山东省临沂市滨河区高级中学校2022届高三上学期12月阶段性检测数学试卷（PDF版含答案）

2021-2022学年度高三阶段性检测
数学
本试卷共 6页，共 150分，考试时间 120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的
姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。
2.选择题答案必须使用 2B铅笔（按填涂样例）正确填涂，非选择题答案必须使用 0. 5
毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求.）
1．已知集合M {x | y ln(x 1)} . N y | y ex ，则M N （ ）
A． ( 1,0) B． ( 1, ) C． (0, ) D． R
1
2．如图，若向量OZ对应的复数为 z，且 z 5，则 （ ）z
1 2 i 1 2 i 1 2 1 2A． B． C． i D． i
5 5 5 5 5 5 5 5
2 13． (x 2 2)
3
展开式中的常数项为
x
A． 20 B． 20 C． 12 D． 8
4．函数 y cos x ln | x |的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：
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1,1,2,3,5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90 的圆
弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的
图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．右图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧
所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为（ ）
A 8 15π． B 4 15 C 125 15 D 125 15 ． ． ．
3 3 192 64
6．已知函数 f (x) 2 sin x和 g(x) 2 cos x（ 0）图象的交点中，任意连续三
个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到 y g(x)的图象，只需把 y f (x)
的图象（ ）

A．向左平移 1个单位 B．向左平移 个单位
2

C．向右平移 1个单位 D．向右平移 个单位
2
7．在 ABC中，角A，B，C所对应的边分别为 a,b,c，若 ac 4，sin B 2sinC cos A 0，
则 ABC面积的最大值为
A．1 B． 3 C．2 D． 4
8．已知 F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线
2 e2
段 PF1的垂直平分线过 F2，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则 e 的最1 2
小值为（ ）
A． 6 B．3 C．6 D． 3
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.）
9．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本
4
次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为 ，托盘由
3
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边长为 4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图② .则下列结论正
确的是（ ）

A．经过三个顶点 A,B,C的球的截面圆的面积为
4
5
B．异面直线 AD与CF所成的角的余弦值为
8

C．直线 AD与平面DEF所成的角为
3
D 6．球离球托底面DEF的最小距离为 3 1
3
10．下列结论正确的是（ ）
1 3 3
A x R x 2 B a b 0 1 1 ． ， ．若 ，则
x a b
C．若 x x 2 0，则 log2 x 0,1 D．若 a 0
1
，b 0，a b 1，则0 ab
4
11 5 1．我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：
2
x2 y2
2 2 1(a b 0)， A1, A2 分别为左、右顶点，B1， Ba b 2
分别为上、下顶点，F1， F2
分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
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A． A1F1 F2A2 F1F
2
2 B． F1B1A2 90
C． PF1 x轴，且 PO//A2B1 D．四边形 A1B2A2B1的内切圆过焦点 F1， F2
12．已知函数 f x ln x ax 1 a R ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 f x 极大值为 0，则 a 2
B．当 a 0时， f x 在 0, 上单调递增
1
C． a 0时， f x x 1恒成立
2
D．若 a 1 2，则g x x 1 f x 有两个零点
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）
sin 1 cos
1 , 0, 5 13．已知 ， ， ，则 cos


