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2021 ～ 2022年度
湘鄂冀三省七校秋季 12月联考
高二 数学 试卷
考试时间：2021 年 12 月 16 日下午 14:00 - 16:00
本试题卷共 4页，22 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规
定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔
将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1 2
1．抛物线 y x4 的准线方程是（ ▲ ）
y 1 1 1A． B． y 1 C． x x 16 D． 16
x2 y2
2．椭圆 1的焦点为 F PF 3 PF
16 25 1
，F2，P为椭圆上一点，若 1 ，则 2 （ ▲ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
2 2
3．两个圆C1 : x y 2x 2y 2 0与圆C : x
2 y22 4x 2y 4 0的公切线有（ ▲ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得
到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦
点在 y 3轴上，且椭圆C的离心率为 ，面积为 20 ，则椭圆C的标准方程为（ ▲ ）
5
x2 y2 x2 y2 1 x
2 y2 x2 y2
A． 1 B． C． 14 5 D． 116 25 25 16 5 4
5．已知抛物线C： x2 2 py（ p 0）的焦点为 F，点M 是C上的一点，M 到直
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线 y 2p的距离是M 到C的准线距离的 2倍，且 MF 6，则 p （ ▲ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
6．若直线 l : y kx 2与双曲线C : x2 y 2 4的左、右两支各有一个交点，则实数 k
的取值范围是（ ▲ ）
A． ( 2, 1) B． (1, 2) C． ( 1,1) D． ( 2, 2)
2
7．已知线段MN是圆C : x 1 y2 9的一条动弦，且 MN 2 5，若点 P为直
线 2x y 6 0上的任意一点，则 PM PN 的最小值为（ ▲ ）
8 5 8 5 16 5 16 5
A． 2 B． 2 C． 4 D． 4
5 5 5 5
2 2
8．如图， F1( c,0),F2 (c,0)
x y
分别为双曲线 : 2 2 1(a, b 0) 的左、a b
右焦点，过点F1作直线 l，使直线 l与圆 (x c)2 y2 r 2相切于点 P,
设直线 l交双曲线 的左右两支分别于 A、B两点（A、B位于线段
F1P 上），若 F1A :| AB |:| BP | 2 : 2 :1,则双曲线 的离心率为（ ▲ ）
265
A． B．5 C． 2 6 2 3 D． 2 6 3
5
二、选择题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2分.
x2 y2
9．已知曲线 C的方程为 1 m R ，则（ ▲ ）
m 1 3 m
A．当m 1时，曲线 C为圆
B．当m >1时，曲线 C为焦点在 x轴上的椭圆
C．当m 5 3时，曲线 C为双曲线，其渐近线方程为 y x
3
D．存在实数m使得曲线 C为双曲线，其离心率为 2
10．已知圆 C：(x 1)2 (y 1)2 16，直线 l：(2m 1)x (m 1)y 3m 1 0 .下列说法
正确的是（ ▲ ）
A．直线 l恒与圆有两个公共点
B．圆 C被 y轴截得的弦长为2 15
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C．直线 l恒过定点 (2,1)
D．直线 l被圆 C截得弦长存在最小值，此时直线 l的方程为 x 2y 4 0
11．经过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F的直线交抛物线于 A,B两点，设
A x1, y1 ,B x2 , y2 ，则下列说法中正确的是（ ▲ ）
1 1 p
A． B．当 AB与 x轴垂直时， AB 最小
AF BF 2
2 x pC．y1y2＝－p D．以弦 AB 为直径的圆与直线 相离2
12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望
的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵
然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点 F 1,0 ，直线 l : x 4，动点 P到点F 的
距离是点 P到直线 l的距离的一半.若某直线上存在这样的点 P，则称该直线为
“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ▲ ）
x2 y2
A．点 P的轨迹方程是 1
4 3
B．直线 l1： x 2y 4 0是“最远距离直线”
C．平面上有一点 A 1,1 ，则 PA 2 PF 的最小值为 5.
D．点 P的轨迹与圆C： x2 y2 2x 0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
三、填空题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．椭圆上点到其焦点的距离最大为 5，最小为 3，则该椭圆的离心率为 ▲ .
14．过点 A 1, 1 ,B 1,1 且圆心在直线 x y 2 0上的圆的标准方程是 ▲ .
x2 y2
15．在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的右焦点 F (c,0)到一a b
3
条渐近线的距离为 c，则其离心率的值是 ▲ .
