高考试题中三角函数问题的类型与解法 学案

高考试题中三角函数问题的类型与解法
大家知道，三角函数问题是近几年高考的热点内容之一，每年高考不是一个大题，就是两到三个小题，分值在十分至十五分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题（或填空题）；难度系数为中档或低档。纵观近几年的高考试题，归结起来三角函数问题主要包括：①任意角三角函数的概念；②同角三角函数基本关系和三角函数诱导公式及运用；③三角函数图像和性质及运用；④三角函数和角，差角，二倍角公式及运用；⑤正弦定理和余弦定理及运用；⑥三角函数综合性问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答三角函问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=2cos(x+ )的部分图像如图所示，则满足条件[f(x)- f(-)][f(x)-
f()]>0的最小正整数x为 。
（文）已知函数f(x)=2cos(x+ )的部分图像如图所示，则f()= （2021全国高考甲卷）。
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①余弦三角函数的定义与性质；②余弦型三角函数的定义与性质；③处理余弦型三角函数的基本方法。
【解答思路】（理）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法得到关于x的不等式，求解不等式求出x的取值范围就可求出最小正整数x的值。（文）根据余弦型三角函数的性质，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用余弦三角函数的性质和处理余弦型三角函数的基本方法就可求出f()的值。
【详细解答】由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+ )，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+ )=2cos(+ )，+
=k+，=k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)， f(-)
=2cos(-2-)=2cos(--)=2cos=1，f()=2cos(2-)=2cos(-)
=2cos=0，[f(x)- f(-)][f(x)- f()]>0 [f(x)- 1)]f(x)>0 f(x)- 1>0且f(x)>0或
f(x)- 1<0且f(x)<0， cos(2x-)>且cos(2x-)>0或cos(2x-)<且cos(2x-)<0，
cos(2x-)>或cos(2x-)<0， 2k-<2x- <2k+或2k+<2x-<2k
+，k-0的最小正整数x为2。（文）
由图知=-=，T=，===2，f(x)=2cos(2x+)，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2cos(2+ )=2cos(+ )，+=k+， =k-（kZ），||<，=-，f(x)=2cos(2x-)， f()=2cos(2
-)=2cos(-)=-2cos=-2=-。
2、（理）把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y=sin(x-)的图像，则f(x)=（ ）
A sin(-) B sin (+) C sin(2x-) D sin(2x+)
（文）函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是（ ）（2021全国高考乙卷）
A 3和 B 3和2 C 6和 D 6和2
【解析】
【考点】①三角函数图像伸缩变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的定义与性质；③三角函数辅助角公式及运用；④处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】（理）运用三角函数图像伸缩变换和平移变换的性质，确定函数f(x)的解析式就可得出选项。（文）根据三角函数辅助角公式，把函数f(x)化为正弦型三角函数，运用处理正弦型三角函数的基本方法求出函数f(x)的最小正周期和最大值就可得出选项。
【详细解答】（理）设f(x)=sin (x+ )， f(2x)=sin (2x+ )，f(2（x-)）=sin [2（x-)+ )= sin (2x-+ )= sin(x-)，2=1①，-+ =-②，联立①②解得：=，=， f(x)= sin (+)，B正确，选B。（文） f(x)=sin
+cos=sin（+），函数f(x)的最小正周期T== 6，=1=，
C正确，选C。
3、下列区间中，函数f(x)=7sin（x-）单调递增的区间是（ ）（2021全国高考新高考I）
A (0，) B (，) C (，) D (，2)
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的定义与性质；②处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据正弦型三角函数性质和处理正弦型三角函数的基本方法，求出函数f(x) =7sin（x-）单调递增的区间就可得出选项。
【详细解答】由2k-x-2k+解得，2k-x2k+（kZ），当k=0时， -x，(0，)[-，]，函数f(x)=7sin（x-）单调递增的区间是
