2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册8.6.2直线与平面垂直（第一课时）教学设计册

8.6.2直线与平面垂直（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)
一、教学目标
1.理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面成角的概念；
2.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成的角；
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想.
二、教学重难点
重点：1.对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解
难点：1.概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直”
2.求直线和平面所成角时，直线的射影的寻找学生初接触会有点难度.
三、教学过程
1.复习引入
回顾直线和平面的位置关系如下图1：
(
图
1
)
【设计意图】由复习旧知可以知道，直线与平面垂直是直线与平面相交关系中的一种，为后续特别是线面角作铺垫.
2.观察归纳，形成概念
2.1创设情境，引发思考
问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图中旗杆与地面的垂直关系，还有书脊与桌面的垂直关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么什么叫做直线与平面垂直呢？
【设计意图】列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，化抽象为具体.然后再应到学生概括出定义.
2.2归纳概括，得出定义
问题2：能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直
思考：
（1）书脊AB与桌面上经过B点的直线有什么关系？
（2）书脊AB与桌面上不过B点的直线有什么关系？
（3）书脊AB与桌面上的任意直线有什么关系？
(
图
2
)追问1：怎么理解“任意”？
结论：直线AB垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面．
追问2：可以用“无数”代替“任意”吗？
直线与平面垂直的定义：如果一条直线l垂直于平面α 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作： (
图
4
)
【设计意图】这里是对直线垂直于平面定义的形成过程，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线垂直；强调直线要与平面内的任意直线都垂直，不等于无数.并规范表达，感受数学思维的严密.
2.3知识拓展:
(
图
3
)点到平面距离的定义：过点P作直线PO垂直于平面α，垂足为O，垂线段PO长度就是点P到平面α的距离.
【活动预设】教师提出问题，师生共同探讨，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而提出点到平面的距离的概念，为求棱锥体积做铺垫.
【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质；呼应前面棱锥的高的概念.
3 实验探究，得出定理
3.1 简单探究，得到猜想
问题:3： 如果直线l与平面α内的一条（两条，无数条）直线垂直，则直线和平面α互相垂直
【活动预设】师生共同探讨以下问题： (
图
4
)
一条直线
(
图
4
)无数条直线
两条平行直线
两条相交直线
【设计意图】结合图例，让学生感受直线与平面垂直需要两条相交直线，得到猜想，找到一种替代定义去证明线面垂直的办法.
3.2 动手操作，验证猜想
问题4：为什么两条相交直线可以？怎么去验证这件事情？
【活动预设】教师提出问题，并引导学生动手操作；如图准备一块三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考;
折痕AD与桌面垂直吗？
如何翻折才能得到使折痕AD与桌面垂直？为什么？
这样就初步验证了刚才的猜想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线
(
图
5
)都垂直，这条直线就和这个平面垂直.
追问（1）：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线 (
图
4
) (
图
4
) (
图
4
) (
图
4
)
都垂直，这条直线就和这个平面垂直？
可能的回答：两条相交直线可以确定一个平面？
追问（2）：两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？
【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程.
问题5：试分别用文字语言、图形语言、符号语言来表述直线与平面的判定定理.
【设计意图】实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.
4 巩固练习，典例剖析
例1（课本例3）求证：如果两条平行线中的一条直线垂直与一个平面，那么另一条直线也垂直与这个平面.
追问（1）：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？
追问（2）：结合所画图形，你认为该如何证明此问题？
【活动预设】教师要求学生写出已知求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造两条相交直线，既需要做辅助线.可以请一名同学板书，教师反馈，完成证明.
追问（3）：你还有不同证明方法吗
可能的答案 ：尝试用定义证明.
【设计意图】通过例题，巩固直线和平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明时，提高学生思维的灵活性，让学生认识到证明线面垂直的不同方法，从而感受判定定理证明的优越性.
5 直线与平面所成的角及其应用
问题6：直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.当它们不垂直时，如图，可以发现，不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？
【活动预设】教师提出问题，给出斜线的概念.引导学生发现，斜线与平面相交位置的不同在于他们相对于平面的“倾斜程度不同”，进而给出直线与平面所成角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系.
(
图
6
)
【设计意图】引出直线与平面所成角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念.
例2（课本例4）：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1DCB1所成的角.
追问：有直线与平面成角的概念知，应该先找到A1B在平面A1DCB1内的射影，
怎样找到呢？
【活动预设】教师引导学生对题目进行分析，从要解决的问题出发，
要求直线和平面的成角，要先找到这条直线在平面上的射影；进而
要找到这个平面的垂线，再利用直线与平面垂直的判定定理，问题
(
图
7
)可以解决.然后书写证明过程，规范解题.
【设计意图】 通过例题教学，巩固直线和平面所成角的概念，以及直线与平面垂直的判定定理.结合分析题目，培养学生养成回归定义思考问题的意识，并引导学生形成解决问题的一般思路,规范书写.
6 归纳小结，布置作业
问题：本节课你学到了什么？
【活动预设】教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，主要从下列2点进行总结：
（1）知识内容
（2）数学思想方法
【设计意图】 通过小结，梳理本节所学的知识点，并回顾在学习的过程中所采用的思想方法，培养学生对学习内容的反思意识和习惯，建立知识系统，可以用于后续知识问题的解决.
布置作业：教材152页练习.
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