(共31张PPT)
集
集U中不属于集合A
所有元素组成的集
集合A相对
集
集,记作
图形第二课时 补集及综合应用
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}．
[问题] 没有获得金奖的学生有哪些？
知识点一 全集
1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
2．记法：通常记作．
在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异，所以全集不一定是实数集．
知识点二 补集
1．补集的概念
2．补集的性质
(1)A∪( UA)＝；
(2)A∩( UA)＝；
(3) UU＝， U ＝U， U( UA)＝；
(4)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)；
(5)( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
1．对补集的理解
补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
2．对符号 UA的理解
(1)A是U的子集，即A U；
(2) UA表示一个集合，且( UA) U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数集问题的全集一定是R.( )
(2)集合 BC与 AC相等．( )
(3)A∩( UA)＝ .( )
(4)一个集合的补集中一定含有元素．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝________．
解析：∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，∴A＝{0，1}．
答案：{0，1}
3．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA＝________．
解析：借助数轴易得 UA＝{x∈R|0答案：{x|0补集的简单运算
[例1] (链接教科书第13页例5)(1)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝( )
A．U B．{1，3，5}
C．{3，5，6} D．{2，4，6}
(2)若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或1＜x≤2}，则 UA＝________．
[解析] (1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知 UM＝{3，5，6}．
(2)如图，由补集定义可知 UA表示图中阴影部分，故 UA＝{x|0＜x≤1或2＜x≤3}．
[答案] (1)C (2){x|0＜x≤1或2＜x≤3}
求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[跟踪训练]
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤3}，则 UM＝( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1≤x≤3}
C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x≤－1或x≥3}
解析：选C ∵集合M＝{x|－1≤x≤3}，∴ UM＝{x|x＜－1或x＞3}，故选C.
2．已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝________．
解析：法一：∵A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，
∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．
又 UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．
法二：满足题意的Venn图如图所示．
由图可知B＝{2，3，5，7}．
答案：{2，3，5，7}
交集、并集、补集的综合运算
[例2] (1)设集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则( UA)∩( UB)＝( )
A．{0，4} B．{4}
C．{1，2，3} D．
(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|x≤0或x≥1} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|－1＜x＜2}
[解析] (1)因为U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以 UA＝{0，3，4}， UB＝{0，1，4}，所以( UA)∩( UB)＝{0，4}．
(2)题图中阴影部分对应的集合为 U(M∪N)，因为M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，所以M∪N＝{x|－1＜x＜2}，所以 U(M∪N)＝{x|x≤－1或x≥2}，故选B.
[答案] (1)A (2)B
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[跟踪训练]
1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩( UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．
解析：选A ∵U＝{1，2，3，4}， U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，
∴{3} A {1，2，3}．
又 UB＝{3，4}，∴A∩( UB)＝{3}．
2．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则( RS)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
解析：选C 因为S＝{x|x>－2}，所以 RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以( RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}
＝{x|x≤1}．
与补集相关的参数值的求解
[例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，
得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
[母题探究]
1．(变条件)本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B≠ ，
所以－m>－2，解得m<2.
故m的取值范围为{m|m<2}．
2．(变条件)本例将条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
故m的取值范围为{m|m≥2}．
由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解；
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解．
[跟踪训练]
设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}， UA＝{5，7}，则a的值是( )
A．2 B．8
C．－2或8 D．2或8
解析：选D ∵A∪( UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.
集合运算中的元素个数问题
在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补集．如果用card表示有限集中元素的个数，如何确定集合A∩B，A∪B元素的个数？
[典例] 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？
提示：两次一共进了6＋4－2＝8种．
[问题探究]
1．本例中，用集合A表示第一次进货的种数，用集合B表示第二次进货的种数，问card(A)，card(B)是多少？
提示：card(A)＝6，card(B)＝4.
2．由本例中数据，探究card(A)，card(B)，card(A∪B)，card(A∩B)之间有什么关系呢？试借助Venn图说明此关系？
提示：对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域里的元素个数．
则card(A∪B)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(A∪B)＝①＋②＋③；
card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；
card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③.
注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，则结论得证．
[迁移应用]
1．若card(M)＝12，card(P)＝8，则card(M∪P)的最大、最小值分别是( )
A．12，8 B．20，8
C．20，12 D．20，4
解析：选C 0≤card(M∩P)≤8，所以card(M∪P)＝card(M)＋card(P)－card(M∩P)＝20－card(M∩P)，故其最大值为20，最小值为12.故选C.
2．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是( )
A．49 B．50
C．51 D．52
解析：选A 设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集合B，全班同学为集合U，则U＝A∪B.
由已知，card(A)＝51，card(A∩B)＝46，card(A∪B)＝54，
代入card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，得54＝51＋card(B)－46，解得card(B)＝49.
1．若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则 U(M∪N)＝( )
A．{1，2，3} B．{2}
C．{1，3，4} D．{4}
解析：选D ∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴ U(M∪N)＝{4}．故选D.
