(共38张PPT)
A
B三角函数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号 数学抽象、数学运算
2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题 逻辑推理、数学运算
初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数值为两个边长的比值．
[问题] 如图所示，以单位圆的圆心O为原点，建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？
知识点一 任意角的三角函数的定义
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α
余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α
正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan_α(x≠0)
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z
三角函数的定义
(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；
(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)如图所示，sin α＝y.( )
(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知角α的终边经过点，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________．
答案：－ －
知识点二 三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )
(2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( )
答案：(1)√ (2)×
2．若sin α<0且cos α<0，则角α为第________象限角．
答案：三
知识点三 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：
sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.
根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？
提示：终边相同的角的同一三角函数值相等．
诱导公式一的结构特点
(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α；
(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；
(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z.
三角函数的定义及应用
[例1] (链接教科书第179页例2)(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sin αcos β＝( )
A．－ B．－
C. D.
(2)设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cos α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点和，
故由定义知sin α＝，cos β＝－，
∴sin αcos β＝×＝－.
(2)∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.
即 ＝1，解得a＝±.
∵a<0，∴a＝－.
∴P点的坐标为.
∴sin α＝－，cos α＝.
∴sin α＋2cos α＝－＋2×＝.
[答案] (1)B (2)A
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：
(1)若已知角α终边上一点P(x，y)是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)；
(2)若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上的点，则首先求r＝ ，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)；
(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；
(4)参数问题：若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．
[跟踪训练]
1．已知角α的终边上一点P(m, )，且cos α＝，则m＝________．
解析：由题意得x＝m，y＝ ，∴r＝|OP|＝ ，
∴cos α＝＝＝，很明显m>0，
解得m＝ .
答案：
2．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．
解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，
则解得即P，
所以sin α＝y＝，cos α＝x＝.
三角函数值符号的判定
[例2] (链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)．
[解析] (1)依题意得
由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；
当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意．故选B.
(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.
[答案] (1)B (2)>
正弦、余弦函数值的正负规律
[跟踪训练]
1．(多选)给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选ABCD 因为－100°角是第三象限角，所以sin(－100°)＜0；因为－220°角是第二象限角，所以cos(－220°)＜0；因为－10∈，所以角－10是第二象限角，所以tan(－10)＜0；cos π＝－1＜0.故选A、B、C、D.
2．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析：选C ∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
诱导公式一的应用
[例3] (链接教科书第181页例5)求下列各式的值．
(1)cos＋tan；
(2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)．
[解] (1)因为cos＝cos＝cos＝，
tan＝tan＝tan＝1，
所以cos＋tan＝＋1＝.
(2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝，
cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝，
sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝，
cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝，
所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝×＋×＝1.
利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤
[跟踪训练]
计算：
(1)sin(－1 380°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)cos＋tan.
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋60°)×cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)×sin(2×360°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
三角函数在单位圆中的几何表示及应用
设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图①，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A为原点建立y′轴与y轴同向，y′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T′)，如图②，则tan α＝AT(或AT′)．
我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．
[问题探究]
1．设角α＝x rad，且0提示： 我们先给x一个具体的值来进行比较：取x＝，则sin x＝，tan x＝.因为＝<，所以sin<.又tan＝＝>，所以tan >.从而可得sin <2．你在第1问中得到的大小关系是否对区间上的任意x都成立？
提示：设角α的顶点与圆心O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图所示．过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位圆的切线AT，交α的终边于点T，连接AP，则MP＝sin x，AT＝tan x，S△OAP因为S△OAP＝OA·MP＝sin x，
S扇形AOP＝x·12＝x，
S△OAT＝OA·AT＝tan x，
所以sin x即sin x因此当x∈时，sin x[迁移应用]
在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
解：(1)如图①所示，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
.
(2)如图②所示，作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为.
1．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝在第二象限，
∴x＝cos ＝－，y＝sin＝，
∴P.
2．sin 1 140°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选B sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝.
3．(多选)若角α的终边过点(－3，－2)，则下列结论正确的是( )
A．sin αtan α＜0 B．cos αtan α＞0
C．sin αcos α＞0 D．sin αcos α＜0
解析：选AC ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，
∴sin αtan α＜0，cos αtan α＜0，sin αcos α＞0，故选A、C.
4．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是_______．
解析：由题意，得tan 420°＝－，即tan 60°＝－，解得a＝－4.
答案：－4
5．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°＝________．
解析：原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°＝4.
答案：4
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9(共29张PPT)同角三角函数的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x 逻辑推理、数学运算
2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题 逻辑推理、数学运算
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系．如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．
[问题] 你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
知识点 同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系 ＝tan_α 同一个角α的正弦、余弦的等于角α的正切
基本关系式的变形公式
sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对 x∈R，sin24x＋cos24x＝1.( )
(2)对 x∈R，tan x＝.( )
(3)若cos α＝0，则sin α＝1.( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．化简 的结果是( )
A．cos B．－cos
C．sin D．－sin
答案：A
3．已知cos α＝－，α∈，则tan α＝________．
答案：
4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于________．
答案：1
利用同角基本关系式求值
角度一 已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值
[例1] (链接教科书第183页例6)(1)已知sin α＝，求cos α，tan α 的值；
(2)已知α∈，tan α＝2，求cos α的值．
[解] (1)∵sin α＝＞0，∴α是第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝＝＝，tan α＝＝；
当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－.
(2)由已知得
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝，又α∈ ，∴cos α＜0，
∴cos α＝－.
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解：
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解：
[注意] 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．
角度二 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值
[例2] 已知tan α＝2.
(1)求的值；
(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
[解] (1)法一(代入法)：∵tan α＝2，
∴＝2，∴sin α＝2cos α.
∴＝＝－.
法二(弦化切)：∵tan α＝2.
∴＝＝＝＝－.
(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
[跟踪训练]
1．已知tan α＝－，<α<π，则sin α＝( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选D 由tan α＝＝－，得cos α＝－2sin α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.
因为<α<π，所以sin α＝.故选D.
2．已知＝，求下列各式的值：
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
解：∵＝，
∴＝，解得tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝＝－.
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[例3] 已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值；
(2)求sin α－cos α的值．
[解] (1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，
sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，sin αcos α＝－.
(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，
所以sin α＞0，cos α＜0 sin α－cos α＞0.
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
[注意] 求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
[跟踪训练]
1．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选C 由已知得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.故选C.
2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－，求sin θ－cos θ.
解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－<0，
∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0.
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝ ＝.
利用同角三角函数的关系化简与证明
角度一 三角函数式的化简
[例4] (链接教科书第184页练习4题)化简－.
[解] －
＝
＝＝＝－2tan2α.
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
角度二 三角恒等式的证明
[例5] 求证：＝.
[证明] 法一：左边＝
＝＝＝＝右边．
所以等式成立．
法二：右边＝＝
＝
＝＝左边．
所以等式成立．
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“＝1”．
[跟踪训练]
1．化简：＋(1＋tan2α)cos2α.
解：原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α＝1＋1＝2.
2．求证：＝.
证明：∵右边＝
＝
＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
1．已知sin θ＝，θ∈，则tan θ＝( )
A．－2 B．－
C．－ D．－
解析：选D ∵sin θ＝，θ∈，
∴cos θ＝－＝－，
∴tan θ＝＝＝－.
2．化简：＝________．
解析：原式＝
＝ ＝|cos 40°－sin 40°|
＝cos 40°－sin 40°.
答案：cos 40°－sin 40°
3．化简：(1－cos α)．
解：(1－cos α)
＝(1－cos α)
＝·(1－cos α)
＝＝＝sin α.
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