(0，)，A正确，选A。
4、已知锐角满足sin-cos=1，若要得到函数f(x)= -sin（x+）的图像，则可以将函数y=sin2x的图像（ ）（2021成都市高三一诊）
A 向左平移个单位长度 B 向左平移个单位长度
C 向右平移个单位长度 D 向右平移个单位长度
【解析】
【考点】①三角函数辅助角公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用； ③三角函数图像平移变换的定义与性质。
【解题思路】根据三角函数辅助角公式，得到2sin( -)=1,从而求出 =，运用三角函数二倍角
公式得到-sin（x+）=+cos(2x+)-=cos(2x+)，由y=sin2x=cos(2x-)，利用三角函数图像平移变换的性质确定出由y=cos(2x-)得到函数f(x)= -sin（x+）=cos(2x+)的图像需要平移变换的长度单位与方向就可得出选项。
【详细解答】锐角满足sin -cos =2sin( -)=1， sin( -)=， =，函数f(x)= -sin（x+）=+cos(2x+)-=cos(2x+)，y=sin2x=cos(2x-)， =cos［2（x+）
-］=cos（2x+2 -）=cos(2x+)，2 -=2k+， = k+（kZ），当k=0时， = ，A正确，选A。
5、已知P是曲线y=sinx+cosx(x[0，])上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②正弦型三角函数的图像与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④点到直线的距离公式及运用；⑤函数求导公式，法则和基本方法；⑥
运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据y=sinx+cosx=sin(x+)，正弦函数的图像和处理正弦型函数的基本方法，结合问题条件，运用点到直线的公式得到|PQ|关于x的函数解析式，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出|PQ|取最小值时x的取值就可得出选项。
【详细解答】 y=sinx+cosx=sin(x+)，设P（x，sin(x+)）是曲线y=sinx+cosx，
直线PQ垂直直线x+y-6=0时， |PQ|=，设f(x)=x+sin(x+)，显然当仅当函数f(x)取得最大值时，|PQ|的值最小，（x）=1+cos(x+)，令（x）=0，解得：x+=，即x=，当x[0，)时，（x）>0，x[，]时，（x）<0，函数f(x)在[0，)上单调递增，在[，]上单调递减，当x=时，函数f(x)取得最大值，当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为，C正确，选C。
6、（理）已知函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=- f()，有下列结论：①f()=0；②若f(-x)= f(x)，则函数f(x)的最小正周期为；③关于x的方程f(x)=1在区间[0，2]上最多有4个不相等的实数解；④若函数f(x)在区间[，]上恰有5个零点，则的取值范围为（，3]，其中所有正确结论的编号为 。
（文）已知函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=- f()，有下列结论：①f()=0；②若f()=1，则函数f(x)的最小正周期为；③的取值范围为（0，4]；④函数f(x)在区间[0，2）上最多有6个零点，其中所有正确结论的序号为 （2021成都市高三三诊）。
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②正弦型三角函数的定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，结合问题条件得到关于，的不等式组，求解不等式组求出，的取值范围；从而对各结论的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】（理）函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=- f()，2k-+，+2k+或2k++，+2k+①，+=--②，联立①②解得：=-，12k+3(k0)或-24k +6(k>0)或12k+3(k1)或12k+9(k0)， f(x)=sin(x- )， f()=sin(- ) =sin0=0，①正确；当=2时， f(-x)= sin(-2x - )= sin(-2x )， f(x)=sin(2x- )= sin[-（-2x)]= sin(-2x )，f(-x)= f(x) ，此时函数f(x)的最小正周期为，②正确；>0，的最小值为9，函数f(x) =sin(x+ )= sin(9x-6 )=- sin9x，函数f(x)的最小正周期的最大值为，此时关于x的方程f(x)=1在区间[0，2]上最多有9个不相等的实数解，③错误；函数f(x) =sin(x- )在[，]上恰有5个零点，4<-=<5<<，即<3，④正确，其中所有正确结论的编号为①②④。（文）函数f(x)=sin(x+ )(>0，R)在区间（，）上单调，且满足f()=- f()，2k-+，+2k+或2k++，+2k+①，+=--②，联立①②解得：=-，-24k-6(k0)或-24k +6(k<0)或12k+3(k1)或12k+9(k0)， f(x)=sin(x- )， f()=sin(- ) =sin0=0，①正确； f()==sin(- )=1，-=-=2k+，=-8k
