
1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 数学抽象、数学运算
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数的一一对应关系 数学抽象
3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用 数学运算
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念．欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算．
[问题] 按照上述定义30°是多少弧度？
知识点一 度量角的两种制度
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．
2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．
知识点二 角度制与弧度制的换算
1．弧度数的计算
2．弧度与角度的换算
1．一个角的度数是否对应一个弧度数？
提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．
2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( )
(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.( )
(4)1 rad的角比1°的角要大．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是
B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
D.化成度是15°
答案：ABD
知识点三 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR；
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2．
在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm)．( )
(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．( )
答案：(1)× (2)×
2．已知扇形的半径r＝30，圆心角α＝，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．
答案：5π 75π
角度与弧度的换算
[例1] (链接教科书第173页例4)将下列角度与弧度进行互化：
(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.
[解] (1)π＝×180°＝15 330°.
(2)－＝－×180°＝－105°.
(3)10°＝10×＝.
(4)－855°＝－855×＝－.
角度制与弧度制的互化原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算；
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝°；n°＝n· rad.
[注意] 用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
[跟踪训练]
1．把下列弧度化为角度：
(1)＝________；
(2)－＝________．
解析：(1)＝°＝690°.
(2)－＝－°＝－390°.
答案：(1)690° (2)－390°
2．把下列角度化为弧度：
(1)－1 500°＝________；
(2)67°30′＝________．
解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π.
(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.
答案：(1)－ (2)
用弧度制表示角的集合
[例2] (链接教科书第175页练习3题)把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．
(1)－；(2)－1 485°.
[解] (1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，
它是第四象限角，与终边相同的角的集合为.
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
[注意] (1)注意角度与弧度不能混用；
(2)各终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
[跟踪训练]
1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
解析：选D ∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，
∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D.
2．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.(k∈Z)
解析：选D 阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)．
扇形的弧长公式及面积公式的应用
[例3] (链接科书第174页例6)若扇形的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，则扇形圆心角(正角)的弧度数为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设扇形的半径为r，圆心角为α(0＜α＜2π)，
由题意，得
由②得，r＝，③
把③代入①，得2α2－17α＋8＝0.
解得α＝或α＝8(舍去)．
故扇形圆心角的弧度数为.
[答案] A
关于弧度制下扇形问题的解决方法
(1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；
(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．
[跟踪训练]
1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.
答案：4 6π
2．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，
所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.
所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.
扇形的弧长公式的应用
如图，点P，Q从点A(4，0)同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.
[问题探究]
1．点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s.
2．点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，
∴点P走过的弧长为·4＝，点Q走过的弧长为×4＝.
3．若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s．所以第一次相遇时用了12 s.
[迁移应用]
某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．设秒针端点A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关于时间t(s)的函数，其中t∈[0，60]．
解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，
∴秒针端点A转过的路程为d＝|α|·r＝(cm)，
∴形成的扇形面积为S＝|α|·r2＝(cm2)，
∴d＝(t∈[0，60])，S＝(t∈[0，60])．
1.对应的角度为( )
A．75° B．125°
C．135° D．155°
解析：选C 由于1 rad＝°，
所以＝π×°＝135°，故选C.
2．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A.π cm B.π cm
C.π cm D.π cm
解析：选A 根据弧长公式，得l＝×8＝(cm)．
3．与角终边相同的角是( )
A.
B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ－(k∈Z)
D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
解析：选B A错误，＝2π＋，与角的终边不同；B正确，2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)上的角为，与角有相同的终边；C错误，2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同；D错误，(2k＋1)π＋，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)上的角为，与角的终边不同．
4.用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．
解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)．
答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z}
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