2022届高考数学一轮复习专题1.2常用逻辑用语讲义

2022届高考数学一轮复习专题1.2 常用逻辑用语
1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养；
2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.
1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分、必要条件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 集合关系
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 A B
p是q的充分不必要条件 p q且q p AB
p是q的必要不充分条件 p q且q p BA
p是q的充要条件 p q AB
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p A B且A B
2.全称量词与存在量词
1.全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.
（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
2.存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题.
（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.
3.全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.
（2）含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
充分条件、必要条件的判断
【方法储备】
充要关系的几种判断方法：
（1）定义法：①若，则p是q的充分而不必要条件；
②若，则p是q的必要而不充分条件；
③若，则p是q的充要条件；
④若，则p是q的既不充分也不必要条件.
（2）等价转化法：即利用与；与；与
的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价转化法.
（3）集合关系法：从集合的观点理解，根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系.
【精研题型】
1.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.（多选）下列命题中为真命题的是
A.“a-b=0”的充要条件是“=1”
B.“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件
C.命题“xR,-<0”的否定是xR,-0”
D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件
3.某班从A，B，C，D四位同学中选拔一人参加校艺术节展演，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教师预测如下：甲说：“C或D被选中，”乙说：“B被选中，”丙说：“A，D均未被选中，”丁说：“C被选中．”若这四位教师中只有两位说的话是对的，则被选中的是
A.A B.B C.C D.D
【思维升华】
4.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是
A. B.
C. D.
5. 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
充分条件、必要条件的应用
【方法储备】
1.求参数的取值范围：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，由集合之间的关系列不等式(或不等式组)求解；
（2）要注意区间端点值的检验，不等式是否能够取等号决定端点值得取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
2.探求某结论成立的充分、必要条件：
（1）准确化简条件，即求出每个条件对应的充要条件；
（2）问题的形式：① “p是q的……”，② “p的……是q”，②要转化为①，再求解；
（3）准确判断两个条件之间的关系：①转化为两个命题关系的判断；②借助两个集合之间的关系来判断.
【精研题型】
6.设p：2x2-3x+1≤0，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
7.“，”为真命题的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
【思维升华】
8.“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是
A. B.
C. D.
9.已知函数的定义域是，不等式的解集是．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，且是的充分不必要条件，求的取值范围．
【特别提醒】
对于不等式问题：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围
全称命题与特称命题
【方法储备】
1.全称(或特称)命题的否定：①将全称(或存在)量词改为存在 (或全称) 量词；
②结论否定；
命题 命题的否定
即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
2. 全称命题与特称命题真假的判断：
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称命题 真 限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立 否定为假
假 举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立 否定为真
特称命题 真 在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立 否定为假
假 限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立 否定为真
3.常见词语的否定形式有：
原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使p(x)真 或 且
否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x0∈A使p(x0)假 非且非 非或非
【精研题型】
10.命题“ x∈R，”的否定是
A. x∈R， B. x∈R，
C. x∈R， D. x∈R，
11.（多选）若“ x∈M，|x|＞x”为真命题，“ x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是
A.{x|x＜-5} B.{x|-3＜x＜-1}
C.{x|x＞3} D.{x|0≤x≤3}
12.公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”．被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．其中“一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为
A. x，y，z，n，m，p∈Z且n≥2，xn＋ym≠zp恒成立
B. x，y，z，n，p∈Z且n＞2，xn＋yn≠zp恒成立
C. x，y，z，n∈Z且n＞2，xn＋yn≠zn恒成立
D. x，y，z，n∈Z且n≥2，xn＋yn≠zn恒成立
【思维升华】
13. （多选）下列四个关于三角函数的全称量词命题与存在量词命题，其中真命题为
A.，
B.，
C.，
D.，
14. 在① x∈R，x2+2x+2-a＝0，②存在集合A＝{x|2＜x＜4}，非空集合B＝{x|a＜x＜3a}，使得A∩B＝ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a．
问题：求解实数a，使得命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0，命题q：_______都是真命题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
全称（存在）量词命题的综合应用
【方法储备】
含有量词的命题求参数的问题是恒成立或有解问题：
（1）全称量词命题（或）为真：不等式恒成立问题，通常转化为求的最大值（或最小值），即（或）；
（2）存在量词命题（或）为真：不等式能成立问题，通常转化为求的最小值（或最大值），即（或）．
【精研题型】
15. 若“ ,使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 ．
16.已知定义在R上的函数满足，且在[0，+∞）上单调递减，若对任意的x∈R，恒成立，则实数的取值范围为
A. B.（-∞，-1） C. D.（1，+∞）
17.若 x0∈R，为假，则实数的取值范围为 ．
【思维升华】
18.已知函数f(x)＝x，g(x)＝-x2+2x+b，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，9]，使得g(x1)＝f(x2)，则b的取值范围是 ．
19.（多选）已知p:，q:,则下列说法正确的是
A.p的否定是：
B.q的否定是：
C.p为真命题时，
D.q为真命题时，