纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行
2022届12月份高三数学二轮专题复习导数压轴题最优解讲义答案
1. 解：方法一：放缩（取对数思想和指数函数切线放缩）
因为（取到等号条件“”）， 所以
所以，即实数的取值范围为.
方法二：换元法
设，，函数单调递增
因为函数有两个不同的零点
所以有两个解，设，
导函数，令，
① 当时，，函数单调递增；②当时，，函数单调递减.
所以函数的最小值为，即
综上所述：实数的取值范围为.
方法三：利用临界值状态解题（平移后的黄金函数）
因为函数有两个不同的零点
所以函数与有两个交点，根据单调性函数关系图像如下：
设，则①；②
所以（给予图像证明），所以，所以
根据平移性可知：，即实数的取值范围为.
2. 情景铺垫：
本题用到了求导判断单调区间和定点切线问题，隐零点问题（关键为卡根问题）和方程的根与函数零点的关系，本题是比较综合问题，难度稍微大一些。
解题过程：
解：① 当时，函数，导函数
所以在单调递增，A不正确；
，，所以在处的切线为，B不正确
② 当时，函数，导函数
设，导函数
因为，，所以
所以在存在唯一极小值点
所以
所以，即，故C正确
③转化函数与函数的交点
从图像可知：当时，可能存在交点，故D不正确
综上所述：选择C.
3.解（1）定义法（含参函数单调性）
因为函数（），所以导函数
令，，
① 当时，，函数单调递减；
② 当或时，，函数单调递增。
综上所述：函数的单调增区间为；单调减区间为.
（2）参变分离法
由（1）可知：，.
所以整理得：
设，导函数，令，
① 当时，，函数单调递减；
② 当时，，函数单调递增。
所以函数的最小值为，即
综上所述：实数的取值范围为.
4.解：（1）定义法
因为函数，导函数
设，导函数
所以函数在区间上单调递减，因为，
所以在上存在唯一零点.
（2）分类讨论法
因为，，
所以函数在区间上有两个不同的零点
当时，，
当时，，所以
综上所述：有且仅有两个不同的零点.
5. 解（1）方法一：定义法
由题意可知：，导函数，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）方法一：参变分离法
由题意可知：，导函数
设，导函数，令，
根据函数的单调性可知：
因为，所以
所以，根据函数单调性可知：
所以，即整数的最小值为2.
综上所述：整数的最小值为2.
6. 解：（Ⅰ）方法一：定义法
因为，所以，令，
① 当时，，函数单调递减；
② 当时，，函数单调递增.
综上所述：函数单调增区间为；单调减区间为.
（Ⅱ）方法一：参变分离法
由题意可知：，设，则
导函数，令，
① 当时，，函数单调递减；
② 当时，，函数单调递增.
所以函数
综上所述：实数的取值范围为.
（Ⅲ）两边夹法则应用
情景铺垫：
两边夹法则的函数不等关系为（）或者（）。
解题过程：
由题意可知：，设，，即
导函数，令，
根据函数单调性可知：
导函数，令，
根据函数单调性可知：，所以
综上所述：对一切，都有成立.
方法点评：
第三问的思路在于对黄金函数图像的熟悉的把握，即可想到两边夹法则的应用。
7. 解：（1）定义法
因为函数，所以导函数，即
所以在处的切线方程为.
因为函数与直线相切
所以一元二次方程有一个根，即
（2）方法一：参变分离法（卡根法）
由题意可知：，设，，导函数
设，导函数，函数单调递减
因为，，所以
所以
所以，即的最小整数值为2.
方法补充：
① 利用数学软件来卡根为，函数值约为1.60；
② 因为，，所以
所以，所以二分法
，所以
8.解：（1）方法一：定义法
因为函数，所以导函数
所以，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）情景铺垫：
本文可以采用必要条件法和两边夹法，其中两边夹法则比较麻烦；隐零点不能使用，因为导数的零点找不到。
解题过程：
方法一：必要条件法（指数函数和对数函数切线放缩）
因为函数， 函数的最小值为
所以，，即函数
因为，（直接构造证明）
所以，即
9. 解：方法一：定义法（证明对数函数切线放缩）
因为函数，所以，令，
① 当时，，函数单调递增；
② 当时，，函数单调递减.
函数的最大值为
方法二：放缩（指数函数切线放缩和指数函数与对数函数互化）
因为，所以
因为，
所以，即
综上所述：实数的取值范围为.
10.解：（1）定义法（基础解法）
设切点为，则切线方程为.
因为切线过定点，所以
根据题意可知：只需要方程存在两个解
设，导函数，令，（）
依据单调性可知：，所以，故选择C.
方法二：数形结合法
曲线的图像如下：
从上图可知: 过点可以作曲线的两条切线的条件：
① ；② 在对数函数图像上方：.
综上所述：，故选择C.
11.解：（1）方法一：定义法（黄金函数）
导函数，令，
①当时，，函数单调递增；②当时，，函数单调递减.
所以函数的极大值为.
（2）方法一：极值点偏移（对数不等式和取对数思想）
因为，所以，即
取对数可知：
设，，，导函数
函数单调递减，所以，即
所以，即
综上所述：.
12.解：方法一：换元法（幂函数取对数的思想）
因为函数，所以取对数可得：
设，导函数，函数单调递增
因为，，所以
所以，导函数，令，
① 当时，，函数单调递减;
② 当时，，函数单调递增.
根据函数的单调性可知：
因为对于任意，恒成立，所以
综上所述：整数的最大值为0.
2纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行
2022届12月份高三数学二轮专题复习导数压轴题最优解讲义
1. 【2021-2022学年龙东四校高三联考题-16】已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为 .
2. 【2021-2022学年龙东四校高三联考题-12】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，在单调递减 B. 当时，在处的切线为轴
C. 当时，在存在唯一极小值点，且.
D.对任意，在一定存在零点.
3.已知函数（）.
（1）求的单调区间；
（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围.
4.已知函数，为的导函数，求证：
（1）在上存在唯一零点；
（2）有且仅有两个不同的零点.
5. 【2021-2022学年龙东四校高三联考题-22】已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.
6. 已知，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.
7. 已知函数，（）.
（1）若在处的切线也是的切线，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整数值.
8.已知函数（）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数的最小值为，求实数的值.
9. 已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，其中为自然对数的底数，
求实数的取值范围.
10.若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数.
（1）求函数的极大值；
（2）设实数，互不相等，且，证明：.
12.已知函数，对于任意，恒成立，则整数的最大值
为 .
2