________．3 6 5 4 3
uuur uuur uuur uuur uuur
14．已知向量 AB与 AC 的夹角为60 ，且 AB AC 2，若 AP AB AC 且 AP BC，
则实数 的值为________．
1 1
15 2．设 a b c 0，则 2a 10ac 25c2ab a(a b) 的最小值为________．
16．已知函数 f x 满足 f x f 3x ，当 x 1,3 时， f x ln x，若在区间 1,9
内，函数 g x f x ax有三个不同零点，则实数 a的取值范围为________．
四、解答题（本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本题满分 10分）在①b sin B c sinC
2 3
b sinC a sin A；
3
② cos2 C sin B sinC sin2 B cos2 A；③2b 2acosC c这三个条件中任选一个，补充
在下面的问题中并作答．
在 ABC中，角A、 B、C所对的边分别是 a、b、c，______．
（1）求角A；
（2）若 a 10， ABC的面积为8 3，求 ABC的周长．
18．（本题满分 12分）2020年 12月 16日至 18日，中央经济工作会议在北京召开．会
议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要
降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调
控．为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了 500名社区居民
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参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：
认为对租赁住房影响大 认为对租赁住房影响不大
年龄在 40岁以上 125 150
年龄在 40岁以下 75 150
（1）判断是否有 99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关
（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取 8人，分
析租赁住房需求，再从中随机抽取 3人参与座谈，若这 3人中年龄在 40岁以下的人数
为 ，求 的分布列与数学期望．
K 2 n(ad bc)
2
附： ( n a b c d)．
(a b)(c d )(a c)(b d )
临界值表：
P K 2 k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（本题满分 12分）如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SBC 平面 ABC，
SB SC AB AC 2，BC 2，若O为 BC的中点.
（1）证明： SO 平面 ABC；
（2）求异面直线 AB和 SC 所成角；
（3）设线段 SO上有一点M ，当 AM 与平面 SAB 30所成角的正弦值为 时，求OM 的
15
长.
20 2 *．（本题满分 12分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn， 2Sn (2n 1)an 2n n N ，
数列 bn 满足b1 a1， nbn 1 anbn．
（1）求数列 an 和 bn 的通项公式；
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a n 9 *
（2）设数列 n 的前 n项和为Tn，若不等式 b 2n
4 Tn n N 恒成立，求实数
n
的取值范围．
2
21 x．（本题满分 12分）如图，已知椭圆： y2 1，点A，B是它的两个顶点，过原
4
点且斜率为 k的直线 l与线段 AB相交于点D，且与椭圆相交于 E、 F 两点．

（Ⅰ）若 ED 6DF，求 k的值；
（Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值.
2
22．（本题满分 12分）已知函数 f (x) ax x 1(a R)．e
（1）若函数 f (x)在区间 (1, )上单调递增，求实数 a的取值范围；
（2）当 a 0时，讨论函数 g(x) f (x) a 3的零点个数，并给予证明．
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2021-2022学年度高三阶段性检测参考答案
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求.）
1—5 CDBAA 6—8 AAC
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分. 在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.）
9.BCD 10.BD 11.BD 12.BC
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.）
ln 3 1
13. 8 3 1 14.1 15.4 16. ,9 3e 15
四、解答题（本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分 10分）
2 3
解：（1）选择①：因为b sin B c sinC b sinC a sin A，
3
b2 2
2 3 2 3
所以由正弦定理可得 c b sinC a3
a，即b2 c2 a2 ab sinC ，
3
2 3
则由余弦定理可得 2bc cos A ab sinC 3，所以 sinC cos A sin AsinC．
3 3
C 0, ，则 sinC 0，所以 cos A 3 sin A，即 tan A 3，
3

因为 A 0, ，所以 A ；
3
选择②：由 cos2 C sin B sinC sin2 B cos2 A，
得1 sin2 C sin B sinC sin2 B 1 sin2 A，
即 sin2 B sin2 C sin2 A sin B sinC，
2 2 2
2 2 2 cos A b c a 1由正弦定理得b c a bc，由余弦定理得 ．2bc 2
A 0, A 因为 ，所以 ；
3
选择③：由 2b 2acosC c，结合正弦定理得 2sin B 2sin AcosC sinC．
因为 A B C ，所以 sin B sin A C sin A C ，
则2sin A C 2 sin AcosC cos AsinC 2sin AcosC sinC，所以 2cos AsinC sinC．
因为C 0, 1，所以 sinC 0，故 cos A ．
2
答案第 1页，共 7页
因为 A 0, ，所以 A ；
3

