(共29张PPT)第二课时 诱导公式五、六
我们容易计算像0、、这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？
[问题] (1)－α与α的终边有什么关系？
(2)如何求＋α的三角函数值？
知识点 诱导公式五、六
1．诱导公式五、六
2．诱导公式五、六可用语言概括
(1)函数值：±α的正弦(余弦)值，分别等于α的余弦(正弦)函数值；
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
公式五、六的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；
(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )
(3)cos＝－sin α.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
答案：C
3．若α∈，sin＝，则cos α＝________．
答案：
4．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)＝________．
答案：－
利用诱导公式求值
[例1] (1)已知tan α＝3，求的值；
(2)已知sin＝，求cos·sin的值．
[解] (1)
＝＝
＝＝2.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝sin·sin＝×＝.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；
(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．
[跟踪训练]
1．已知sin(π＋α)＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 由sin(π＋α)＝得sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝，故选A.
2．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵＋α－＝，∴cos＝sin＝sin＝－sin＝－.
利用诱导公式化简
[例2] (链接教科书第193页例4)化简：
－.
[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，
cos＝cos＝cos＝－sin α，
sin＝sin＝－sin
＝－cos α，
tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，
∴原式＝－＝－＋
＝＝＝1.
用诱导公式进行化简时的注意点
(1)化简后项数尽可能的少；
(2)函数的种类尽可能的少；
(3)分母不含三角函数的符号；
(4)能求值的一定要求值；
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[跟踪训练]
化简：(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解：(1)原式＝·sin(－sin α)
＝·(－sin α)
＝·(－cos α)(－sin α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos－sincos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋sincos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
利用诱导公式证明恒等式
[例3] 求证：
＝－tan α.
[证明] 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
[跟踪训练]
求证：＝.
证明：左边＝
＝
＝
＝
＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原等式成立．
诱导公式的综合应用
[例4] 已知函数
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值．
[解] (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)f＝－cos＝sin α，因为f(α)·f＝－，所以cos α·sin α＝，可得＝(sin α－cos α)2＝，由≤α≤，得cos α>sin α，所以f(α)＋f＝sin α－cos α＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
[跟踪训练]
已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，
则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α
＝－＝－.
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．若cos(α＋π)＝－，则sin＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 因为cos(α＋π)＝－cos α＝－，所以cos α＝.所以sin＝cos α＝.
3．sin 95°＋cos 175°的值为________．
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)
＝cos 5°－cos 5°＝0.
答案：0
4．求证：＝sin θ.
证明：左边＝
＝＝sin θ＝右边．
∴原等式成立．
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7(共29张PPT)诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简与证明、求值问题转化为锐角三角函数的化简与证明、求值问题 数学运算、逻辑推理
第一课时 诱导公式二、三、四
“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：是以圆心为对称中心的中心对称图形；又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
[问题] 你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
知识点 诱导公式二、三、四
1．公式二
终边关系 图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式 sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα
2．公式三
终边关系 图示
角－α与角α的终边关于 x轴对称
公式 sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tan α
3．公式四
终边关系 图示
角π－α与角α的终边关于 y轴对称
公式 sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα
诱导公式的记忆方法与口诀
(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；
(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．
“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．( )
(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．( )
(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( )
(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．( )
(5)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．已知cos(π＋θ)＝，则cos θ＝( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________．
答案：－4
4．cos(－30°)＝________，sin＝________．
答案：
给角求值问题
[例1] (链接教科书第189页例1)求下列各三角函数值：
(1)cos；(2)tan(－855°)；(3)tan＋sin.
[解] (1)cos＝cos＝cos
＝cos
＝－cos＝－.
(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝tan＋sin
＝－tan－sin＝－1－
＝－.
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[跟踪训练]
计算：(1)sin；
(2)sin(－60°)＋cos 225°＋tan 135°；
(3)sin·cos·tan.
解：(1)原式＝－sin＝－sin＝－sin＝－.
(2)原式＝－sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－－cos 45°－tan 45°
＝－－－1
＝－.
(3)原式＝sincostan
＝－sincostan
＝－××1＝－.
化简求值问题
[例2] (链接教科书第190页例2)化简：
(1)；
(2).
[解] (1)原式＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝－1.
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[跟踪训练]
化简：(1)；
(2)(n∈Z)．
解：(1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝－.
给值(式)求值问题
[例3] (2021·济宁一中月考)已知cos＝，求cos－sin2的值．
[解] 因为cos
＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝sin2
＝1－cos2＝1－＝，
所以cos－sin2
＝－－＝－.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求：cos－sin2的值．
解：cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－－＝－.
2．(变条件、变设问)将本例中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
解：由题意知cos＝，求cos＋sin2的值．
因为cos＝cos＝
－cos＝－，
sin2＝1－cos2＝
1－＝，
所以cos＋sin2
＝－＋＝.
解决条件求值问题的两技巧
[跟踪训练]
1．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B ∵sin(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α，
∴sin α＝－，又α是第四象限角，
∴cos(α－2π)＝cos α＝
＝ ＝.
2．已知tan＝，则tan的值为________．
解析：tan＝－tan
＝－tan＝－.
答案：－
1．cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选A 由诱导公式可知cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故选A.
2．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝＝，
∴tan 70°＝＝ .
3．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β
解析：选C 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.
4．化简：·tan(2π－α)＝________．
解析：原式＝·tan(－α)
＝·＝－1.
答案：－1
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