(共28张PPT)第二课时 集合的表示
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐”，用繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
[问题] 对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
用列举法表示集合的注意点
(1)元素与元素之间需用“，”隔开；
(2)集合中的元素必须是确定的；
(3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．( )
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.( )
答案：(1)× (2)×
2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为____________．
答案：{1，2，3，4}
知识点二 描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
用描述法表示集合的注意点
(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；
(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；
(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确；
(4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}．
1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的点的集合是( )
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
答案：C
2．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1
答案：{0，1，2，3，4} {x∈N|－1用列举法表示集合
[例1] (链接教科书第3页例1)用列举法表示下列集合：
(1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合；
(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；
(3)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．
[解] (1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2，因此可以用列举法表示为{1，2}．
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}．
(3)函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为.
用列举法表示集合的3步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
[跟踪训练]
1．若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 集合A＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4)．
2．用列举法表示下列集合：
(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合；
(2)不大于10的非负偶数组成的集合；
(3)一次函数y＝x－2与y＝－x的图象的交点组成的集合．
解：(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》}．
(2)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(3)解方程组得即交点是(1，－1)，故两函数图象的交点组成的集合是{(1，－1)}．
用描述法表示集合
[例2] (链接教科书第4页例2)用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解] (1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
用描述法表示集合的2步骤
[跟踪训练]
1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
解析：选D 本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．故选D.
2．选择适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且小于8的有理数；
(2)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合；
(3)不等式2x－3＜5的解组成的集合．
解：(1)大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q|1＜x＜8}．
(2)关键是根据绝对值的意义化简，设x＝＋，当a＞0，b＞0时，x＝2；当a＜0，b＜0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2，0，2}．
(3)不等式2x－3＜5的解组成的集合可表示为{x|2x－3＜5}，即{x|x＜4}．
集合表示法的应用
[例3] 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
[母题探究]
1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围．
解：由题意得
解得k<1，且k≠0.
2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围．
解：①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；
②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k>1.
综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．
集合与方程的综合问题的解题策略
(1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根；
(2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论；
(3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．
[跟踪训练]
已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
解：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.
以实际问题为背景的集合问题(材料型)
幼升小不仅是对孩子的考察，也是对家长的一次考验．每年，家有即将幼升小的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2021年的入学顺位可以参考2020年公布的入学顺位说明：
第一顺序：“本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第二顺序：“房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口”；
第三顺序：“本片区户口＋‘四老’房屋产权”；
第四顺序：“本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第五顺序：“七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母”；
第六顺序：“本片区户口＋军产房或部队证明及住房”；
第七顺序：“本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权”．
[问题探究]
1．若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，某儿童a具有该市户口(非本区)，则a是集合A的元素吗？
提示：a不一定是A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
2．某儿童b的父母在东城区有房屋产权，则b是集合A中的元素吗？
提示：b不一定是A中的元素，因为b不一定具有本片区户口．
[迁移应用]
给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合．判断集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是不是闭集合，并给出证明．
解：因为4∈A，－4∈A，4－(－4)＝8 A，所以A不是闭集合；
任取a，b∈B，设a＝3m，b＝3n，m，n∈Z，
则a＋b＝3m＋3n＝3(m＋n)，且m＋n∈Z，
所以a＋b∈B，
同理，a－b∈B，故B为闭集合．
1．(多选)已知集合A＝{x|－1＜x＜，x∈Z}，则一定有( )
A．－1∈A B.∈A
C．0∈A D．1∈A
答案：CD
2．(多选)方程组的解集可表示为( )
A.
B.
C．{1，2}
D．{(x，y)|x＝1，y＝2}
解析：选ABD 原方程组的解为其解集中只含有一个元素，可表示为A，B，D.C中含有两个元素，故选A、B、D.
3．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程(x＋1)(x2－2)＝0的解集；
(2)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合．
解：(1)解方程(x＋1)(x2－2)＝0，得x＝－1或x＝±，故其解集用集合表示为{－1，－，}．
(2)代表元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示集合为{(x，y)|x＜0，且y＞0}．
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6(共31张PPT)
定义)把研究对象统称为元素
法
用小写拉丁字母a,b,c,…表
定义
些元素组成的总体,简称集
法)常用大写拉丁字母A,B,C,…表示
要构成两个集合的元素是一样的,
相等
我们就称这两个集合是相等集合的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 数学抽象、逻辑推理
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合 数学抽象
第一课时 集合的概念
2020年初，武汉暴发了新冠肺炎疫情，且呈蔓延趋势．在党中央、国务院的坚强领导下，经过广大群众和医疗工作者的努力，在短短的两个多月的时间内疫情得到了全面的控制，打赢了抗击疫情这场战役，彰显了中国力量、中国速度、中国精神！
[问题] (1)奋战在抗疫前线的医疗工作者中涌现出了许多英雄人物，这些英雄人物能否构成一个集合？
(2)疫情就是命令，人民子弟兵迅速奔赴一线，带着中国军人特有的精神冲在最前面．参与武汉救援的所有中国军人能否构成一个集合？
知识点一 元素与集合
1．元素
2．集合
3．集合中元素的三个特征
(1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素必须是确定的．其作用为判断一组对象能否组成集合；
(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都不相同，相同的对象只能算一个元素；
(3)无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关．
1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．
1．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．
2．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．
解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1.
答案：2
知识点二 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．
已知集合A由x＜1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
答案：C
知识点三 常见的数集及符号表示
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N＋
下列元素与集合的关系判断正确的是_______(填序号)．
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤ R.
解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π Q， Q，－1∈Z，∈R.
答案：①④
集合概念的理解
[例1] (链接教科书第5页练习1题)(多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( )
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．截止到2021年1月1日，参加一带一路的国家
[解析] A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
[答案] BCD
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
[跟踪训练]
1．(多选)现有以下说法，其中正确的是( )
A．接近于0的数的全体构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
D．不大于3的所有自然数构成一个集合
解析：选BD A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性．
2．方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素．
元素与集合的关系
[例2] (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则( )
A．a∈A B．a2∈A
C.∈A D．a＋1∈A
(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] (1)a＝＋＜＋＝4＜5，所以a∈A.
a＋1＜＋＋1＝5，所以a＋1∈A，a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2＞5，所以a2 A，＝＝＝－＜5，所以∈A.
(2)由题意可得：x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.
[答案] (1)ACD (2)2，1，0
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；
②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
[跟踪训练]
用∈， 填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A.
解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.所以－5 A.
答案：∈
元素特性的应用
[例3] 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，
∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.
[答案] －1
[母题探究]
1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合元素的互异性．
2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.
3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
解：由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，
所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．
综上可知，a＝0.
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
[跟踪训练]
1．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选A A中元素a，b，c，d各不相等，所以四边形只可能是梯形．
2．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________．
解析：由题意知a2＝4，即a＝±2.
答案：±2
1．(多选)下列结论中，正确的是( )
A．若a∈N，则 N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R
解析：选BCD A不正确．反例：a＝1∈N，＝1∈N.
2．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
3．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.
4．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2解析：∵x∈N，2易知a＝6.
答案：6
5．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．
解析：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.
答案：0或－1
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