(共23张PPT)充分条件与必要条件
新课程标准解读 核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、逻辑推理
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
1．4.1 充分条件与必要条件
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示．
[问题] (1)A开关闭合时B灯一定亮吗？
(2)B灯亮时A开关一定闭合吗？
知识点一 命题的概念
1．定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．分类：判断为的语句是真命题；判断为的语句是假命题．
3．结构形式：“若p，则q”形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论．
用符号“ ”与“ ”填空：
(1)x2＞1________x＞1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
解析：(1)若x2＞1，则x<－1或x>1，故x2＞1 x＞1.
(2)若a，b都是偶数，则a＋b一定是偶数，故a，b都是偶数 a＋b是偶数．
答案：(1) (2)
知识点二 充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件；q是p的必要条件 p不是q的充分条件；q不是p的必要条件
p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．( )
(2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．( )
(3)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(4)若q不是p的必要条件，则“p q”．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．设集合M＝{x|0
答案：必要
3．若集合A＝{1，m2}，B＝{2，4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”)
答案：充分
充分条件的判断
[例1] (链接教科书第18页例1)下列命题中，p是否是q的充分条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；
(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根．
[解] (1)∵a＝1，b＝－1时，a＋b＝0，
但a2＋b2＝2，∴a＋b＝0 a2＋b2＝0.
∴p不是q的充分条件．
(2)∵等腰梯形的对角线相等，
∴四边形的对角线相等 四边形是矩形．
∴p不是q的充分条件．
(3)当x＝1时，x2－4x＋3＝0，
∴x＝1 x2－4x＋3＝0.
∴p是q的充分条件．
(4)由方程x2－x－m＝0无实根，
得Δ＝1＋4m＜0.即m＜－.
∴m＜－1 m＜－，即p q.
∴p是q的充分条件．
充分条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断法：
如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．
[跟踪训练]
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若a＜b，则＜1；
(3)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y.
解：(1)由于Q?R，所以p q，
所以p是q的充分条件．
(2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，
因此p q，所以p不是q的充分条件．
(3)若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y，所以p q，所以p不是q的充分条件． 必要条件的判断
[例2] (链接教科书第19页例2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．
[解] (1)当x＝1时，x－1＝＝0，
所以p q，所以q是p的必要条件；
(2)如图四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q，所以q不是p的必要条件．
必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
(2)命题判断法：
如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．
[跟踪训练]
(多选)下列命题是真命题的是( )
A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件
解析：选AC ∵x＞3 x＞2，∴A是真命题；∵x＝2 x2＝4，x2＝4 x＝2，∴B是假命题；∵A∩B＝B A∪B＝A，∴C是真命题；∵q p，∴p不是q的必要条件，D是假命题．
根据充分(必要)条件求参数
[例3] 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
[解] p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以 －≤a＜0，
所以a的取值范围是－≤a＜0.
[母题探究]
1．(变条件)若本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：a＜x＜3a，即集合A＝{x|a＜x＜3a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为q p，所以B A，
所以
2．(变条件)若本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为p是q的充分条件，所以p q，所以A B，
所以 －1≤a＜0.
所以a的取值范围是－1≤a＜0.
利用充分(必要)条件确定参数的值(范围)的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分不必要条件，则M?N；若p是q的必要不充分条件，则N?M；
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)解不等式(组)得结果．
[跟踪训练]
如果p：0＜x＜3是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
解析：由2x－3＜m得x＜，由p：0＜x＜3是q：2x－3＜m的充分不必要条件，知p q，q p，则≥3，解得m≥3.
答案：m≥3
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
答案：B
2．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由a∈M∪N a∈M，但a∈M a∈M∪N，即p q，但q p.
3．有一个圆A，在其内又含有一个圆B.请回答：命题：“若点在B内，则点一定在A内”中，“点在B内”是“点在A内”的什么条件；“点在A内”又是“点在B内”的什么条件．
解：如图，因为“点在B内 点一定在A内”为真，所以“点在B内”是“点在A内”的充分条件；“点在A内”是“点在B内”的必要条件．
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6(共22张PPT)充要条件
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
[问题] (1)张三为什么走了？
(2)李四为什么走了？
知识点 充要条件
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
“p是q的充要条件”也可以说成“p与q是等价的”“p成立当且仅当q成立”“q成立当且仅当p成立”．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
2．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．
答案：充要
充要条件的判断
[例1] (链接教科书第21页例3)(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为( )
A．p：x＞0，y＜0，q：xy＜0 B．p：a＞b，q：a＋c＞b＋c
C．p：x＞5，q：x＞10 D．p：a＞b≥0，q：＞
(2)设A，B，U是三个集合，且A U，B U，则“x∈( UA)∩( UB)”是“x∈ U(A∪B)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] (1)对于A选项，p q，但qp，故p不是q的充要条件；对于B选项，p q，且q p，即p q，故p是q的充要条件；对于C选项，p q，但q p，故p不是q的充要条件；对于D选项，p q，且q p，故p是q的充要条件．故选B、D.
(2)∵( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)，
∴“x∈( UA)∩( UB)”是“x∈ U(A∪B)”的充要条件，故选C.
[答案] (1)BD (2)C
充要条件的两个判断方法
(1)定义法：若p q，q p，则p是q的充要条件；
(2)集合法：对于集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A＝B，则p是q的充要条件．
[跟踪训练]
1．以下选项中，p是q的充要条件的是( )
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解
解析：选D 对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p q，但q p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p q，但q p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q p，所以p是q的充要条件，故选D.
2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．
(1)因为q r s，s q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r s q，q r，所以r是q的充要条件．
(3)因为p r s q，所以p是q的充分条件．
充要条件的证明
[例2] (链接教科书第22页例4)证明：如图梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.
[证明] (1)必要性：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，
又∵BC＝CB，∴△BAC≌△CDB，∴AC＝BD.
(2)充分性：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
∵AD∥BE，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC.
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴∠E＝∠1.
又∵AC∥DE.∴∠2＝∠E，∴∠1＝∠2.
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB.∴AB＝DC.
∴梯形ABCD为等腰梯形．由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC＝BD.
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．
[注意] 证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．
[跟踪训练]
求证：“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c＝0”．
证明：①先证明必要性：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，把x＝2代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得4a＋2b＋c＝0，所以必要性成立．
②再证明充分性：
因为4a＋2b＋c＝0，所以c＝－4a－2b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－4a－2b＝0，即(x－2)(ax＋2a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，所以充分性成立．
综上，“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c＝0”．
充分、必要及充要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[母题探究]
1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B.
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟踪训练]
已知a＞0，设p：－a≤x≤3a；q：－1＜x＜6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．{a|1＜a＜2} B．{a|1≤a≤2}
C．{a|0＜a＜1} D．{a|0＜a≤2}
解析：选C 因p是q的充分不必要条件，即解得01．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由q：“x－2＝”，解得x＝1(舍去)或x＝2，
由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．
所以p是q的充要条件，故选C.
2．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－＝1，所以m＝－2.
答案：m＝－2
3．下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．
解：(1)p q，所以p是q的充要条件．
(2)⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此p q，所以p不是q的充要条件．
(3)取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝ ，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件．
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