2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)
一、教学目标
1. 数学抽象：通过圆的面积推导方法由球的表面积推出其体积公式。
2. 逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。
3. 数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生数形结合能力，有利于数学建模中数形结合能力。
4. 数据分析：通过利用表面积及体积公式解决一些计算问题。
二、教学重难点
1. 掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
2. 掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积,会解决球的切、接问题
三、教学过程
1 创设情景
让学生回顾棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积
【设计意图】把已学知识与新知建立联系，温故知新。并引出本节新课内容
2 新知探究
问题1:圆柱、圆锥、圆台的展开图是什么？
(小组合作，学生回答，教师点拨)
生答:圆柱的侧面展开图为矩形:
圆锥的侧面展开图是扇形:
圆台的侧面展开图是扇环:
问题2:如何求它们的表面积与体积？
(提出本节课所学内容)
问题3:圆柱、圆锥、圆台三者的表面积与体积公式之间有什么关系？大家能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
小组合作，学生回答，教师点拨
问题4:你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？
小组合作，学生回答，教师点拨
【设计意图】段炼学生推理能力, 培养学生数形结合能力.
3新知建构
圆柱的表面积公式:;
圆柱的体积公式:r是底面半径，h是高,则;
圆锥的表面积公式:;
圆锥的的体积公式:r是底面半径，h是高,则;
圆台的表面积公式:;
圆台的体积公式:, 其中S ，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高
球的表面积公式：（R为球的半径）;
球的体积公式:设球的半径为R，则
球的体积：
利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。
当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是 ,
由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积 .
【设计意图】段炼学生类比推理能力， 使学生宏观理解多个公式之间的关系.
4 数学运用
例一：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)
解：一个浮标的表面积为
2π*0.15*0.6+4π*0.15 =0.8478（m ）
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478*0.5*1000=423.9（kg)
【设计意图】培养其解决实际问题能力，对已学知识进行巩固，段炼其计算能力.
例二：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，
,
【设计意图】段炼其发散思维，培养其解决实际问题能力。
变式题1：内接球问题
设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
B. C. D.
解： 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，
长度为＝ = ，线段BC 即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，
长度为 ， 则球的半径 ,所以球的表面积.
总结：
（1）.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2).长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为，如图(2)
【设计意图】对已学知识进行检验，对学生新知掌握程度有所了解，培养学生理论与实际相结合的能力.
变式题2：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米堆约有（ ）
A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛
【设计意图】对已学知识进行检验，了解数学史，激发学生学习数学的热情，培养学生理论与实际相结合的能力.
课堂小结
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的体积
（S为底面面积，h为高）
(S为底面面积，h为高）
（S'，S分别为圆台的上下底面面积，h为圆台的高
球的表面积
球的体积
四、课外作业P120, 习题8.3 4,5 题5