沪科版数学九年级上册 21.1 二次函数1、2两课时（教案）
文档属性
| 名称 | 沪科版数学九年级上册 21.1 二次函数1、2两课时（教案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 521.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-28 07:11:08 | ||
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文档简介
二次函数的图象和性质函数表达式的确定
教学目标
【知识与技能】
使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
重点难点
【重点】
确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.
【难点】
正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.
教学过程
一、问题引入
1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系
(函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)
2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系
(函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)
3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系 函数y=-(x+1)2-1有哪些性质
(函数y=-(x+1)2-1的图象可以看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)
二、新课教授
问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗
师生活动:
教师引导学生作图,巡视,指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误,出示正确图形.
解:(1)列表:
x y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1
… … … …
-3 - -2 -3
-2 -2 - -
-1 - 0 -1
0 0 - -
1 - -2 -3
2 -2 - -
3 - -8 -9
… … … …
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.
问题2:观察图象,回答下列问题.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-x2 向下 x=0 (0,0)
y=-(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0)
y=-(x+1)2-1 向下 x=-1 (-1,-1)
问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x2的图象之间的关系吗
师生活动:
教师引导学生认真观察上述图象.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
函数y=-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.
函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.
故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.
除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗
师生活动:
教师引导学生积极思考,并适当提示.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.
问题4:你能发现函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗
师生活动:
教师组织学生讨论,互相交流.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.
三、典型例题
【例】 要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长
师生活动:
教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.
学生积极思考、解答.
指名板演,教师讲评.
解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,
解得a=-,
因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),
当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25 m.
四、巩固练习
1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.
【答案】函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2(x-1)2-2的图象.
2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).
五、课堂小结
本节知识点如下:
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(或下)向左(或右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定.
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点坐标是(h,k).
教学反思
本节内容主要研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有密切的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y=a(x-h)2+k有两种平移方法:
方法一:
y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
方法二:
y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2+k
在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系,这里利用几何画板软件效果会更好.
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.
【过程与方法】
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.
重点难点
【重点】
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
【难点】
理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.
教学过程
一、问题引入
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).)
2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系
(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的.)
3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质
(当x<2时,函数值y随x的增大而增大;当x>2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1.)
二、新课教授
问题1.思考:我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗
师生活动:
教师引导学生回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极展示探究结果,教师评价.
配方可得:
y=x2-6x+21
=(x-6)2+3
由此可知,抛物线y=x2-6x+21的顶点坐标是(6,3),对称轴是x=6.
问题2.你能画出二次函数y=x2-6x+21的图象吗
分析:由以上问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,通过观察图象进而得到这个函数的性质.
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生回忆画图的步骤,动手画图,相互比较.
教师对学生的作品进行评价,对于画得好的学生要加以鼓励,激发学生的学习热情.
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 5 3 5 …
(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2-6x+21的图象.
与同学分享作图过程.
说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=6,以6为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的;
(2)直角坐标系中,x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.要根据具体问题选取适当的长度单位,使画出的图象美观.
问题3.观察函数y=x2-6x+21的图象,它具有哪些性质
师生活动:
教师引导学生观察二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.
对函数y=x2-6x+21来说:
当x<6时,函数值y随x的增大而减小;
当x>6时,函数值y随x的增大而增大;
当x=6时,函数取得最小值,最小值y=3.
问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质.那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bz+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢 你能把结果写出来吗
师生活动:
教师留给学生足够的思考、探究时间.
学生联系上述处理问题的办法,试着对y=ax2+bx+c进行配方.
师生共同完成配方过程,分享成功.
y=ax2+bx+c
=a(x2+x)+c
=a[x2+x+()2-()2]+c
=a[x2+x+()2]+c-
=a(x+)2+
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).
三、巩固练习
1.通过配方写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x;
(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=x2-4x+3.
【答案】略
2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b= ,c= .
【答案】-4 0
3.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当 时,y随x的增大而增大;当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】x<-2 -2 大 2
4.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
【答案】y=-2x2-4x+1
=-2(x2+2x)+1
=-2(x+1)2+3.
它的顶点坐标为(-1,3).
四、课堂小结
一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标与对称轴.
y=ax2+bx+c
=a(x+)2+
因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点的坐标是(-,).
教学反思
本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标.
本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.
【情感、态度与价值观】
让学生体验二次函数的关系式的应用,提高学生对数学重要性的意识.
重点难点
【重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的关系式.
【难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的表达式是什么 如何求出它的表达式
(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.)
2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式
本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)
二、新课教授
问题1.如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗 如果能,求出这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组
解这个方程组,得:
a=2,b=-3,c=5.
所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.
分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
三、典型例题
【例1】 有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得
解方程组,得
.
答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.
【例2】 已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.
解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得
所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:
解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.
【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.
(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;
(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.
解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.
(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).
解方程组
得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5).
过B、C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为B1、C1,则
S△ABC=--
=(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1
=(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5
=7.5.
小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大.
四、巩固练习
1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函数的关系式.
【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到:解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1.
因为二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函数的关系式为y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.
2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数的关系式.
【答案】依题意,得
解得:p=-10,q=23,
所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23.
五、课堂小结
1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型
两种类型:
(1)一般式:y=ax2+bx+c;
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).
2.如何确定二次函数的关系式
让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解.
教学反思
本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生探索、归纳,得到新知.
教学目标
【知识与技能】
使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【过程与方法】
让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.
重点难点
【重点】
确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.
【难点】
正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.
教学过程
一、问题引入
1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系
(函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)
2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系
(函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)
3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系 函数y=-(x+1)2-1有哪些性质
(函数y=-(x+1)2-1的图象可以看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)
二、新课教授
问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗
师生活动:
教师引导学生作图,巡视,指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误,出示正确图形.
