2.1.1椭圆及其标准方程
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课件24张PPT。第二章 圆锥曲线与方程
§2.1.1 椭圆及其标准方程 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到 ；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个 ．
当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：
● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？
两条相交直线圆
椭圆双曲线抛物线一、引入结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。常数必须大于两定点的距离1、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c 。几点说明：1、椭圆定义式：|MF1| + |MF2| = 2a > |F1F2|=2c.则M点的轨迹是椭圆.2、若|MF1| + |MF2| = 2a = |F1F2|=2c ，则M点的轨迹是线段F1F2.3、若|MF1| + |MF2| = 2a < |F1F2|=2c ，则M点的轨迹不存在.二、讲授新课应用举例例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形。OxyF1F2M如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+ |MF2|=2a 且2a>2c2、椭圆标准方程及其推导求曲线轨迹方程的步骤：1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（可省略不写）OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(a>b>0)这个方程叫做椭圆的标准方程，
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。acbOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0 , c)椭圆的标准方程的几点说明：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2.椭圆的标准方程分母哪个大，焦点就在哪个轴上a2-c2=b23、椭圆的标准方程小结|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 例4、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定
B例5、椭圆 上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离是（ ）
A.5 B.7 C.8 D.2B例6、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（ ）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹D解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知因此, 所求椭圆的标准方程为解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为①②联立①②,因此, 所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程.例3．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（可省略不写）例5、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。
直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是
，求点M的轨迹方程。解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线
AM的斜率同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为椭圆的一般形式例6、（1）求椭圆的标准方程： 经过点P（- ，2），Q（ ，- ）（2）已知一椭圆的焦距为2 ，且经
过点（2，2），求椭圆的标准方程。填空：
(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则?F2CD的周长为________课前练习543(3,0)、(-3,0)6２0判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a(2)已知椭圆的方程为： ,则
a=_____，b=_______，c=_______，
焦点坐标为：__________，焦距
等于_________;
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则
点P到另一个焦点F2的距离等于_________，
则?F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2P|PF1|+|PF2|=2a课后练习： 1 化简方程：4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足
|MF1|+ |MF2|=6,则动点的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）直线
（C）线段 （D）圆
5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，
则k的取值范围是_______
0
§2.1.1 椭圆及其标准方程 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到 ；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个 ．
当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：
● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？
两条相交直线圆
椭圆双曲线抛物线一、引入结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。常数必须大于两定点的距离1、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c 。几点说明：1、椭圆定义式：|MF1| + |MF2| = 2a > |F1F2|=2c.则M点的轨迹是椭圆.2、若|MF1| + |MF2| = 2a = |F1F2|=2c ，则M点的轨迹是线段F1F2.3、若|MF1| + |MF2| = 2a < |F1F2|=2c ，则M点的轨迹不存在.二、讲授新课应用举例例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形。OxyF1F2M如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+ |MF2|=2a 且2a>2c2、椭圆标准方程及其推导求曲线轨迹方程的步骤：1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（可省略不写）OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(a>b>0)这个方程叫做椭圆的标准方程，
它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。acbOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0 , c)椭圆的标准方程的几点说明：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2.椭圆的标准方程分母哪个大，焦点就在哪个轴上a2-c2=b23、椭圆的标准方程小结|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)例3、椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 例4、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定
B例5、椭圆 上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离是（ ）
A.5 B.7 C.8 D.2B例6、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则动点P的轨迹为（ ）A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹D解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知因此, 所求椭圆的标准方程为解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为①②联立①②,因此, 所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，
写出椭圆的标准方程.例3．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）
（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，
求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
1、建系 2、设标 3、列式 4、化简 5、检验（可省略不写）例5、如图，设点A，B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。
直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是
，求点M的轨迹方程。解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是，所以直线
AM的斜率同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为椭圆的一般形式例6、（1）求椭圆的标准方程： 经过点P（- ，2），Q（ ，- ）（2）已知一椭圆的焦距为2 ，且经
过点（2，2），求椭圆的标准方程。填空：
(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则?F2CD的周长为________课前练习543(3,0)、(-3,0)6２0判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a(2)已知椭圆的方程为： ,则
a=_____，b=_______，c=_______，
焦点坐标为：__________，焦距
等于_________;
若曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则
点P到另一个焦点F2的距离等于_________，
则?F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2P|PF1|+|PF2|=2a课后练习： 1 化简方程：4 设F1，F2为定点,|F1F2|=6，动点M满足
|MF1|+ |MF2|=6,则动点的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）直线
（C）线段 （D）圆
5 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，
则k的取值范围是_______
0