(共24张PPT)全称量词与存在量词
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
1．5.1 全称量词与存在量词
观察下列语句：(1)x＞3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x＞3；(4)存在一个x∈R，2x＋1是整数．
[问题] 比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？
知识点一 全称量词与全称量词命题
全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等
符号
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
全称量词命题含有全称量词，但有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________．
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．
答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
知识点二 存在量词与存在量词命题
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等
符号
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )
(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )
(3)命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①任意一个自然数都是正整数；
②存在整数n，使n能被11整除；
③若3x－7＝0，则x＝；
④有些函数为奇函数．
答案：②④
全称量词命题与存在量词命题的判断
[例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
[注意] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
[跟踪训练]
用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(4)有些整数既能被2整除，又能被3整除．
解：(1) x∈R，x2＋x＋1>0.
(2) x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
(3) a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4) x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
全称量词命题、存在量词命题的真假判断
[例2] 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
(1)有的集合中存在两个相同的元素；
(2) a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；
(3)存在一个x∈R，使＝0；
(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin A＝cos B.
[解析] (1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题．
(2)是全称量词命题， a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题．
(3)是存在量词命题，因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin A＝cos B，是真命题．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；
(2)存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
[跟踪训练]
1．下列是存在量词命题且是真命题的是( )
A． x∈R，x2>0 B． x∈Z，x2>2
C． x∈N，x2∈N D． x，y∈R，x2＋y2<0
解析：选B 对于A， x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；
对于B， x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；
对于C， x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；
对于D， x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意，故选B.
2．(多选)下列结论中正确的是( )
A． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
解析：选CD 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，
当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．故选C、D.
由含量词命题的真假求参数范围
[例3] 命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}．
由含量词的命题的真假求参数范围的策略
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式，确定参数的取值范围；
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[跟踪训练]
已知命题p： x∈，－a≥0是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵－a≥0，∴a≤，
由题意知a≤，
又x∈，
∴1≤≤2，∴a≤1.
故实数a的取值范围为{a|a≤1}．
1．下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋1＜0 B． x∈R，3x＋1是整数
C． x∈R，|x|＞3 D． x∈Q，x2∈Z
解析：选B A是假命题，因为 x∈R，x2＋1≥1；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，|x|＜3；D是假命题，如x＝，x2 Z.
2．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．
答案：①②③ ④
3．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交．
解：(1)存在量词命题．因为x2＋x＋8＝＋＞0.所以该命题为假命题．
(2)全称量词命题，如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题．
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5(共23张PPT)全称量词命题和存在量词命题的否定
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”
[问题] 请问探险家该如何保命？
知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定
p 綈p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
1．要否定全称量词命题“ x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立．
2．要否定存在量词命题“ x∈M，p(x)”， 需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立．
如何对省略量词的命题进行否定？
提示：对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时，可先根据题意补上适当的量词，再对命题进行否定．
1．命题“ x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是( )
A． x∈R，x2－2x－3≤0
B． x∈R，x2－2x－3≥0
C． x∈R，x2－2x－3＞0
D． x∈R，x2－2x－3＞0
答案：D
2．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
解析：选C 全称量词命题的否定是存在量词命题，而A，B是全称量词命题，所以A、B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确．故选C.
全称量词命题的否定
[例1] (链接教科书第29页例3)写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)对任意x∈Z，x2的个位数字都不等于1.
[解] (1)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．真命题．
(2)该命题的否定：存在x∈Z，x2的个位数字等于1.真命题．
1．对全称量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
2．全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
[跟踪训练]
1．命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )
A． x∈R，|x|＋x2＜0 B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2＜0 D． x∈R，|x|＋x2≥0
解析：选C 对于全称量词命题的否定，要将命题中“ ”变为“ ”，则命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“ x∈R，|x|＋x2＜0”．故选C.
2．命题“ a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是( )
A． a R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根
B． a R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根
C． a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根
D． a∈R，一元二次方程x2－ax－1≠0没有实根
解析：选C 根据全称量词命题的否定形式可知，命题“ a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是“ a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根”，故选C.
存在量词命题的否定
[例2] (链接教科书第30页例4)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；
(2)q：至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)s：有些三角形是锐角三角形；
[解] (1)綈p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以綈p是假命题．
(2)綈q：所有直角三角形都是等腰三角形．因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以綈q是假命题．
(3)綈s：所有三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形)，假命题．
1．对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
2．存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
[跟踪训练]
命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A． x∈R，|x|>0 B． x∈R，|x|>0
C． x∈R，|x|≤0 D． x∈R，|x|≤0
解析：选C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
根据命题否定求参数的取值范围
[例3] 已知命题“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”是假命题，求实数a的取值范围．
[解] 全称量词命题“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴至多有一个公共点”的否定形式为“ x∈R，函数y＝x2＋x＋a的图象和x轴有两个公共点”．
由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由二次函数的图象易知Δ＝1－4a＞0，解得a＜，
所以实数a的取值范围是.
由命题真假求参数的范围的两个关注点
(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化；
(2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围．
[跟踪训练]
命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值构成的集合．
解：命题“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x＞a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x＞a有2x＋a＞3a，所以3a≥3，解得a≥1.
所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．
1．命题p： x∈N，x3>x2的否定形式綈p为( )
A． x∈N，x3≤x2
B． x∈N，x3>x2
C． x∈N，x3D． x∈N，x3≤x2
解析：选D 命题p： x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，∴綈p： x∈N，x3≤x2.故选D.
2．已知命题p： x∈R，x－2＞，命题q： x∈R，x2＞0，则( )
A．命题p，q都是假命题
B．命题p，q都是真命题
C．命题p，綈q都是真命题
D．命题p，綈q都是假命题
解析：选C 当x＝9时，9－2＞＝3，∴p为真命题．∵ x∈R，x2≥0，∴q是假命题，綈q是真命题．故选C.
3．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)对任意x∈R，x2－x＋≥0；
(2)所有的正方形都是矩形；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解：(1)存在x∈R，x2－x＋＜0，假命题．
(2)至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)对任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
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