2021 ～ 2022 年度
湘鄂冀三省七校秋季 12 月联考
高一数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B C A D A
二、选择题
题号 9 10 11 12
答案 CD CD ACD BC
三、填空题
1 ,1 13． 2
(1,5) 14．5
15．0 b 2
1
16． (0, ) (2, )4
四、解答题
1 2
1 8 3 217．解(1) 2
2
( 9.6) 0
3
4
27 2
1 2 1
9 2 3 3 2 2 2 22
1 2
3 2 2 2
1 =
1 ………………………………（5 分）
4 3 3 2 3 3
2
4 log
1 3
（2） log3 27 lg 25 lg 4
7
7 4 log 433 2lg5 2lg2
1
4
3
2 lg 5 lg 2 1 3 1 2 3………………………………………………………（10 分）
4 4 4 4
18．解（1）由题得 f (0)=0，
所以 a 1 .
经检验当 a 1时，函数 f（-x）=-f（x），满足是奇函数，所以 a 1……………………（2分）
（2）f（x）在 R上单调递增.
f (x ) f (x ) 2 2 2(3
x1 3x2 )
证明如下：在 R上任取 x1, x2，设 x1 x2，则 1 2 ＝ x x 3 2 1 3 1 1 (3x2 1)(3x1 1)
又∵3x＞0，∴3x1 1 0，3x2 1 0，
∵ y 3x单调递增
∴3x1 3x2 ，∴ f (x1) f (x2)，
答案第 1页，共 4页
∴f（x）在 R上单调递增…………………………………………………………………（7 分）
2
（3） f (x) 1 ，
3x 1
∵3x＋1＞1，
2
∴0＜ x 23 1
2
∴－2＜－ x ，3 1
∴f（x）∈（－1，1）.
所以函数 f（x）在 R上的值域为（－1，1）……………………………………………（12 分）
3 x 0
19．解(1)由 得 3 x 3 ,
3 x 0
所以 f x 的定义域为 3,3 ………………………………………………………………（4 分）
又因为 f x ln 3 x ln 3 x f x ，所以 f x 偶函数…………………………（6 分）
（2）因为 f x ln 3 x ln 3 x ln 9 x2 所以 f x 是[0，3）上的减函数,
又 f x 是偶函数.
3 2m 1 3
故 3 m 3
1
解得 1 m 或1 m 2……………………………………………（12 分）
3
2m 1 m
20．解（1）解： f x 2x2 8x m 3为二次函数，开口向上，对称轴为 x 2，
可知函数 f x 在区间 1,1 上单调递减，
f 1 0
∵ f x 在区间 1,1 上存在零点，∴ ，………………………………………（3 分）
f 1 0
2 8 m 3 0
即 13 m 3
2
，解得： ，
8 m 3 0
∴实数m的取值范围是 13,3 ……………………………………………………………（6 分）
（2）解：当m 4时， f x 2x2 8x 1为二次函数，开口向上，对称轴为 x 2，
所以 f x 在区间 1,1 上单调递减，
f 1 9， f 1 7，则 f 1 f 1 0，
答案第 2页，共 4页
∴函数 f x 在 1,1 上存在唯一零点 x0……………………………………………………（9分）
又 f x 为R上的连续函数，
∵ f 0 1 0，∴ f 1 f 0 0，∴ x0 1,0 ，
f 1 7 0 f 1 ∵ ，∴ f 0 0
1
，∴ x
,0 ，
2 2 2 0 2
f 1 9∵ 0 f
1 1
，∴
4 8
f 0 0，∴ x0 4 , 04 ，
f 1 1 0 f 1∵
，∴ f 0 0
1
，∴ x0
,0
8 32 8 8
，
f 1 63 0 f 1 1 1 1 ， f 0, x ,
16 128 16 8 0 8 16,
1 1 1
此时误差为 0.1，即满足误差不超过 0.1，
16 8 16
1 1
∴零点所在的区间为 , …………………………………………………………（12 分）
8 16
21．解（1）由题意符合公司要求的函数 f x 在 3000,9000 为增函数，
在且对 x 3000,9000 ，恒有 f x 100且 f x x ．
5
①对于函数 f x 0.03x 8，当 x 3000时， f 3000 98 100，不符合要求；……（2 分）
x
②对于函数 f x 0.8 200为减函数，不符合要求； …………………………………（4 分）
③对于函数 f x 100log20x 50在 3000,10000 ，
显然 f x 为增函数，且当 x 3000时， f 3000 100log2020 50 100；
又因为 f x f 9000 100log209000 50 100log20160000 50 450；
x 3000 x
而 600，所以当 x 3000,9000 时， f x
5 5 max 5
．
min
f x x所以 恒成立；
5
因此， f x 100log20x 50为满足条件的函数模型 …………………………………（8 分）
（2）由100log20x 50 350 得： log20x 3，所以 x 8000，
所以公司的投资收益至少要达到8000万元……………………………………………（12 分）
答案第 3页，共 4页
22．解(1)由题意得 f x 2 log2x 3 log2x 1 log2x 2log2x 3
log2x 1
2
4 4，
即 f x 的值域为[－4，﹢∞)……………………………………………………………（5 分）
1
（2）由不等式 f x g a 对任意实数 a , 2 恒成立得 f x g a 2 min …………（6分）
2 2
又g a 4a 2a 1 3 2a 2 2a 3 2a 1 4，
t 2a ,a 1设 , 2
2
，则 t 2,4 ，
∴g a t2 2 2t 3 t 1 4，
∴当 t 2时，g a min = 1 2 2…………………………………………………………（9 分）
∴ f x 1 2 2 ，即 log 22x 1 4 1 2 2，
整理得1 2 log2x 1 2 1，即 2 2 log2x 2，
解得 22 2 x 2 2 ，
∴实数 x的取值范围为[22 2 , 2 2 ]………………………………………………………（12 分）
答案第 4页，共 4页秘密★启用前
2021 ～ 2022 年度
湘鄂冀三省七校秋季 12月联考
高一 数学 试卷
考试时间：2021 年 12 月 18 日下午 14:00 - 16:00
本试题卷共 4页，22 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规
定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔
将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．与 800°角终边相同的角可以表示为（ ▲ ）， k Z
A． k 360 100 B． k 360 80
C． k 360 60 D． k 360 40
2．函数 f x lnx 2x 6 的零点一定位于区间（ ▲ ）
A． 4,5 B． 3, 4 C． 2,3 D． 1,2
3．函数 y 2x x 2的图象大致是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
第 1 页 共 4 页
4．已知 a 21.2，b 40.7 ,c log3 8，则 a,b,c的大小关系为（ ▲ ）
A．a c b B． c a b C．b c a D． c b a
1 1
5．设2a 5b m，且 1，则m （ ▲ ）a b
A．100 B．20 C．10 D． 10
6．已知 a a 1 3，则 a3 a 3 （ ▲ ）
A．18 B．27 C．15 D．25
7．已知曲线 y ax 1 1(a 0且 a 1)过定点 k ,b 4 1，若m n b且m 0,n 0，则
m n
的最小值为（ ▲ ）
5 9
A． 2 B．9 C．5 D． 2
8．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提
出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越
暗.到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出
了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度
满足m1 m2 2.5 lgE2 lgE1 ，其中星等为mk的星的亮度为 Ek (k 1,2) .已知“心宿
二”的星等是 1.00，“天津四”的星等是 1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天
津四”的（ ▲ ）倍.（当 | x |较小时，10x 1 2.3x 2.7x2）
A．1.26 B．1.27 C．1.22 D．1.23
二、选择题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2分.
1
9．已知函数 f x 2x x ，则（ ▲ ）2
A． f log 3 42 B． f x 在 , 上单调递增3
C． f x 为偶函数 D． f x 的最小值为 2
10．对于函数 f x loga x a 1 ，说法正确的有（ ▲ ）
A．对 x1, x2 0, ，都有 f x1 f x2 f x1 x2
B． x0 0, ，使得 x0 1 f x0 0
第 2 页 共 4 页
C．函数 f x 1有两个零点，且互为倒数
f x f x
D．对 x1, x2 0, x x
1 2 x x
， ，都有 f 1 2
1 2 2 2
11．如图，某池塘里的浮萍面积 y（单位：m2 ）与时间 t（单位：月）
的关系式为 y ka t (k R且 k 0，a 1)．则下列说法正确的是（ ▲ ）
A．第 6个月时，浮萍的面积会超过30m2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．浮萍面积从 2m2 蔓延到64m2 只需经过 5个月
D．若浮萍面积蔓延到 4m2 ，6m2 ，9m2所经过的时间分别为 t1，t2 ，t3，则 t1 t3 2t2
log2 x , x 0
12．已知函数 f x f x f x f x f x
log2 x 1 , x 0
.若 1 2 3 4 且
x1 x2 x3 x4，则下列结论正确的有（ ▲ ）
A． x1 x2 x3 x4 0 B． x1 x2 x3 x4 0
C． 0 x1x2x3x4 1 D． x1x2x3x4 1
三、填空题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
x
13．函数 y log (2x 1) 32 2 的定义域为 ▲ .
14．如图所示的时钟显示的时刻为 3：30，此时时针与分针的夹
角为 0 2 .若一个半径为 12 的扇形的圆心角为
，则该
扇形的弧长为 ▲ .
x
15．若函数 f (x) 2 2 b有两个零点，则实数b的取值范围是 ▲ .
16．已知 f (x) x 2 2x 4, g(x) a x（ a 0 且a 1），若对任意的 x1 [1,2]，都存在
x2 [ 1,2]，使得 f (x1) g(x2 )成立，则实数 a的取值范围是 ▲ .
四、解答题（17 题 10 分，其它各题 12 分）
17．计算下列各式的值：
1 2
2
（1） 2 1
2 3 log 1
( 9.6)
0 8 3 ；（2） log 4 27 lg 25 lg 4 7
7 4 .
4 27 2 3
第 3 页 共 4 页
2
18．已知定义域为 R的函数 f (x) a x (a R)是奇函数．3 1
（1）求 a的值.（2）判断函数 f x 在 R上的单调性并证明你的结论.
（3）求函数 f x 在 R上的值域.
19．已知函数 f (x) ln(3 x) ln(3 x) .
（1）求函数 y f (x)的定义域并判断奇偶性；
（2）若 f (2m 1) f (m)，求实数 m的取值范围.
20．已知函数 f x 2x2 8x m 3为R上的连续函数．
（1）若函数 f x 在区间 1,1 上存在零点，求实数m的取值范围．
（2）若m 4，判断 f x 在 1,1 上是否存在零点？若存在，请在误差不超过 0.1
的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
21．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现 9000 万元的投
资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到 3000 万
元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位：
万元）的增加而增加，奖金总数不低于 100 万元，且奖金总数不超过投资收益的
20%．
x
（1）现有三个奖励函数模型：① f x 0.03x 8，② f x 0.8 200，③
f x 100log20 x 50，x 3000,9000 ．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到 350 万元，公司的
投资收益至少要达到多少万元？
22．已知函数 f x log
x
2 log2 2x g x 4x 2x 1 ，函数 38 ．
（1）求函数 f x 的值域；
1
（2）若不等式 f x g a 0对任意实数 a , 22 恒成立，试求实数
x的取值范围．
第 4 页 共 4 页