+2，>0，=2，函数f(x)的最小正周期为=，②正确；函数f(x) =sin(x- ) 在区间（，）上单调，2k--，且2k+，
或2k+-，且2k+，12k +3 (k0)或-24k+6 (k>0)
或-24k-6(k>0)或12k+9(k0)，>0，0<3， ③错误；x[0，2），x-[-，），当=3时，[-，），[-2，4），此时函数f(x) =sin(x- )在[0，2）上有6个零点，④正确，其中所有正确结论的编号为①②④。
7、设函数f(x)=cos（ x+）在[-，]上的图像大致如图所示，则f(x)的最小正周期为（ ）（2020全国高考新课标I）
A B C D
【解析】
【考点】①余弦三角函数的图像与性质；②余弦型三角函数的图像与性质；③处理余弦型三角函数的基本方法；④三角函数最小正周期的定义与基本求法。
【解题思路】根据图像得到f(-)= 0，从而求出的值，得到函数f(x)的解析式，运用三角函数最小正周期的基本求法求出函数f(x)的最小正周期就可得出选项。
【详细解答】 f(-)=cos（- +）=0，- += k+， =-k-,1< <2， =,即函数f(x)=cos（x+），T==，C正确，选C。
8、（理）关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 ；
（文）已知函数f(x)=sinx+ ，则（ ）（2020全国高考新课标III）
A f(x)的最小值为2. B f(x)的图像关于y轴对称
C f(x)的图像关于直线x=对称 D f(x)的图像关于直线x=对称
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】(理)根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)是奇函数，从而得到①错误，②正确，③正确；设t= sinx，t［-1，1］，由f(t) =t+知函数f(t)无最值，从而得到④错误就可得出结果；(文)根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)是奇函数，从而得到B，D错误；设t= sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+ 知函数f(t)无最值，从而得到A错误，C正确。
【详细解答】(理) 函数f(x)=sinx+ 的定义域为{x|x k, kZ}, f(-x)=sin(-x)+ = -sinx-=- f(x), 函数f(x)是奇函数，①错误，②正确，③正确；设t= sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+ 知函数f(t)无最值，④错误,即：其中所有真命题的序号是②③；(文) 函数f(x)=sinx+ 的定义域为{x|x k, kZ}, f(-x)=sin(-x)+ = -sinx-=- f(x), 函数f(x)是奇函数，B，C错误，设t= sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+ 知函数f(t)无最值，A错误, C正确，选C。
9、如图，是函数y=sin(x+)的部分图像，则sin(x+)=（ ）（2020全国高考新高考I）（多项选择题）
A sin(x+) B sin(-2x) C cos(2x+) D cos(-2x)
【解析】
【考点】①正弦型三角函数的图像与性质；②处理正弦型三角函数的基本方法；③正弦型三角函数最小正周期的定义与基本求法；④已知正弦型三角函数的部分图像，求正弦型三角函数解析式的基本方法；⑤三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】运用正弦型三角函数最小正周期的基本求法，结合图像求出函数y的最小正周
期，从而求出的值，根据点（，0）在函数y的图像上，得到关于的等式，求出的值，得出函数y的解析式就可得出选项。
【详细解答】由图像可知，=-=，T=，||==2，=2，①当=2时，点（，0）在函数y的图像上， sin(2 +)=sin(+)=0，+= k, = k- (kZ)，即函数 y=sin(2x+)= sin［ -（-2x)］=sin（-2x)；②当=-2时，点（，0）在函数y的图像上， sin(-2 +)=sin(-+)=0，-+= k, = k+ (kZ)，即函数 y=sin(-2x+)= sin［ -（+2x)］=cos（2x+),B，C正确，选B，C。
10、将函数y=sin(4x-)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图像，则函数f(x)的解析式为（ ）（2020成都市高三一诊）
A f(x)=sin(2x+) B f(x)=sin(2x-) C f(x)=sin(8x+) D f(x)=sin(8x-)
【解析】
【考点】①三角函数图像伸缩变换的定义与性质；②三角函数图像平移变换的定义与性质。
【解题思路】运用三角函数图像伸缩变换和平移变换的性质，确定函数f(x)的解析式就可得出选项。
【详细解答】 =sin[(4x)- ]=sin(2x-)，f(x)= sin[2 (x+)- ]=sin(2x+)，A正确，选A。
11、已知函数f(x)=sin( x+)(0< <)，f()=0，则函数f(x)的对称轴方程为（ ）（2020成都市高三二诊）