（2）由（1）知 A ．
3
S 1 1 因为 △ABC bc sin A bc sin 8 3，所以bc 32．2 2 3
由余弦定理得， a2 b2 c2 2bc cosA b c 2 3bc ，
即 b c 2 a2 3bc 100 3 32 196，所以b c 14，
所以 ABC的周长为 a b c 24．
18．（本题满分 12分）
解：（1）由题意建立 2 2列联表如下：
认为对租赁住房影响大 认为对租赁住房影响不大 合计
年龄在 40岁以上 125 150 275
年龄在 40岁以下 75 150 225
合计 200 300 500
设H0：居民对降低租赁住房税费的态度与年龄无关
2
K 2 500 (125 150 75 150) 7.576 6.635，
200 300 275 225
所以有 99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关．
（2）由题意可知，分层抽样抽取的 8人中，年龄在 40岁以上的有 5人，年龄在 40岁以下
的有 3人，则随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3．
3
P( 0) C5 5 C
2C1 15
3 ， P( 1)
5 3 ，
C8 28 C
3
8 28
1 2 3
P( 2) C C 5 3 153 ，P( 3)
C 1
3
C 56 C3
，
8 8 56
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
5 15 15 1
P
28 28 56 56
答案第 2页，共 7页
E( ) 0 5 1 15 2 15 3 1 9 ．
28 28 56 56 8
19．（本题满分 12分）
解：（1）∵ SB SC， BO OC，
∴ SO BC，
∵平面 SBC 平面 ABC，
平面 SBC I平面 ABC BC，
SO 平面 SBC，
∴ SO 平面 SBC .
（2）∵ SB SC AB AC 2，BC 2，
∴BS CS，BA CA，
如图，分别以OB，OA，OC为 x轴， y轴， z轴的
非负半轴，建立空间直角坐标系,
∵ A 0,1,0 ， B 1,0,0 ， S 0,0,1 ，C 1,0,0 ，
uuur uur
∴ AB 1, 1,0 ， SC 1,0, 1 ，
uuur uur
uuur uur AB SC
∵ cos AB,SC
1 1
uuur uur ，
AB SC 2 2 2

∴异面直线 AB和 SC 所成角为 .
3

（3）设m a,b,c 为平面 SBA的法向量，
uuur uur
∵ AB 1, 1,0 ， SB 1,0, 1 ，
a b 0
∴ ，即m 1,1,1 ，
a c 0
设M 0,0, t ， t 0,1 ，
uuur
∴ AM 0, 1, t ，
设 AM 与平面 SAB所成角为 ，
ur uuur
ur uuur m AM
∵sin cos m, AM ur uuur ，
m AM
答案第 3页，共 7页
30 t 1
∴ ，
15 3 1 t 2
6 6t 2 15 t 2 2t 1 ，
3t 2 10t 3 0，
t 3 3t 1 0，
1
t 3（舍）， t ，
3
1
∴OM 的长为 .
3
20．（本题满分 12分）
2 *
解：（1）∵ 2Sn (2n 1)an 2n n N
∴当 n＝1时， 2a1＝3a1 2， a1＝2 ，