2．已知全集U＝R，M＝{x|－1解析：∵U＝R， UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1＝{x|x<1或x≥2}．
答案：{x|x<1或x≥2}
3．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求 R(A∪B)及( RA)∩B.
解：把集合A，B在数轴上表示如图，
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以 R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为 RA＝{x|x＜3或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
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7(共26张PPT)
然)/集
B的并集是由所有属于集合A或
属于集合B的元素组成的集
aUB
图形
的交集是由所有属于集
然
属于集合B的元素组成的集
作
语
B(读作“A交B集合的基本运算
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 数学运算、直观想象
第一课时 并集与交集
某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：
①中考数学成绩不低于110分；②中考理综成绩不低于110分．
如果满足条件①的同学组成的集合记为A，满足条件②的同学组成的集合记为B，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为C.
[问题] (1)满足①或满足②的同学能成为集合C的元素吗？
(2)集合A，B，C的关系是什么？
知识点一 并集
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．
1．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________．
答案：{3，4，5，6，7，8}
2．已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________．
答案：{x|x>0}
知识点二 交集
1．对并集、交集概念的理解
(1)A∪B、A∩B都是一个集合；
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x B”；“x∈B，但x A”；“x∈A，且x∈B”；
(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．
2．并集、交集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝A B A；
(2)A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝A A B.
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．
答案：{－1，0}
2．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}；C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．
答案：{x|2＜x＜4}
并集的运算
[例1] (链接教科书第10页例1、例2)(1)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1，1}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{－1，1，3}
C．{－3，－1，1} D．{－3，－1，1，3}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
[解析] (1)A＝{－3，1}，B＝{－1，1}，
则A∪B＝{－3，－1，1}，故选C.
(2)在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．故选A.
[答案] (1)C (2)A
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．
[跟踪训练]
1．(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是( )
A．{5} B．{1，5}
C．{1，3} D．{1，3，5}
解析：选ABD 由{1，3}∪A＝{1，3，5}，知A {1，3，5}，且A中至少有1个元素5，故选A、B、D.
2．若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2解析：在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．
答案：{x|x>－2}
交集的运算
[例2] (链接教科书第11页例3)(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如图．
则由交集的定义得，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
[答案] (1)A (2)D
求两集合交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
[跟踪训练]
1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝( )
A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}
解析：选C 集合A、B画在数轴上，如图，
由图可知A∩B＝{x|2＜x＜3}，故选C.
2．(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：选CD ∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1，3}，故选C、D.
由集合的并集、交集求参数
[例3] 集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围．
[解] (1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝ ，如图①所示．∴数轴上点x＝a在点x＝－1左侧，且包含点x＝－1，∴{a|a≤－1}．
(2)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，
且A∪B＝{x|x＜1}，如图②所示，
∴数轴上点x＝a在点x＝－1和点x＝1之间，不包含点x＝－1，但包含点x＝1.∴{a|－1＜a≤1}．
[母题探究]
(变条件)本例(1)中，把“A∩B＝ ”改为“A∩B≠ ”，求a的取值范围．
解：利用数轴(图略)表示出两个集合，数形结合知，要使A∩B≠ ，需数轴上点x＝a在点x＝－1右侧且不包含点x＝－1，所以{a|a＞－1}．
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理；
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
[跟踪训练]
1．已知集合A＝{x|x－a＞0}，B＝{x|2－x＜0}，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________．
解析：由题意得A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞2}，因为A∪B＝B，所以A B.
在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，
则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合，所以a≥2.
答案：a≥2
2．已知集合A＝{2，4，a2－4a＋6}，B＝{2，a}，A∩B＝B，则实数a的取值集合为________．
解析：因为A∩B＝B，所以B A，
当a＝4时，a2－4a＋6＝6，符合题意；当a2－4a＋6＝a时，解得a＝2或a＝3，由集合中元素的互异性知a＝2不合题意，舍去．综上可知，a＝4或a＝3.
答案：{3，4}
1．(2021·济宁第一学期质量检测)已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则集合A∩B＝( )
A．{0} B．{－1，0}
C．{0，1} D．{－1，0，1}
解析：选B A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0}．故选B.
2．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝( )
A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥2}
C．{x|2≤x＜4} D．{x|2≤x≤3}
解析：选B 解不等式3x－7≥8－2x，可得x≥3，因此集合B＝{x|x≥3}．
由集合A＝{x|2≤x＜4}，可得A∪B＝{x|x≥2}，故选B.
3．已知集合A＝{x|m－2＜x＜m＋1}，B＝{x|1＜x＜5}．
(1)若m＝1，求A∪B；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：(1)由m＝1，得A＝{x|－1＜x＜2}，
所以A∪B＝{x|－1＜x＜5}．
(2)由A∩B＝A，可知A B，
于是应满足解得3≤m≤4，
故所求实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
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