2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.2 立体图形的直观图 (第一课时)教学设计

8.2 立体几何的直观图（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第8章)
一、教学目标
1. 会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间儿何体的直观图，能够达到直观想象核心素养学业质量水平的层次.
2. 通过关观察和类比的方法，掌握利用斜二测画法画出立体图形的直观图的步骤.
二、教学重难点
1. 斜二测画法
2. 养成规范画图的习惯和技巧
三、教学过程
1.斜二测画法的生成
1.1引入新课，渐入佳境
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识。
1.2 问题导入，提升理性思维
问题1：请你说出下面几何体分别是什么几何体？
【预设的答案】长方体、五棱锥、圆柱、圆锥、圆台、四棱台
【设计意图】先回顾一些重要的几何体，让学生对这些几何体的直观图有一个初步的印象
问题2：（1）如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
【活动预设】通过身边的生活案例，认识平行投影的基本特征.
问题2 （2）为什么是这些形状？能用平行投影知识加以解释吗？
【活动预设】感受一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关.
1.3 导出新知，进入主题
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法
这种画法最初由莱奥纳多·达·芬奇使用在美术上面，详细而全面的使用是法国数学家蒙日在军事地图及军事工事上的使用，那他们究竟是怎么画的？
水平放置的平面图形的直观图的绘制方法
（1）画轴.在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O', 且使∠x'O'y'=45° (或135°) , 它们确定的平面表示水平面；
（2）平移.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；
（3）取长度.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
【活动预设】感受数学来源于生活，又反向服务于生产生活的本质.
【设计意图】激发学生学习斜二测画法的兴趣. 以教师介绍斜二测画法的并给出斜二测画法的基本步骤，加深学生理解、识记，培养学习的理解记忆能力
2.典例分析
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
画法： (1) 如图8. 2-4 (1) , 在正六边形 ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O. 在图8. 2-4 (2) 中，画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O', 使得∠x'O'y'=45°.
（2）在图8. 2-4 (2) 中，以O'为中点，在x'轴上取A'D'=AD, 在y'轴上取M'N'=MN. 以点N'为中点，
画B'C平行于x轴，并且等于BC; 再以M'为中点，画F'E'平行于x'轴，并且等于FE.
（3）连接A'B', CD, D'E'. F'A', 并擦去辅助线x'轴和y'轴，便获得整理六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E' F'.
注意：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系非常关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，便于画点，原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点，原图中的平行线仍然是平行线.
【活动预设】
教师用多媒体课件讲题的同时，学生要观察、思考用斜二次画法画平面图形的直观图步骤是如何在例题中体现的？在例题的讲解中提醒学生关注画图时的注意事项；
【设计意图】师生互动突破重点，让学生在具体问题中使用斜二测画法平面图形的直观图，培养学生的动手能力和空间想象能力，提升直观想象素养.
思考：用斜二测画法画可以将一个多边形水平放置，如图所示，若是一个圆，我们将其水平放置有什么办法？
教师指出对于水平放置的圆，一般采用正等测的画法，教材不做具体要求，实际画图时只要先画出椭圆的轴，然后利用椭圆模板或者徒手画出一个近似椭圆即可.（有兴趣的同学可查资料，自行探究如何用正等测画法画水平放置的圆）
例2 已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.（教材109页例2）
（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使得∠xOy=45°，∠xOz=90°.
（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN, 使 MN=3 cm; 在y轴上取线段PQ,
使PQ=1cm. 分别过点M和N作轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A, B, C, D, 四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
（3）画侧棱.过A, B, C, D各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1. 5 cm长的线段A'A, B'B, C'C, D'D.
（4) 成图.顺次连接A', B', C', D', 并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图了.
【活动预设】教师利用多媒体讲题的同时，学生要观察、思考、总结长方体直方图的画法的主要步骤，在例题的讲解中引导学生关注画图的注意事项.
【设计意图】
通过例题的讲解，让学生自己归纳用斜二测法画立体几何体直观图的步骤，发展了学生的空间想象和解决简单问题的能力，培养学生的直观想象素养
【总结提升】用斜二测法画立体几何体直观图的步骤
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O, 画直观图时，把它们分别画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O', 且使∠x'O'y'=45” (或135”） , 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于x轴y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z＇轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
例3 已知等边三角形的边长为，则用斜二测画法画出的水平放置的直观图的面积为______.
【活动预设】设原三角形的底为，高为，则其面积为
在直观图中，
【设计意图】
（1）理解斜二测画法的主要特征：一“斜”(坐标系)，二“测”(两种度量形式).绘制时既要有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系.
（2）了解多边形的原面积和直观图的面积的关系：.
3.达标检测
1．判断正误
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
(1)原来相交的仍相交. ( )
(2)原来垂直的仍垂直. ( )
(3)原来平行的仍平行. ( )
(4)原来共点的仍共点. ( )
(5)三角形的直观图是三角形. ( )
(6)平行四边形的直观图是平行四边形. ( )
(7)正方形的直观图是正方形. ( )
(8)菱形的直观图是菱形. ( )
【预设的答案】（1）√;（2）X;（3）√;（4）√;（5）√;（6）√.（7）X （8）X
2. 如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为
【预设的答案】
3.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为 ．
【预设的答案】
4.一个平面图形用斜二测画法画出的水平放置的直观图是边长为1的正方形，则这个平面图形的面积为______.
【预设的答案】
5.有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为______.
【预设的答案】
【设计意图】
（1）巩固对斜二测画法的认知；
（2）理解原图形和直观图的区别与联系，了解原图形与直观图的面积之间的关系.
四、课外拓展
用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
【设计意图】进一步熟悉画平面图形的直观图的技巧.6