A x=k-，kZ B x=k+，kZ C x=k，kZ D x=k+，kZ
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②正弦型三角函数的图像与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据f()=0，结合问题条件求出的值，从而得到函数f(x)的解析式，运用处理正弦型三角函数的基本方法和正弦三角函数的图像与性质，结合问题条件求出函数f(x)图像对称轴的方程就可得出选项。
【详细解答】 f()=sin( +)=0， +=k， =4k-2(kZ)，0< <， =2，即函数f(x)=sin(2x+)，由2x+= k+得：x=k(kZ )，函数f(x)
的对称轴方程为x=k(kZ )，C正确，选C。
12、（理）已知函数f(x)=Asin( x+)-1(A>0，0< <1)，f()= f()，且f(x)在区间（0，）上的最大值为，若对任意的，[0，t]，都有2 f()f()成立，则实数t的最大值是（ ）
A B C D
（文）已知函数f(x)=Asin(x+)-1(A>0，0< <1)的图像经过点（0，），且将图像向左平移3个单位长度后恰与原图像重合，若对任意的，[0，t]，都有2 f()f()
成立，则实数t的最大值是（ ）（2020成都市高三三诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②正弦型三角函数的图像与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法；④三角函数图像平移的定义与性质；⑤求三角函数值域（或最值）的基本方法。
【解题思路】(理)根据f()= f()，结合问题条件求出,A的值，从而得到函数f(x)的解析式，运用处理正弦型三角函数的基本方法和正弦三角函数的图像与性质，结合问题条件求出参数t的最大值就可得出选项；（文）根据函数f(x)=Asin( x+)(A>0，0< <1)的图像经过点（0，），且将图像向左平移3个单位长度后恰与原图像重合，求出,A的值，从而得到函数f(x)的解析式，运用处理正弦型三角函数的基本方法和正弦三角函数的图像与性质，结合问题条件求出参数t的最大值就可得出选项。
【详细解答】（理） f()=Asin( +) -1=f()=Asin( +)-1，0< <1， +=- -， =， f(x)=Asin(x+)-1， f(x)在区间（0，）上的最大值为，=A-1=,A=1+，函数f(x)=（1+）sin(x+)-1，x[0，t]，x+[，t+]，=1+-1=，对任意的，[0，t]，都有2 f()f()成立，2 f()， f()，t+，即t，t的最大值为，A正确，选A;（文）函数f(x)=Asin( x+)-1(A>0，0< <1)的图像经过点（0，）， f(0)=Asin-1=A-1=，A=1+，将图像向左平移3个单位长度后恰与原图像重合， f(x+3)=Asin[（x+3）+]-1= Asin( x+3 +)-1= Asin( x+)-1， x+3 += 2k+ x+， =k(kZ)，0< <1， =，即函数f(x)=（1+）sin(x+)-1，x[0，t]，x+[，t+]，=1+-1=，对任意的，[0，t]，都有2 f()f()成立，2 f()， f()，t+，即t，t的最大值为，A正确，选A。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与三角函数图像和性质相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函数的图像与性质，尤其需要掌握正弦三角函数的图像与性质；
（2）已知正弦型三角函数y=Asin(x+)+B(A＞0, ＞0)的部分图像，求正弦型三角函数y=Asin (x+)(A＞0, ＞0)解析式的基本方法是：① 确定A的值，设函数y的最大值为M，最小值为m，则A=M或A=|m|；②求的值，由图像确定三角函数的周期T，运用公式||=求出的值；③求的值，方法1根据求出的A、，在图像上找一特殊点代入解析式再运用相应三角函数的性质确定；方法2运用“五点法”一般是确定“五点法”中的第一个零点（，0）为突破口；
（3）求三角函数的最值或单调区间时，如果问题涉及到正弦型函数或余弦型函数，则只需把x+看作整体未知数x转化为正弦函数或余弦函数来处理即可。
【典例2】解答下列问题：
1、若（0，），tan2=，则tan=（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数同角三角函数基本关系和二倍角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的方程，求解方程求出sin，cos的值，运用同角三角函数基本关系求出tan的值就可得出选项。
【详细解答】 tan2= ==，（2-）
=，sin=，（0，）， cos= = ，tan=
= =，A正确，选A。
2、cos-cos=（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数诱导公式和二倍角公式，结合问题条件求出cos-cos的值就可得出选项。
【详细解答】 cos= cos（-）=sin， cos-cos= cos-sin
=cos2=cos=，D正确，选D。
3、若tan=-2，则=（ ）（2021全国高考新高考I）
A - B - C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系和三角函数二倍角公式，结合问题条件求出的值就可得出选项。
