(共21张PPT)第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用(习题课)
由图象确定函数的解析式
[例1] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
[解] 法一：由图象知A＝3，
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝3sin.
法二：由法一得A＝3，ω＝2.
将最高点M的坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3.
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|＜，∴取φ＝.∴y＝3sin.
法三：由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
(3)求φ，常用方法有以下2种
代入法 把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入
五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
[跟踪训练]
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，则函数的解析式为________．
解析：由题意知A＝5，＝，
所以T＝＝，所以ω＝4，
所以y＝5sin(4x＋φ)．
又因为图象经过点，所以＝5sin φ，
即sin φ＝，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜，所以φ＝，
所以这个函数的解析式为y＝5sin.
答案：y＝5sin
三角函数图象的对称性
[例2] 在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
[解析] 由4x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)
∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z)．
取k＝1，得满足条件．
[答案]
[母题探究]
1．(变条件)将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？
解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
取k＝0时，x＝－.
则所求对称中心为.
2．(变条件，变设问)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．
解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
取k＝0，x＝－满足题意，故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－.
三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴 对称中心
y＝Asin(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
[跟踪训练]
函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析：选D 函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，可得y＝cos的图象，
根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝－，∴f(x)＝cos.
令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故排除A；
令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故排除B；
令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故排除C，D满足条件，故选D.
匀速圆周运动的数学模型
[例3] (链接教科书第238页例2)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？
[解] (1)如图，建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为＝.
又水轮的半径为4 m，
圆心O距离水面2 m，
所以z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数表达式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1.
取t－＝，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s.
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值要明确，半径决定了A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系．
[跟踪训练]
一个大风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(t)(m)与时间t(min)之间的函数关系式是( )
A．h(t)＝－6sin t＋6
B．h(t)＝－6cos t＋6
C．h(t)＝－6sin t＋8
D．h(t)＝－6cos t＋8
解析：选D 设h(t)＝Acos ωt＋B(A<0，ω>0)，∵每12 min旋转一周，∴＝12，∴ω＝.由题意得，h(t)的最大值与最小值分别为14，2，∴
解得∴h(t)＝－6cos t＋8.
1．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析：选A 由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin.该函数图象关于点对称．
2．如图所示的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求函数f(x)的解析式．
解：由函数图象可知A＝2，T＝×＝π，即＝π，∴ω＝2.又是五点作图法中的第五个点，即2×＋φ＝2π，∴φ＝.∴所求函数的解析式为y＝2sin.
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十
121匀速圆周运动的数学模型 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象并能解决有关问题 数学抽象
2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 数学抽象、直观想象
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋b，我们本节课就研究此类函数．
[问题] (1)由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝sin的图象？
(2)将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象对应的函数的最小正周期是多少？
知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响
2．ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
对A，ω，φ的三点说明(A>0，ω>0)
(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系；
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系；
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．( )
(2)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．( )
(3)把函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．用五点法作y＝2sin 3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
答案：B
3．要得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案：B
4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
答案：y＝sin 4x
“五点法”作图
[例1] (链接教科书第237页例1)作函数f(x)＝2sin在[0，π]上的图象．
[解] 列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f(x) －1 0 2 0 －2 －1
描点连线得：
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．“五点法”
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
(1)计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；
(2)取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
(3)利用ωx＋φ的值计算y值；
(4)描点(x，y)，连线得到函数图象．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解：f(x)＝cos，列表如下：
2x－ － 0 π π π
x 0 π π π π
f(x) 1 0 －1 0
图象如图．
三角函数图象的平移变换
[例2] (链接教科书第239页练习2题)(1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________．
[解析] (1)由y＝2sin可知，周期T＝π，
所以＝π，
y＝2siny＝2sin
＝2sin.
(2)将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1.
[答案] (1)D (2)2sin－1
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
(1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离．
[跟踪训练]
将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为________．
解析：将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x.
答案：y＝－cos 2x
三角函数图象的伸缩变换
[例3] (链接教科书第239页练习2题)(1)为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的( )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
(2)将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为________．
[解析] (1)由题意得ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得到y＝cos 4x，x∈R的图象．
(2)y＝sin 2x的图象y＝sin＝sin x的图象y＝sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sin x.
[答案] (1)B (2)y＝sin x
由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
[跟踪训练]
指出将y＝sin x的图象变换为y＝sin的图象的两种方法．
解：法一：y＝sin x
法二：
1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 令4x－＝，得x＝.
∴该点坐标为.
2．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度
D．向下平移个单位长度
解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
3．已知函数y＝sin，请说明此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
解：法一(先平移法)：第一步：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象；
第二步：把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；
法二(先伸缩法)：第一步：把y＝sin x的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin x的图象；
第二步：把y＝sin x图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到y＝sin的图象．
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