2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。
一、教学目标与数学学科素养
课程目标
1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
数学学科素养
1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；
2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；
3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
二、教学重难点
1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；
2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
三、教学过程
1.表面积
1.1创设情境，引入课题
【实际情境】在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题
用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关．
规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
【设计意图】表面积的求解不是凭空产生的，用包装盒用纸问题这一实例，让学生感受“求表面积”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.
1.2复习回顾，探索新知
【问题】：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
【设计意图】通过复习回顾，让学生感受到求解表面积的转化思想，进而用于解决本节课的新问题情境。
【探究】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
【思考1】棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形；
【思考2】棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形；
【思考3】棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
【小结】求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题，而计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。
【设计意图】通过初中正方体，长方体表面积的求法，提炼出求解表面积的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，了解从空间问题到平面问题转化的思路，形成求解表面积问题的一般方法.
1.3典例分析，举一反三
例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．
【答案】
【解析】因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，
所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．
不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．
因为BC＝SB＝a，SD＝,
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.
故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.
跟踪训练一：已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积．
解题技巧（求多面体表面积注意事项）
1．多面体的表面积转化为各面面积之和．
2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．　　
2.体积
2.1复习回顾，引入课题
还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
(a为正方体的棱长)
(a、b、c为长方体的长、宽、高)
正方体、长方体的体积公式可以统一为：sh
2.2探索新知
【思考1】棱柱的体积公式是什么？如何计算它的体积？
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积V棱柱=sh
【思考2】棱锥的体积公式是什么？如何计算它的体积？
一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积
【思考3】棱台的体积公式是什么？如何计算它的体积？
【思考3】棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
【设计意图】通过初中正方体，长方体体积公式，归纳出求解棱柱的体积公式。然后将棱柱分解，进而求出棱锥的体积公式。接着将棱台看成大棱锥截取一个小棱锥，通过一些相似知识的应用，进而得出棱台的体积公式。过程中让学生体会化归的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，感受求解体积问题的一般方法。最后再从形和数的角度让学生感受棱柱，棱锥，棱台的结构特征及其联系。
2.3典例分析，举一反三
例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？
【答案】
【解析】由题意知长方体的体积，
棱锥的体积，
所以这个漏斗的容积
.
跟踪训练二：如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
解：(1)由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，
∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∴V三棱锥F－A1D1E＝×a×a2＝a3，
∴V三棱锥A1－D1EF＝a3．
解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)
1．常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
归纳小结，提炼升华
1、求几何体的表面积
2、求几何体体积的常用方法
课外作业
四、教学反思
本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了; 棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.
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