【详细解答】 tan=-2， sin=4 cos， cos= ，
===-2cos(-2cos+cos)=2cos=2=，
C正确，选C。
4、已知sin（+）=，sin（-）=，则的值为（ ）（2021成都市高三二诊）
A - B C -3 D 3
【解析】
【考点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用；③同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】根据三角函数和角，差角公式，结合问题条件求出sincos，cossin
的值，运用同角三角函数的基本关系求出的值就可得出选项。
【详细解答】 sin（+）= sincos+cossin=，sin（-）= sincos
-cossin=， sincos=①，cossin=②，联立①②得：
==3，D正确，选D。
5、已知∈（0，），且3cos2-8cos=5，则sin=（ ）（2020全国高考新课标I）
A B C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式，结合问题条件得到关于cos的方程，求解方程求出cos的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】3cos2-8cos=5，3cos-4cos-4=0， cos=-，∈（0，）， sin= =，A正确，选A。
6、若sinx=-，则cos2x= （2020全国高考新课标II文）
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式，结合问题条件就可求出cos2x的值。
【详细解答】 sinx=-，cos2x=1-2 sinx=1-2（-）=。
7、（理）已知2tan-tan（+）=7，则tan=（ ）
A - 2 B - 1 C 1 D 2
（文）已知sin+sin（+）=1，则sin（+）=（ ）（2020全国高考新课标III）
A B C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数和角公式及运用；③三角函数辅助角公式及运用。
【解题思路】（理）运用和角公式，结合问题条件得到关于tan的方程，求解方程求出tan的值就可得出选项；（文）运用和角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，利用三角函数辅助角公式求出sin（+）的值就可得出选项。
【详细解答】（理）2tan-tan（+）=7，2tan-=7，tan-4tan+4=0， tan=2，D正确，选D；（文） sin+sin（+）=1，
sin+sin+ cos=1， sin（+）=1， sin（+）=，B正确，选B。
8、若sin=cos，则tan2=（ ）（2020成都市高三一诊）
A - B C - D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系，结合问题条件求出tan的值，利用三角函数二倍角公式求出tan2的值就可得出选项。
【详细解答】 sin=cos， tan= =，即tan2= = =- ，C正确，选C。
9、已知锐角满足2sin2=1-cos2，则tan=（ ）（2020成都市高三二诊）
A B 1 C 2 D 4
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，利用同角三角函数的基本关系求出tan的值就可得出选项。
【详细解答】锐角满足2sin2=1-cos2，4 sincos=2sin，2 sin（2cos- sin）=0，是锐角， sin＞0，2cos- sin=0， tan= =2，C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与三角函数和角，差角和二倍角公式相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函数和角，差角和二倍角公式；
（2）运用三角函数和角，差角和二倍角公式的问题主要包括：①角的变换，②三角函数式的变形两种类型；
（3）角的变换主要是“给值求值”的题型，解答的基本思路是变换角，使所求角与已知角联系起来，尤其是给定的值中含有和角或差角时，不能运用公式展开，应想办法运用已知角通过变换成为所求的角；
（4）三角函数式的变形主要包括：①“给角求值”， ②“给值求值”两种题型；解答的基本思路是对给出的三角函数式进行变形化简，再运用三角函数求值的基本方法求值。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）2020年12月8日，中国和尼帕尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现在以A，B，C在同一水平面上的投影，，满足=，=，由点C测得B点的仰角为，若B与C的差为100；由点B测得A点的仰角为
，则A，C两点到水平面的高度差A-C约为（ ）（1.732）
A 346 B 373 C 446 D 473
（文）在ABC中，已知B=，AC=，AB=2，则BC=（ ）（2021全国高考甲卷）
A 1 B C D 3
（理科图） （文科图）
【解析】
【考点】①直角三角形定义与性质；②求解直角三角形的基本方法；③正弦定理及运用；④三角形内角和定理及运用；⑤余弦定理及运用；⑥求解一元二次方程的基本方法。
