【专项练习】圆锥曲线定点问题（含答案）
文档属性
| 名称 | 【专项练习】圆锥曲线定点问题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-30 08:39:10 | ||
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文档简介
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圆锥曲线：直线过定点
一．解答题（共8小题）
1．设A、B是抛物线y2＝2px（p＞0）上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）．求证：
（1）A、B两点的横坐标之积为4p2；
（2）直线AB经过一个定点．
2．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
3．已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
4．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
5．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，点P（，1）在椭圆Γ上．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过Γ的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求此定点．
6．已知椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），上顶点为M，且△MF1F2是等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点Q（4，0）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，设点A关于x轴的对称点为A1，求证：直线A1B与x轴交于一个定点，并求出此定点坐标．
7．设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
8．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）
圆锥曲线5：直线过定点
参考答案与试题解析
一．解答题（共8小题）
1．【解答】证明：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y12＝2px1、y22＝2px2．
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0，y12y22＝4p2x1x2＝4p2 （﹣y1y2）．
∴y1y2＝﹣4p2，从而x1x2＝4p2也为定值．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y12＝2px1、y22＝2px2．
当x1≠x2时，∵y12﹣y22＝2p（x1﹣x2），∴＝．
∴直线AB的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），
即y＝x﹣ +y1，
y＝x+，
亦即y＝（x﹣2p）．
∴直线AB经过定点（2p，0）．
当x1＝x2时，直线AB也经过定点（2p，0）．满足题意．
所以直线AB经过定点（2p，0）．
2．【解答】解：（1）∵离心率，
∴a＝c，
又a2＝b2+c2，
∴b＝c，a＝b，
把点A（2，1）代入椭圆方程得，，解得b2＝3，
故椭圆C的方程为．
（2）①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，
联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，
∵AM⊥AN，∴＝（x1﹣2，y1﹣1） （x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，
∴（k2+1） +（km﹣k﹣2）（）+m2﹣2m+5＝0，化简整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，
∴m＝1﹣2k或m＝，
当m＝1﹣2k时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；
当m＝时，y＝kx，过定点B．
∵AD⊥MN，∴点D在以AB为直径的圆上，
故当点Q为AB的中点，即Q（，）时，|DQ|＝，为定值；
②当直线MN的斜率不存在时，设其方程为x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且，
∵AM⊥AN，∴＝（t﹣2，s﹣1） （t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+5＝＝0，解得t＝或2（舍2），
∴D（，1），此时|DQ|＝，为定值．
综上所述，存在定点Q（，），使得|DQ|为定值，且该定值为．
3．【解答】解：如图所示：
（1）由题意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），
∴＝（a，1），＝（a，﹣1）， ＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，
故椭圆E的方程是+y2＝1；
（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），设P（6，m），
则直线PA的方程是y＝（x+3），
联立 （9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，
由韦达定理﹣3xc＝ xc＝，
代入直线PA的方程为y＝（x+3）得：
yc＝，即C（，），
直线PB的方程是y＝（x﹣3），
联立方程 （1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，
由韦达定理3xD＝ xD＝，
代入直线PB的方程为y＝（x﹣3）得yD＝，
即D（，），
则①当xc＝xD即＝时，有m2＝3，
此时xc＝xD＝，即CD为直线x＝，
②当xc≠xD时，直线CD的斜率KCD＝＝，
∴直线CD的方程是y﹣＝（x﹣），整理得：
y＝（x﹣），直线CD过定点（，0）．
综合①②故直线CD过定点（，0）．
4．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，
又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：
，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＝1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴＝＝＝﹣1，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
，x1x2＝，
则＝＝
＝＝＝﹣1，又t≠1，
∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣1，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴l过定点（2，﹣1）．
5．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设所求椭圆方程为．
则，
解得：a2＝3，b2＝2．
即椭圆Γ的方程为；
（Ⅱ）由题意得F（1，0），
（1）当弦AB，CD的斜率均存在时，
设AB的斜率为k，则CD的斜率为．
令A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点M（x0，y0）．
将直线AB方程代入椭圆方程，
并化简得（3k2+2）x2﹣6k2x+（3k2﹣6）＝0．
则，，于是M（）．
∵CD⊥AB，∴将点M坐标中的k换为，
即得点．
①当k≠±1时，直线MN的方程为．
令y＝0，得x＝，则直线MN过定点（）；
②当k＝±1时，易得直线MN的方程x＝，也过点（）．
（2）当弦AB或CD的斜率不存在时，易知，直线MN为x轴，也过点（）．
综上，直线MN必过定点（）．
6．【解答】解：（1）由题设知，，
∴C的方程为．
（2）直线l不垂直于x轴，
当l不垂直于y轴时，设l的方程为x＝ky+4，
由，得（3k2+4）y2+24ky+36＝0，
∵△＞0，∴b2＞4．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，﹣y1），
，
直线，
∵x1y2+x2y1＝2ky1y2+4（y1+y2）＝，
∴直线即y＝恒过定点（1，0）．
∴A1B恒过定点（1，0）．
7．【解答】解：（1）c＝＝1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x＝1，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，﹣），
∴直线AM的方程为y＝﹣x+，y＝x﹣，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB＝+，
由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得kMA+kMB＝，
将y＝k（x﹣1）代入+y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k＝（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0
从而kMA+kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA＝∠OMB，
综上∠OMA＝∠OMB．
8．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，
由曲线C：y＝可得：y′＝，
∴曲线C在M点处的切线斜率为＝，其切线方程为：y﹣a＝，化为．
同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM＝∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．
联立，化为x2﹣4kx﹣4a＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4a．
∴k1+k2＝+＝＝．
当b＝﹣a时，k1+k2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM＝∠OPN．