解:(1)列表:
x y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1
… … … …
-3 - -2 -3
-2 -2 - -
-1 - 0 -1
0 0 - -
1 - -2 -3
2 -2 - -
3 - -8 -9
… … … …
(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.
问题2:观察图象,回答下列问题.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-x2 向下 x=0 (0,0)
y=-(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0)
y=-(x+1)2-1 向下 x=-1 (-1,-1)
问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x2的图象之间的关系吗
师生活动:
教师引导学生认真观察上述图象.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
函数y=-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.
函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.
故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.
除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗
师生活动:
教师引导学生积极思考,并适当提示.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.
问题4:你能发现函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗
师生活动:
教师组织学生讨论,互相交流.
学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.
教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.
当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.
三、典型例题
【例】 要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长
师生活动:
教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.
学生积极思考、解答.
指名板演,教师讲评.
解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,
解得a=-,
因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),
当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25 m.
四、巩固练习
1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.
【答案】函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2(x-1)2-2的图象.
2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).
五、课堂小结
本节知识点如下:
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(或下)向左(或右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定.
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点坐标是(h,k).
教学反思
本节内容主要研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有密切的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y=a(x-h)2+k有两种平移方法:
方法一:
y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
方法二:
y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2+k
在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系,这里利用几何画板软件效果会更好.
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.
【过程与方法】
使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.
【情感、态度与价值观】
鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.
重点难点
【重点】
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
【难点】
理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.
教学过程
一、问题引入
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).)
2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系
(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的.)
3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质
(当x<2时,函数值y随x的增大而增大;当x>2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1.)
二、新课教授
问题1.思考:我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗
师生活动:
教师引导学生回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.
学生积极展示探究结果,教师评价.
配方可得:
y=x2-6x+21
=(x-6)2+3
由此可知,抛物线y=x2-6x+21的顶点坐标是(6,3),对称轴是x=6.
问题2.你能画出二次函数y=x2-6x+21的图象吗
分析:由以上问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,通过观察图象进而得到这个函数的性质.
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生回忆画图的步骤,动手画图,相互比较.
教师对学生的作品进行评价,对于画得好的学生要加以鼓励,激发学生的学习热情.
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 5 3 5 …
(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2-6x+21的图象.
与同学分享作图过程.
说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=6,以6为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的;
(2)直角坐标系中,x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.要根据具体问题选取适当的长度单位,使画出的图象美观.
问题3.观察函数y=x2-6x+21的图象,它具有哪些性质
师生活动:
教师引导学生观察二次函数y=x2-6x+21的图象.
学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.
对函数y=x2-6x+21来说:
当x<6时,函数值y随x的增大而减小;
当x>6时,函数值y随x的增大而增大;
当x=6时,函数取得最小值,最小值y=3.
问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质.那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bz+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢 你能把结果写出来吗
师生活动:
教师留给学生足够的思考、探究时间.
学生联系上述处理问题的办法,试着对y=ax2+bx+c进行配方.
师生共同完成配方过程,分享成功.
y=ax2+bx+c
=a(x2+x)+c
=a[x2+x+()2-()2]+c
=a[x2+x+()2]+c-
=a(x+)2+
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).
三、巩固练习
1.通过配方写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x;
(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=x2-4x+3.
【答案】略
2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b= ,c= .
【答案】-4 0
3.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当 时,y随x的增大而增大;当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】x<-2 -2 大 2
4.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
【答案】y=-2x2-4x+1
=-2(x2+2x)+1
=-2(x+1)2+3.
它的顶点坐标为(-1,3).
四、课堂小结
一般地,我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标与对称轴.
y=ax2+bx+c
=a(x+)2+
因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,顶点的坐标是(-,).
教学反思
本节课研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,关键是通过配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.教学时,可以结合复习一元二次方程的知识,认识两者的相同与不同之处.注意让学生根据图象或利用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标.
本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.
【过程与方法】
体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.
【情感、态度与价值观】
让学生体验二次函数的关系式的应用,提高学生对数学重要性的意识.
重点难点
【重点】
已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的关系式.
【难点】
已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的表达式是什么 如何求出它的表达式
(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.)
2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式
本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)
二、新课教授
问题1.如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗 如果能,求出这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组
解这个方程组,得:
a=2,b=-3,c=5.
所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.
分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
三、典型例题
【例1】 有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得
解方程组,得
.
答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.
【例2】 已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.
解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得
所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:
解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.
【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.
(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;
(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.
解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.
(2)由y=x2-4x+8=(x-4)2,得点A的坐标为(4,0).
解方程组
得B、C两点的坐标分别为B(2,2)、C(7,4.5).
过B、C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为B1、C1,则
S△ABC=--
=(BB1+CC1)B1C1-AB1·BB1-AC1·CC1
=(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5
=7.5.
小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值,就是已知该函数的顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量较大.
四、巩固练习
1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=3,求二次函数的关系式.
【答案】解法一:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c=3.又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到:解这个方程组,得
所以,所求二次函数的关系式为y=x2+x+3.
解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1.
因为二次函数的图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函数的关系式为y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.
2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数的关系式.
【答案】依题意,得
解得:p=-10,q=23,
所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23.
五、课堂小结
1.求二次函数的关系式,常见的有几种类型
两种类型:
(1)一般式:y=ax2+bx+c;
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,其顶点坐标是(h,k).
2.如何确定二次函数的关系式
让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常需要三个已知条件.在具体解题时,应根据具体的已知条件灵活选用合适的形式,运用待定系数法求解.
教学反思
本节课研究了二次函数y=ax2+bx+c表达式的求法:
归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设方程为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.
要根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式,体会一题多解的乐趣,激发学生的学习欲望.本节课的处理仍然是在教师的引导下,让学生探索、归纳,得到新知.