【解题思路】（理）如图，过点C作CD B于点D，过B作BE A于点E，根据直角三角形的性质，结合问题条件求出CD，BE的值，从而得到AE，，的值求出A-C
的值就可得出选项。 （文）如图，根据余弦定理，结合问题条件得到关于BC的一元二次方程，运用求解一元二次方程的基本方法求出BC的值就可得出选项。
【详细解答】（理）如图，过点C作CD B于点D，过B作BE A于点E，BD= B-C
=100, D=，ABE=，CD==，AE=BE==
====100（+1）100（1.7321+1）273，B正确，选B。（文）如图， 在ABC中，已知B=，AC=，AB=2，19=4+BC-22（-）BC， BC+2BC-15=0，解得：BC=3，D正确，选D。
2、魏晋时，刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高，如图，点E，H，G在水平线AC上，DE与FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=（ ）（2021全国高考乙卷）
A +表高 B-表高C+表距D-表距
【解析】
【考点】①直角三角形的定义与性质；②相似三角形的定义与性质；③比例的性质及运用。
【解答思路】根据相似三角形的性质得到=，=，结合问题条件得到
=，运用比例的性质得到==，求出AB就可得出选项。
【详细解答】点E，H，G在水平线AC上，DE与FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，=，=，==，CH=CE-HE=CG-HE
+GE，AB==.DE=+DE=+表高，A正确，选A。
3、记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=，+=3ac，则b= （2021全国高考乙卷）。
【解析】
【考点】①余弦定理及运用；②三角形面积公式及运用；③解三角形的基本方法。
【解答思路】根据三角形面积公式，结合问题条件求出ac的值，运用余弦定理就可求出b的值。
【详细解答】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=，+=3ac，
=acsinB=ac=，ac=4，b==
===2。
4、记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知=ac，点D在边AC上，BDsin
ABC=asinC。
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cosABC（2021全国高考新高考I卷）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③平面向量的定义与性质；④平面向量几何运算的法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于BD，b的方程组，求解方程组就可证明BD=b；（2）根据平面向量的性质和平面向量几何运算法则与基本方法，结合问题条件求出，从而得到|| 关于a，c的式子，得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，c关于b的表示式，运用余弦定理就可求出cosABC的值。
【详细解答】（1）证明：=，sinABC=， BDsinABC
=asinC，sinABC=，bBD=ac①， A
=ac②，联立①②得：BD=b， BD=b； D
（2）如图，+=，AD=2DC， B C
=-，==-，=-=-+
=+，|| =+.+=+accosABC+③，=ac，cosABC=，BD=b④，联立③④解得：=，=，或=，=3 cosABC===，或cosABC=
==>1与余弦三角函数不符， cosABC=。
5、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，b=a+1，c=a+2。
（1）若2sinC=3sinA，求ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得ABC为锐角三角形？若存在，求a；若不存在，请说明理由（2021全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④解答探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值，从而求出b，c的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面积；（2）设存在正整数a，使得ABC为锐角三角形，根据余弦定理得到cosC关于a的不等式，求解不等式求出a的取值范围，确定是否包含正整数就可得出结论。
【详细解答】（1） c=a+2，2sinC=3sinA，=，===，
2a+4=3a，a=4，b=5，c=6，cosC==，sinC==，
=45=，ABC的面积为；（2）设存在正整数a，使得ABC为锐角三角形， cosC= = >0，>0，a<
-1或a>3，a>0， a>3，即存在大于3的正整数，使得ABC为锐角三角形。
6、在ABC中，点M在边AC上，CM=3MA，tanABM=，tanBMC=-。
（1）求角A的大小；