2
16．抛物线C : y2 4x的焦点为 F，准线为 l，M 是C上在第一象限内的一点，点
N在 l上，已知MF NF， MF 5，则直线MN与 y轴交点 P的坐标为 ▲ .
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四、解答题（17 题 10 分，其它各题 12 分）
17．已知直线 l过点 A( 2,1)．
（1）若直线 l与直线 2x 3y 5 0垂直，求直线 l的方程；
（2）若直线 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程．
1
18．已知抛物线C : y 2 2px(p 0) 的准线方程为 x ， F2 为抛物线的焦点．
（I）求抛物线C的方程；
7
（II）若 P是抛物线 C上一点，点 A的坐标为（ 2 ,2），求
PA PF 的最小值．
19．在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线C的焦点为 (0, 3)、 (0, 3)，实轴长
为2 2 .
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点Q(1,1)的直线 l与曲线C交于M ，N两点，且恰好为线段MN的中点，
求线段MN长度.
第 4 页 共 5 页
20．在平面直角坐标系 xoy中，设圆 x2 y2 4x 0的圆心为M .
（1）求过点P 0, 4 且与圆M 相切的直线的方程；
（2）若过点P 0, 4 且斜率为 k的直线与圆M 相交于不同的两点 A,B，设直线
OA、OB的斜率分别为 k1,k2，问 k1+k2是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，
请说明理由.
1 3
21．已知过圆C 2 2 1 : x y 1上一点 E , 的切线，交坐标轴于 A、B两点，
2 2
2 2
且 A、B x y恰好分别为椭圆C2 : 2 2 1 a b 0 的上顶点和右顶点．a b
（1）求椭圆 C2的方程；
（2）已知 P为椭圆的左顶点，过点 P作直线 PM、PN 分别交椭圆于 M、N两点，
若直线 MN 过定点 Q（﹣1，0），求证：PM⊥PN．
2 2 1
22．已知椭圆C :
x y
2 2 1(a b 0)的短轴长为2 3，离心率为a b 2
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线 l : y kx m与椭圆C相交于A， B两点（A， B不是左右顶点），且
以 AB为直径的圆过椭圆C的左顶点E，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐
标．
第 5 页 共 5 页2021 ～ 2022 年度
湘鄂冀三省七校秋季 12 月联考
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A D C D A
二、选择题
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD BC ABC
三、填空题
1
13． 4
14． x 1 2 y 1 2 4
15．2
16． 0,2
四、解答题
17．解（1）设直线 l的方程为3x 2 y m 0，则3 ( 2) 2 1 m 0，
解得m 8，
所以直线 l的方程为3x 2y 8 0．………………………………………………………（5分）
注：方法不唯一，用点斜式方程求解正确同样给分.
1 1
（2）当直线 l过原点时，斜率为 ，由点斜式求得直线 l的方程是 y x，即 x 2y 0．
2 2
当直线 l不过原点时，设直线 l的方程为 x y a，把点 A( 2,1)代入方程得a 1，
所以直线 l的方程是 x y 1 0．
综上，所求直线 l的方程为 x 2y 0或 x y 1 0．……………………………………（10分）
18．解（1 1）∵准线方程 x=- p2 ,得 =1，
∴抛物线 C的方程为 y2 2x………………………………………………………………（5分）
（2）过点 P作准线的垂线，垂足为 B，则 PB = PF
要使 PA + PF 的最小，则 P，A，B三点共线
PA PF 7+ = + 1此时 2 =4·…………………………………………………………………（12分）2
19．解（1）双曲线C的焦点为 (0, 3)、 (0, 3)，实轴长为 2 2，则 a 2， c 3，而
b2 c2 a2 3 2 1，
y
2
双曲线C的标准方程 x2 1；………………………………………………………（5分）
2
（2）设点M (x1，y1)，N (x2，y2 )，点Q(1,1)恰好为线段MN的中点，即有 x1 x2 2，y1 y2 2，
y21
x
2 1
2 1 1
又 ，两式相减可得 (y
y2 2 1
y2 )(y1 y2 ) (x1 x2 )(x1 x2 )，
2 2
x2 1 2
y1 y 2 2
x1 x
，
2
直线 l的斜率为 k 2，其方程为 y 1 2(x 1) ，即 y 2x 1，
y 2x 1 1
由 2 ，即
2
y 2x2 2 2x 4x 1 0
，可得 x1x2 ，
2
则 MN 1 22 x1 x2 2 4x1x2 30…………………………………（12分）
20．解（1）由题意知，圆心M 坐标为 2，0 ，半径为 2，
当切线斜率存在时，设切线方程为： y kx 4，
|2k-4| 3
所以，由 d 22 解得 k ，1 k 4
3
所以切线方程为 y x 4，
4
当切线斜率不存在时，x 0，满足已知.
