2021-2022学年沪科版数学九年级上册第22章 相似形 单元测试卷 （Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年沪科版数学九年级上册第22章 相似形 单元测试卷 （Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 467.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-28 08:32:59 | ||
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文档简介
第22章 相似形单元综合测试卷
一．选择题
1．若＝，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为37℃），这个气温大约为（ ）
A．23℃ B．28℃ C．30℃ D．37℃
3．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．下列说法正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的正方形都相似 D．所有的梯形都相似
5．已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C．（y≠﹣4a） D．4x＝3y
6．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（ ）
A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF
7．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD AB，则（ ）
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断
8．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ADC等于( )
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
10．在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12，在AB上取一点E，使以A，D，E三点为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为( )
A．16 B．14
C．16或14 D．16或9
二．填空题
11．若＝，则＝ ．
12．已知：，则＝ ．
13．已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈ cm．
14．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为 ．
15．已知线段AB，点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1 S2（填＜、≤、＝、＞或≥）．
16．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为 cm．
17．在比例尺为1：5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为 米．
18．如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
19．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
20．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连接EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 ．
三．解答题
21．已知＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x，y，z的值．
22．已知，求m的值．
23．已知，求的值．
24．已知，求的值．
25．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
26．如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，P是边BC上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q.设BP的长为x cm，CQ的长为y cm.
(1)求点P在边BC上运动的过程中y的最大值；
(2)当y＝时，求x的值．
27．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC边所在直线上的一个动点，DE⊥BD交BC边所在直线于点E.
(1)在图①中，AD＝CD，直接写出的值；
(2)在图②中，AD＝2CD，直接写出的值；
(3)在图③中，AD＝CD，先写出的值，再说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝．
故选：A．
2．解：由＝，得＝＝．
故选：D．
3．解：A、1：2＝3：6，即1cm，2cm，3cm，6cm成比例；
B、2：3＝4：6，即2cm，3cm，4cm，6cm成比例；
C、1：＝：，即1cm， cm， cm， cm成比例；
D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例．
故选：D．
4．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选：B．
5．解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
C 7.B 8.B
9．解：∵AB＝AC＝1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2＝k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3＝k2（2+k）；
依此类推，
第n个黄金三角形的周长为kn﹣1（2+k），
∴第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．
故选：D．
10．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，
∵DF＝BC，
∴DA＝DF，
∴AH＝FH，
∵AF⊥BE，
∴DG∥BE，
∴AG＝BG＝，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
12．解：∵＝，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，
∴AP＝AB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
14．解：∵DE∥BC
∴，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．
15．解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB AB，
则S1：S2＝AP2：（PB AB）＝1，即S1＝S2．
故答案为：＝．
16．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．
故答案为：13．
17．解：设它的实际长度为x厘米，则：
1：5000＝25：x，
解得x＝125000．
125000厘米＝1250米．
故答案为：1250．
18．解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，
所以AB＝AD+BD＝25．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，
且∠ACB＝90°．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，
由，
得CF＝x，于是BF＝20﹣x．由于EF∥AC，
所以，
即，
解得．
所以．
故答案为：．
19．解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A＝∠A，
∴当∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或＝即AB2＝AP AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AB2＝AP AC．
20．解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
三．解答题
21．解：由＝＝，得
y＝，z＝2x．
将y＝，z＝2x代入2x+3y﹣z＝1中，得
2x+﹣2x＝18．
解得x＝4，y＝＝6，z＝2x＝8．
22．解：由可知：
x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my．
这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z），
当x+y+z≠0时，有m＝2，
当x+y+z＝0时，有x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1．
故m＝2或﹣1．
23．解：设＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴＝．
24．解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有
若
＝
＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
（2）若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
解法2：若＝k，
则a+b＝（k+1）c，①
a+c＝（k+1）b，②
b+c＝（k+1）a．③
①+②+③有2（a+b+c）＝（k+1）（a+b+c），
所以（a+b+c）（k﹣1）＝0，
故有k＝1或a+b+c＝0．
当k＝1时，＝＝8．
当a+b+c＝0时，＝＝﹣1．
25．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝DC＝AF，
又∵，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点，
∴，
即，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
26.解:(1)∵PQ⊥AP,∴∠CPQ+∠APB=90°.
又∵∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CPQ=∠BAP. 2分
又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABP∽△PCQ, 4分
∴=.
∵AB=BC=4 cm,BP=x cm,CQ=y cm,
∴PC=(4-x)cm,
∴=,∴y=-x2+x,
即y=-(x-2)2+1(0∴当x=2时,y有最大值,最大值为1,即点P在边BC上运动的过程中,y的最大值为1. 6分
(2)x=2+或x=2-. 12分
27.解:(1)如图①,过点D作DF⊥BC于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,∴△DFC是等腰直角三角形,∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴=.
设DF=CF=2k,则AB=BC=3k,∴BF=k.
易证△BDF∽△DEF,
∴===. 4分
(2)如图②,过点D作DF⊥BE于点F,同(1)可得△CDF是等腰直角三角形,∴CF=DF.
∵AD=2CD,∴AC=CD.
在△ABC与△DFC中,
∴△ABC≌△DFC,∴AB=DF,BC=FC,
∴AB=BC=FC=DF,∴BF=2DF.
易证△BDF∽△DEF,
∴==2. 8分
(3)=.
理由:如图③,过点D作DF⊥CE于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,
∴△DFC是等腰直角三角形,
∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴==2.
设AB=m,则DF=2m,BC=m,CF=2m,
∴BF=m.