（2）若BM=，求ABC的面积（2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用；③正切三角函数的定义与性质；④同角三角函数基本关系及运用；⑤正弦定理及运用；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据三角函数诱导公式与和角公式，结合问题条件求出tanA的值，运用正切三角函数的性质就可求出角A的大小；（2）根据同角三角函数的基本关系求出sinABM ，sinBMC 的值，运用正弦定理求出AB的值，利用三角形面积公式就可求出ABC的面积。 A
【详细解答】（1）如图，A+ABM+BMA=， M
tanABM=，tanBMC=-，tanBMA = B C
tan（-BMC）=- tanBMC，tanA=tan(-ABM-BMA）=-tan（ABM +BMA）
=-=-=-，0=，sinBMA==，
=，AB===2，=2
=，点M在边AC上，CM=3MA， =4=4=6。
7、ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知（b-a）cosC=ccosA。
（1）求角C的大小；
（2）若a=，c(acosB-bcosA)=，求ABC的面积（2021成都市高三二诊）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据正弦定理，结合问题条件得到关于sinB，cosC的等式，从而求出cosC的值，运用余弦三角函数的性质就可求出角C的大小；（2）根据余弦定理，结合问题条件得到关于b，c的方程组，求解方程组得出b，C的值，运用三角形面积公式就可求出ABC的面积。
【详细解答】（1）===2R，（b-a）cosC=ccosA，sinB cosC-sinA cosC=sinC cosA，sinB cosC= sinA cosC+ sinC cosA= sinB， sinB(cosC-1)=0，
cosC=， 0=2b①，c(acosB-bcosA)=，+=，=②，联立①②解
得：b=c=1，=1=。
8、设ABC的内角A，B，C所得的边分别为a，b，c，若a=3b，sinA=，则sinB的值为（ ）（2021成都市高三三诊）
A B C D
【解析】
【考点】①三角形边角关系定理及运用；②正弦定理及运用。
【解题思路】根据三角形边角关系定理和正弦定理，结合问题条件求出sinB的值就可得出选项。
【详细解答】 a=3b，sinA=，= ，sinB===，A正确，选A。
9、（理）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A B C D
（文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）（2020全国高考新课标III）
A B 2 C 4 D 8
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角函数基本关系及运用。
【解答思路】（理）运用余弦定理，结合问题条件求出AB的值，根据余弦定理求出求出cosB的值就可得出选项；（文）运用余弦定理，结合问题条件求出AB的值，根据余弦定理求出cosB的值，从而求出sinB，tanB的值就可得出选项。
【详细解答】（理）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3， AB==3，即cosB= = =，A正确，选A; （文）在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3， AB==3，即cosB=
= =， sinB==， tanB== = 4，
C正确，选C。
10、ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知B=。
（1）若a=c，b=2，求ABC的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C（2020全国高考新课标I文）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）运用余弦定理，结合问题条件得到关于c的一元二次方程，求解方程求出c的值，从而求出a的值，利用三角形的面积公式就可求出ABC的面积；（2）根据正弦定理，结合问题条件得到关于sinC的方程，求解方程组得出sinC的值，从而求出C的值。
【详细解答】（1） a=c，b=2，B=，=+-2accosB，28=3+-2
（-），c=2，a=2=2，=acsinB=22=；（2）sinA+sinC=，sinA = sin（B+C）=cosC-sinC，cosC-sinC sinC=sinC +cosC = sin（C + ）=，0C + = ，C=-=。
11、（理）ABC中，sinA-sinB-sinC=sinBsinC。
（1）求A；
（2）若BC=3，求ABC周长的最大值。
（文）ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos（+A）+cosA=。
（1）求A；
（2）若b-c=a，证明：ABC是直角三角形（2020全国高考新课标II）。
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③同角三角函数的基本关系及运用；④三角函数诱导公式及运用；⑤基本不等式及运用；⑥直角三角形的定义与性质。