3
所以切线方程为 y x 4或 x 0…………………………………………………（5分）
4
（2）假设存在满足条件的实数 k，设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
y kx 4
{ 1 k 2联立 2 2 得 x2 8k 4 x 16 0x y 4x 0
16 2k 1 2 64 1 k 2 0
3 3
k （或由（1）知 k ）
4 4
x x 8k 4 16则 1 2 ，x1 k 2 1
x2 .1 k 2
k k y1 y2 y1x y x kx 4 x kx 4 x于是 1 2 2 1 1 2 2 12 x1 x2 x1x2 x1x2
4 x1 x 2k 2
x1x2
k k 8k 41 2 2k 4 1 定值 ………………………………………………………（12分）16
1 3
21 3 1．解（1）设过点 E , 的切线方程为 y﹣ ＝k（x﹣ ），
2 2
2 2
1
即 kx﹣y+ 3 ﹣ k＝0，
2 2
因为圆心到直线的距离等于半径，
3 1 k 3
所以 2 2 ，解得 k＝﹣ ，
1 3
k 2 1
3
所以切线方程为﹣ x y 2 3 0，
3 3
令 x 0 2 3＝ ，得 y＝ ，A（0 2 3， ），
3 3
令 y＝0，得 x＝2，B（2，0）．
所以 b 2 3＝ ，a＝2，
3
x2 y2
1
所以椭圆 C2方程为： 4 4 ……………………………………………………（5分）
3
（2）由（1）可知 p（﹣2，0），
设直线 MN方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程得：（m2+3）y2﹣2my﹣3＝0，
2m 3
y1+y2＝ ，y ym2 3 1 2
＝ 2 ， m 3
x1+x2＝（my1﹣1）+（my2﹣1）＝m（y1+y2）﹣2，
x1x2＝（my1﹣1）（my2﹣1）＝m2y1y2﹣m（y1+y2）+1，
PM PN＝（x1+2，y1） （x2+2，y2）＝（x1+2）（x2+2）+y1y2
＝x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2，
＝m2y1y2﹣m（y1+y2）+1+2[m（y1+y2）﹣2]+4+y1y2，
＝（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1，
3 2m
＝（m2+1）（ 2 ）+m（ ）+1，m 3 m2 3
3m2 3 2m2 m2 3
＝ 2 ＝0，m 3
所以 PM⊥PN．……………………………………………………………………………（12分）
2 2
22．解(1) x y 1因为椭圆C： 2 2 1(a b 0)的短轴长为2 3，离心率为a b 2
，
c 1
所以有 2b 2 3且 ，而 a2 b2 c2，解得a2 4,b2 3，因此椭圆C的标准方程为：a 2
x2 y2
1；…………………………………………………………………………………（5分）
4 3
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2) ，由题意可知 x1, x2 2，设椭圆左顶点的坐标为： E( 2,0)，因
为以 AB为直径的圆过椭圆C的左顶点，所以有
AE BE AE BE AE BE 0 ( 2 x 1)( 2 x 2) ( y 1)( y 2) 0 ，
即： 4 2(x1 x2) x1x2 y1y2 0(*)
直线 I : y kx m与椭圆C的方程联立，得：
y kx m
22 2 (3 4k 2 x y )x
2 8kmx 4m2 12 0 x 8km 1 x2 2 , x x
4m 12
,
1 3 4k
1 2 3 4k 2
4 3
2 2
因此 y1y2 (kx1 m)(kx m) k
2 x x km(x x ) m2 3m 12k2 1 2 1 2 2 ，3 4k
16km 4m 2 12 3m 2 12k 2
因此由 (*)可得： 4 2 2 2 0 ，化简得：3 4k 3 4k 3 4k
4k 2 16km 7m2 0 (2k m)(2k 7m) 2 0 m 2k或, m k
7
当m 2k时，直线 方程为 y kx m y kx 2k y k(x 2)该直线恒过 ( 2,0)点这与已
知矛盾，故舍去；
m 2当 k
2
时，直线 l方程为 y kx m y kx k y k (x
2
)该直线恒过 (
2
,0)点，
7 7 7 7
2
综上所述：直线 l过定点 ( ,0) .…………………………………………………………（12分）
7