易证△BDF∽△DEF,
∴===. 14分
一．选择题
1．若＝，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为37℃），这个气温大约为（ ）
A．23℃ B．28℃ C．30℃ D．37℃
3．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．下列说法正确的是（ ）
A．所有的菱形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的正方形都相似 D．所有的梯形都相似
5．已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C．（y≠﹣4a） D．4x＝3y
6．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（ ）
A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF
7．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD AB，则（ ）
A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断
8．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ADC等于( )
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
10．在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12，在AB上取一点E，使以A，D，E三点为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为( )
A．16 B．14
C．16或14 D．16或9
二．填空题
11．若＝，则＝ ．
12．已知：，则＝ ．
13．已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈ cm．
14．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝5，BD＝3，BC＝4，则DE长为 ．
15．已知线段AB，点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1 S2（填＜、≤、＝、＞或≥）．
16．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为 cm．
17．在比例尺为1：5000的江阴市城区地图上，某段路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为 米．
18．如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
19．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，添加一个条件 ．
20．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连接EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 ．
三．解答题
21．已知＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x，y，z的值．
22．已知，求m的值．
23．已知，求的值．
24．已知，求的值．
25．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
26．如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，P是边BC上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q.设BP的长为x cm，CQ的长为y cm.
(1)求点P在边BC上运动的过程中y的最大值；
(2)当y＝时，求x的值．
27．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC边所在直线上的一个动点，DE⊥BD交BC边所在直线于点E.
(1)在图①中，AD＝CD，直接写出的值；
(2)在图②中，AD＝2CD，直接写出的值；
(3)在图③中，AD＝CD，先写出的值，再说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝．
故选：A．
2．解：由＝，得＝＝．
故选：D．
3．解：A、1：2＝3：6，即1cm，2cm，3cm，6cm成比例；
B、2：3＝4：6，即2cm，3cm，4cm，6cm成比例；
C、1：＝：，即1cm， cm， cm， cm成比例；
D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例．
故选：D．
4．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选：B．
5．解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
C 7.B 8.B
9．解：∵AB＝AC＝1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2＝k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3＝k2（2+k）；
依此类推，
第n个黄金三角形的周长为kn﹣1（2+k），
∴第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．
故选：D．
10．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，
∵DF＝BC，
∴DA＝DF，
∴AH＝FH，
∵AF⊥BE，
∴DG∥BE，
∴AG＝BG＝，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
12．解：∵＝，
∴设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，
∴AP＝AB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
14．解：∵DE∥BC
∴，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．
15．解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB AB，
则S1：S2＝AP2：（PB AB）＝1，即S1＝S2．
故答案为：＝．
16．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．
故答案为：13．
17．解：设它的实际长度为x厘米，则：
1：5000＝25：x，
解得x＝125000．
125000厘米＝1250米．
故答案为：1250．
18．解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，
所以AB＝AD+BD＝25．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，
且∠ACB＝90°．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，
由，
得CF＝x，于是BF＝20﹣x．由于EF∥AC，
所以，
即，
解得．
所以．
故答案为：．
19．解：在△ABP和△ACB中，
∵∠A＝∠A，
∴当∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或＝即AB2＝AP AC时，
△ABP∽△ACB，
故答案为∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC或AB2＝AP AC．
20．解：∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，
∴AE＝DE，
∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴2EF＝CD，EF∥DC，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△ACD＝4S△AEF，
∵四边形CDEF的面积为3，
∴△ACD的面积为4，
∴△ABC的面积为3+3+4＝10．
故答案为：10．
三．解答题
21．解：由＝＝，得
y＝，z＝2x．
将y＝，z＝2x代入2x+3y﹣z＝1中，得
2x+﹣2x＝18．
解得x＝4，y＝＝6，z＝2x＝8．
22．解：由可知：
x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my．
这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z），
当x+y+z≠0时，有m＝2，
当x+y+z＝0时，有x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1．
故m＝2或﹣1．
23．解：设＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴＝．
24．解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有
若
＝
＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
（2）若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
解法2：若＝k，
则a+b＝（k+1）c，①
a+c＝（k+1）b，②
b+c＝（k+1）a．③
①+②+③有2（a+b+c）＝（k+1）（a+b+c），
所以（a+b+c）（k﹣1）＝0，
故有k＝1或a+b+c＝0．
当k＝1时，＝＝8．
当a+b+c＝0时，＝＝﹣1．
25．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝DC＝AF，
又∵，
∴，
即点F是线段AD的黄金分割点，
∴，
即，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
26.解:(1)∵PQ⊥AP,∴∠CPQ+∠APB=90°.
又∵∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CPQ=∠BAP. 2分
又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABP∽△PCQ, 4分
∴=.
∵AB=BC=4 cm,BP=x cm,CQ=y cm,
∴PC=(4-x)cm,
∴=,∴y=-x2+x,
即y=-(x-2)2+1(0
(2)x=2+或x=2-. 12分
27.解:(1)如图①,过点D作DF⊥BC于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,∴△DFC是等腰直角三角形,∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴=.
设DF=CF=2k,则AB=BC=3k,∴BF=k.
易证△BDF∽△DEF,
∴===. 4分
(2)如图②,过点D作DF⊥BE于点F,同(1)可得△CDF是等腰直角三角形,∴CF=DF.
∵AD=2CD,∴AC=CD.
在△ABC与△DFC中,
∴△ABC≌△DFC,∴AB=DF,BC=FC,
∴AB=BC=FC=DF,∴BF=2DF.
易证△BDF∽△DEF,
∴==2. 8分
(3)=.
理由:如图③,过点D作DF⊥CE于点F.
∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠ACB=45°,
∴△DFC是等腰直角三角形,
∴DF=CF.
∵∠DFC=∠ABC=90°,∠DCF=∠ACB=45°,
∴△DFC∽△ABC,∴=.
∵AD=CD,∴==2.
设AB=m,则DF=2m,BC=m,CF=2m,
∴BF=m.
易证△BDF∽△DEF,
∴===. 14分