【解题思路】（理）（1）运用正弦定理得到关于a，b，c的等式，根据余弦定理，结合问题条件求出求出cosA的值，从而求出A的值；（2）根据余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，利用基本不等式得到关于a+c的不等式，求解不等式就可得出a+c的最大值从而求出ABC周长的最大值；（文）（1）运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到关于cosA的一元二次方程，求解方程求出cosA的值，从而求出A的值；（2）根据正弦定理，结合问题条件得到关于sinB，cosB，的等式，从而求出sin（B-）的值，证明B=就可证明结论。
【详细解答】（理）（1） sinA-sinB-sinC=sinBsinC，= = =2R，
--=bc，+-=-ac， cosA= = =-，00，c>0，b+c2，bc，9=++2bc=-bc-，b+c2，当且仅当b=c=时，a+c取得最大值为2，ABC周长的最大值为3+2；（文）
（1）cos（+A）=-sinA，cos（+A）+cosA=， sinA+cosA=，cosA-cosA
+=0， cosA=，012、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（a，-cosA），=（cosC，b-c），且.=0，则角A的大小为（ ）（2020成都市高三零诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②向量数量积的定义与性质；③求向量数量积的基本方法；④三角形内角和定理及运用；⑤余弦定理及运用；⑥三角函数诱导公式及运用。
【解答思路】运用正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理和求向量数量积的基本方法，结合问题条件求出cosA的值，从而求出角A的大小就可得出选项。
【详细解答】.=a cosC -b cosA +c cosA =0，sinA cosC -sinB cosA +sinC cosA= sinB -sinB cosA= sinB （1 -cosA）=0， sinB＞0，1 -cosA=0，cosA=
=， 13、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且+-=bc。
（1）求sinA的值；
（2）若ABC的面积为，且sinB=3sinC，求ABC的周长（2020成都市高三一珍）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④三角形周长的定义与求法。
【解题思路】（1）运用余弦定理，结合问题条件求出cosA的值，从而求出sinA的值；（2）根据三角形面积公式和正弦定理，结合问题条件得到关于b，c的方程组，求解方程组得出b，c的值，从而求出a的值，利用计算三角形周长的基本方法就可求出ABC的周长。
【详细解答】（1）+-=bc，cosA===，
sinA==；（2）=bcsinA=bc=，bc=6①，sinB
=3sinC，==②，联立①②解得c=2，b=3，=+-bc=18+4-16
=6，a=，ABC的周长为：a+b+c=+3+2。
14、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=，a=2，b=，则ABC的面积为 （2020成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②三角形内角和定理及运用；③余弦定理及运用；④三角形面积公式及运用。
【解答思路】运用余弦定理，结合问题条件求出c的值，根据正弦定理求出sinC的值，利用三角形面积公式就可求ABC的面积。
【详细解答】 B=，a=2，b=，3=4+-22c，-2c+1=0，c=1，=，sinC==，即=2=。
15、在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA
+sinB)。
（1）求角B的大小；
（2）若b=4，求a+c的最大值（2020成都市高三三珍）
【解析】
【考点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用；④基本不等式及运用。
【解题思路】（1）运用正弦定理，结合问题条件得到关于a，b，c的等式，根据余弦定理求出cosB的值，从而求出B的值；（2）根据余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，利用基本不等式得到关于a+c的不等式，求解不等式就可得出a+c的最大值。
【详细解答】（1）sinC= sin（A+B），= = =2R，（a-c）sin（A+B）=（a-b）(sinA+sinB)，（a-c）c=（a-b）（a+b），+-=ac，cosB=
==，0a>0，c>0，a+c2，ac，16=+-2ac=-3ac
-，a+c8，当且仅当a=c=4时，a+c取得最大值为8，a+c的最大值为8。
『思考问题3』
（1）【典例3】是正弦定理和余弦定理应用的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦定理和余弦定理；
（2）正弦定理和余弦定理应用的问题主要包括：①解三角形的问题；②判断三角形的形状；③正弦定理和余弦定理与其它知识点的综合问题；④实际应用问题等几种类型；
（3）在实际解答相关问题时，应该抓住问题的结构特征，采用恰当的方法，从而快捷，准确的给予解答。
（4）运用正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角函数最值等基本知识点解答数学问题时，需要注意三角形内角和定理，三角函数诱导公式，三角形面积公式等基本知识点的综合运用。