2022届高考数学一轮复习专题3.1函数的概念及其表示讲义

专题3.1 函数的概念及其表示
1.以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体,考查函数的定义域,凸显数学运算；
2.考查换元法、配凑法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用,凸显数学运算；
3.与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合，考查分段函数求值或求参数问题,凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养.
1.函数的概念
函数
两个集合 A，B 设A，B是两个 非空数集
对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系；
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的三种表示法
解析法 图象法 列表法
就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值. 就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值. 就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
4.分段函数
(1) 分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数；
(2)定义域：各段函数的定义域的并集；
(3)其值域:各段函数的值域的并集.
函数的概念
【方法储备】
1.判断两个函数是否为相同函数：一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同；
2.判断图象是否为函数图象：直线x=a与图象最多有一个交点.
【精研题型】
1.（多选）已知集合,请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从M到N的函数的是
A. B. C. D.
2.下面各组函数中表示同一函数的是
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
3.下列图象中，表示函数关系y=f(x)的是
A. B. C. D.
【思维升华】
3.设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如下四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是
A. B. C. D.
4.下列各式为y关于x的函数解析式的是
A.|y|=x-(x-3) B.y=+
C.y= D.y=
函数的定义域
【方法储备】
1.具体函数求定义域的方法：
(1)根据解析式列出所有不等式：零次幂底数不为零、偶次根式下被开方数非负、分母不为零、真数大于零、正切函数；
(2)由具体的题目求出的函数解析式：根据实际问题得出定义域；
(3)复合函数的定义域：先由外函数的定义域确定内函数的值域，从而确定对应的内函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.
2.抽象函数的定义域的求法：
(1)若函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；
(2)若函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.
(3) 若函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(h(x))的定义域为h(x)与g(x)（）值域相同时，对应x的取值范围。
【精研题型】
5.函数的定义域为
A. B. C. D.
6. 已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，则函数f(x)的定义域为
A.[1，4] B.(1,4) C.[1，7] D.(1,7)
7. 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是
A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
【思维升华】
8.函数的定义域为R,则实数m的可能取值是
A. B. C. D.
9.关于函数的结论正确的是
A.定义域、值域分别是，
B.单调增区间是
C.定义域、值域分别是，
D.单调增区间是
【特别提醒】
1.求函数的定义域：列出全部不等式，求交集；实际问题实际对待；
2.函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达.
函数的解析式
【方法储备】
1.待定系数法：已知函数类型，直接设出函数解析式，求出系数；
2.已知函数图象：根据图象判断函数类型，再用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示；
3. 代入法、换元法或配凑法：已知求，或已知求；注意求出的函数的定义域；
4.方程组法：若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
5.奇偶性求解析式：函数具有奇偶性，已知一个区间上的解析式，求对称区间上的解析式.
【精研题型】
10.已知函数是一次函数，满足，则的解析式为
11.若，则f(x)的解析式为
A.f（x）=x2-x B.f（x）=x2-x（x≥0）
C.f（x）=x2-x（x≥1） D.f（x）=x2+x
12.若f(x)对于任意实数x都有，则=
A.3 B.4 C. D.
13.（多选）如图所示的图象表示的函数的解析式为
A. B.
C. D.
E.
14. 已知是奇函数，当时，当时，等于
A. B. C. D.
【思维升华】
15.已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且 ，则=
A. B. C. D.
16.在①f(2x-3)＝4x2-6x，②f(x)+2f(-x)＝3x2-3x，③对任意实数x，y，均有f(x+y)＝2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知函数f(x)满足__________，求f(x)的解析式． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，．
（1）现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，请补全函数f(x)的图像，并根据图像写出函数的单调递增区间；
（2）写出函数的值域；
（3）求出函数的解析式.
分段函数
【方法储备】
1.求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；
2.当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
3.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；
4.多使用数形结合，帮助理解.
【精研题型】
18.设 ，且，则的值为
A. B. C. D.
19.已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
20.（多选）已知函数f(x)=，关于函数f(x)的结论正确的是
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞，4]
C.若f(x)＝2，则x的值是
D.f(x)＜1的解集为(-1，1)
【思维升华】
21.若函数 ，则f(x)的值域为
A. B. C. D.
22.设函数，则f(f(0))＝ ，使得f(a)≥4a的实数a的取值范围是 ．
23.定义，若函数f(x)＝min{x2-3x+3，-|x-3|+3}，且f(x)在区间[m，n]上的值域为，则区间[m，n]长度的最大值为
A.1 B. C. D.