2Sn＝ 2n＋1 a 2n
2
当n 2 n时，由 ，
2Sn 1＝ 2n 1 an 1 2(n 1)
2
得2an＝ 2n＋1 an 2n 1 an 1 2n2＋2(n 1)2，即 an an 1＝2，
数列 an 是公差为 2的等差数列，
a1＝2， an＝2n．
由条件得b1＝2，nbn＋1＝2nbn， bn＋1＝2bn ，即数列 bn 是公比为 2的等比数列，
bn＝2
n
；
an 2n n 2 3 4 n
（2）∵ ＝ ＝b 2n 2n 1 ，则
Tn＝1＋ ＋ 2 ＋ 3＋ ＋ n 1 ，
n 2 2 2 2
1 T 1 2 3 n 1 n ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ，
2 n 2 22 23 2n 1 2n
答案第 4页，共 7页
1
1 1 n
Tn＝1
1 1 1 1 n＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 2 n ＝2 n＋2 ，
2 2 2 2 2 3 2 n 1 2 n 1 1 2
n 2 n
2
T n＋2 n＝4 2n 1
，
n 9 n 4 Tn n N * 恒成立，2
n＋9 n＋2 n 5
则 4 n 4＋2 2n 1
＝ n 恒成立，2
n 5 n 4 n 5 n＋6
令 f n ＝ n ，则 f n＋1 f n ＝2 2n ＝＋1 2n 2n＋1 ，
f 1 ＜f 2 ＜ ＜f 6 ＝f 7 ＞f 8 ＞ ，
1
f (n)max＝f 6 ＝f 7 ＝ ，64
1
，
64
1
故实数 的取值范围是 ，＋ ﹒ 64
21．（本题满分 12分）
x2
解：（1）椭圆： y2 1， A(2,0)， B(0,1)，
4
直线 AB， EF 的方程分别为 x 2y 2， y kx(k 0)．
如图，设 D(x0 ， kx0 )， E(x1， kx1)， F (x2 ， kx2 )，其中 x1 x2，
且 x1， x2满足方程 (1 4k 2 )x2 4，
x 2故 2 x1
1 4k 2
．①
1 5 10
由ED 6DF，知 x0 x1 6(x2 x0 )，得 x0 (6x2 x1) x2 7 7 ，7 1 4k 2
2
由D在 AB上知 x0 2kx0 2，得 x0 ，1 2k
10 2
所以 ，
7 1 4k 2 1 2k
化简得24k 2 25k 6 0，
答案第 5页，共 7页
2 3
解得 k 或 k ．
3 8
（2）由题设， BO 1， | AO | 2．
由（Ⅰ）知， E(x1， kx1)， F (x2 ， kx2 )，
不妨设 y1 kx1， y2 kx2，由①得 x2 0，
根据 E与 F 关于原点对称可知 y2 y1 0，
故四边形 AEBF的面积为 S S OBE S OBF S OAE S OAF
1
OB ·( x1)
1 OB ·x 1 OA·y 1 OA·( y )
2 2 2 2 2 2 1
1 OB (x 1 2 x1) OA (y2 y1) x2 2y2 2 2
(x2 2y2 )
2 x 22 4y
2
2 4x2 y2 2(x 22 4y 22 ) 2 2，
当 x2 2y2时，上式取等号．所以S的最大值为 2 2．
22．（本题满分 12分）
解：（1） f (x) a
2

ex
2
由题意得 f (x) 0，即 a 在区间 (1, )上恒成立．
ex
当 x (1, )
2 2 2
时， x 0, ，所以 a ，e e e
2
故实数 a的取值范围为 , e
．

2
（2）由已知得 g(x) ax a 2，
ex
2 aex 2
则 g (x) a x e ex
．
当 a 0时， g (x) 0，函数 g(x)单调递减，
又 g(0) a 0 g(1)
2
， 2 0，故函数 g(x)有且只有一个零点．
e
2
当 a 0时，令 g (x) 0，得 x ln ，函数 g(x)单调递减，
a
令 g (x) 0，得 x ln
2
，函数 g(x)单调递增，
a
g ln 2 a ln 2 2 而 0， g
a 2 2
a 2 0，
a a a a e a
答案第 6页，共 7页
（ ln x x在 (0, )上恒成立）
a 2 2 2 a 2
由于 x ln x，所以 ln
2
，所以 g(x) 在 ln ,

上存在一个零点．
a a a a a
g

ln 2 a a lna
2 a 2
ln 2 2又 2 ，且 2 ln ， a a 2 2 a a 2 a
2 2
设 h(a) a ln a a 2 h (a) 1 2a 1 a a 1 ，则 0 在 (0, )上恒成立，
2 a2 a 2 a2 a 2
故 h(a)在 (0, )上单调递增．
2
而h(0) 0，所以 h(a) 0在 (0, )上恒成立，所以 g ln 2 0， a a 2
所以 g(x) 在 ln
2
2 , ln
2
上存在一个零点．
a a 2 a
综上所述，当 a 0时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 a 0时，函数 g(x)有两个零点．
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