∴点P（0，﹣a）符合条件．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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圆锥曲线：直线过定点
一．解答题（共8小题）
1．设A、B是抛物线y2＝2px（p＞0）上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）．求证：
（1）A、B两点的横坐标之积为4p2；
（2）直线AB经过一个定点．
2．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
3．已知A，B分别为椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
4．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
5．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，点P（，1）在椭圆Γ上．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过Γ的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求此定点．
6．已知椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），上顶点为M，且△MF1F2是等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点Q（4，0）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，设点A关于x轴的对称点为A1，求证：直线A1B与x轴交于一个定点，并求出此定点坐标．
7．设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
8．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？（说明理由）
圆锥曲线5：直线过定点
参考答案与试题解析
一．解答题（共8小题）
1．【解答】证明：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y12＝2px1、y22＝2px2．
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0，y12y22＝4p2x1x2＝4p2 （﹣y1y2）．
∴y1y2＝﹣4p2，从而x1x2＝4p2也为定值．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y12＝2px1、y22＝2px2．
当x1≠x2时，∵y12﹣y22＝2p（x1﹣x2），∴＝．
∴直线AB的方程为y﹣y1＝（x﹣x1），
即y＝x﹣ +y1，
y＝x+，
亦即y＝（x﹣2p）．
∴直线AB经过定点（2p，0）．
当x1＝x2时，直线AB也经过定点（2p，0）．满足题意．
所以直线AB经过定点（2p，0）．
2．【解答】解：（1）∵离心率，
∴a＝c，
又a2＝b2+c2，
∴b＝c，a＝b，
把点A（2，1）代入椭圆方程得，，解得b2＝3，
故椭圆C的方程为．
（2）①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，
联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，
∵AM⊥AN，∴＝（x1﹣2，y1﹣1） （x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，
∴（k2+1） +（km﹣k﹣2）（）+m2﹣2m+5＝0，化简整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，
∴m＝1﹣2k或m＝，
当m＝1﹣2k时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；
当m＝时，y＝kx，过定点B．
∵AD⊥MN，∴点D在以AB为直径的圆上，
故当点Q为AB的中点，即Q（，）时，|DQ|＝，为定值；
②当直线MN的斜率不存在时，设其方程为x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且，
∵AM⊥AN，∴＝（t﹣2，s﹣1） （t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+5＝＝0，解得t＝或2（舍2），
∴D（，1），此时|DQ|＝，为定值．
综上所述，存在定点Q（，），使得|DQ|为定值，且该定值为．
3．【解答】解：如图所示：
（1）由题意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），
∴＝（a，1），＝（a，﹣1）， ＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，
故椭圆E的方程是+y2＝1；
（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），设P（6，m），
则直线PA的方程是y＝（x+3），
联立 （9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，
由韦达定理﹣3xc＝ xc＝，
代入直线PA的方程为y＝（x+3）得：
yc＝，即C（，），
直线PB的方程是y＝（x﹣3），
联立方程 （1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，
由韦达定理3xD＝ xD＝，
代入直线PB的方程为y＝（x﹣3）得yD＝，
即D（，），
则①当xc＝xD即＝时，有m2＝3，
此时xc＝xD＝，即CD为直线x＝，
②当xc≠xD时，直线CD的斜率KCD＝＝，
∴直线CD的方程是y﹣＝（x﹣），整理得：
y＝（x﹣），直线CD过定点（，0）．
综合①②故直线CD过定点（，0）．
4．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，
又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．
把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：
，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＝1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，
∴＝＝＝﹣1，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
，x1x2＝，
则＝＝
＝＝＝﹣1，又t≠1，
∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0成立，
∴直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣1，
当x＝2时，y＝﹣1，
∴l过定点（2，﹣1）．
5．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设所求椭圆方程为．
则，
解得：a2＝3，b2＝2．
即椭圆Γ的方程为；
（Ⅱ）由题意得F（1，0），
（1）当弦AB，CD的斜率均存在时，
设AB的斜率为k，则CD的斜率为．
令A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点M（x0，y0）．
将直线AB方程代入椭圆方程，
并化简得（3k2+2）x2﹣6k2x+（3k2﹣6）＝0．
则，，于是M（）．
∵CD⊥AB，∴将点M坐标中的k换为，
即得点．
①当k≠±1时，直线MN的方程为．
令y＝0，得x＝，则直线MN过定点（）；
②当k＝±1时，易得直线MN的方程x＝，也过点（）．
（2）当弦AB或CD的斜率不存在时，易知，直线MN为x轴，也过点（）．
综上，直线MN必过定点（）．
6．【解答】解：（1）由题设知，，
∴C的方程为．
（2）直线l不垂直于x轴，
当l不垂直于y轴时，设l的方程为x＝ky+4，
由，得（3k2+4）y2+24ky+36＝0，
∵△＞0，∴b2＞4．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（x1，﹣y1），
，
直线，
∵x1y2+x2y1＝2ky1y2+4（y1+y2）＝，
∴直线即y＝恒过定点（1，0）．
∴A1B恒过定点（1，0）．
7．【解答】解：（1）c＝＝1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x＝1，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，﹣），
∴直线AM的方程为y＝﹣x+，y＝x﹣，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB＝+，
由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得kMA+kMB＝，
将y＝k（x﹣1）代入+y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k＝（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0
从而kMA+kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA＝∠OMB，
综上∠OMA＝∠OMB．
8．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，
由曲线C：y＝可得：y′＝，
∴曲线C在M点处的切线斜率为＝，其切线方程为：y﹣a＝，化为．
同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM＝∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．
联立，化为x2﹣4kx﹣4a＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4a．
∴k1+k2＝+＝＝．
当b＝﹣a时，k1+k2＝0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM＝∠OPN．
∴点P（0，﹣a）符合条件．
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