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专题27.1图形的相似
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题， ( http: / / www.21cnjy.com )其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 21世纪教育网版权所有
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 21教育网
1．（2019秋 红桥区期末）下列各组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019秋 榆次区期中）在如图所示的各组图形中，相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．（2018秋 丰顺县期末）如图所示的三个矩形中，其中相似形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对
4．（2019秋 东营期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（ ）21·cn·jy·com
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2020 亳州模拟）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个菱形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
6．（2018秋 福田区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形
B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形
D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
7．（2019秋 浦东新区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形都是相似形 B．等边三角形都是相似形
C．平行四边形都是相似形 D．菱形都是相似形
8．（2019秋 普宁市期中）已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4的高度约为（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．29.7cm B．26.7cm C．24.8cm D．无法确定
9．（2019秋 渭滨区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B． C． D．
10．（2019秋 连州市期末）一个多边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．8 C．12 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋 嘉定区期中）已知两个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为 ．21·世纪*教育网
12．若两个相似多边形的对应边分别为4cm和8cm，则它们的相似比为 ．
13．（2020秋 蜀山区校级月考）以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ．www-2-1-cnjy-com
14．（2019秋 平顶山期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为 ．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2019秋 资阳区期末）如图，E， ( http: / / www.21cnjy.com )F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC的长为 ．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2020 朝阳区校级二模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
17．（2019秋 藤县校级期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（2020春 中山市校级月考）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（2019秋 宽城区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝
（2）求边x、y的长度．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（2020秋 松江区月考）已知四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．
22．（2018秋 太原 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
23．（2019秋 孟津县期中）一 ( http: / / www.21cnjy.com )块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D相似吗？为什么？21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
24．（2019秋 大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：【版权所有：21教育】
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．21*cnjy*com
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
( http: / / www.21cnjy.com )
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．
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专题27.1图形的相似
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 2·1·c·n·j·y
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． www-2-1-cnjy-com
1．（2019秋 红桥区期末）下列各组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
2．（2019秋 榆次区期中）在如图所示的各组图形中，相似的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可．
【解析】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，
∴两图形不相似；
②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，
∴两正方形相似；
③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，
∴两个菱形相似．
④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，
∴两个矩形不一定相似．
故选：C．
3．（2018秋 丰顺县期末）如图所示的三个矩形中，其中相似形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对
【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等就可以．
【解析】因为，故甲与乙不相似；
因为，故乙与丙相似；
因为，故甲与丙不相似．
故选：B．
4．（2019秋 东营期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（ ）21·cn·jy·com
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【解析】矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A符合题意；21·世纪*教育网
锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；21*cnjy*com
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故C不符合题意．
故选：A．
5．（2020 亳州模拟）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个菱形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．www.21-cn-jy.com
【解析】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选：A．
6．（2018秋 福田区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形都是相似图形
B．矩形都是相似图形
C．等边三角形都是相似图形
D．各边对应成比例的多边形是相似多边形
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；
B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；
D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，
故选：C．
7．（2019秋 浦东新区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形都是相似形 B．等边三角形都是相似形
C．平行四边形都是相似形 D．菱形都是相似形
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】A、等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
B、等边三角形都是相似形，正确，符合题意；
C、平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；
D、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意，
故选：B．
8．（2019秋 普宁市期中）已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4的高度约为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．29.7cm B．26.7cm C．24.8cm D．无法确定
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列式计算即可．
【解析】设A4纸的高度为xcm，
∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴，
解得，x1＝﹣21（舍去），x2＝2129.7，
则设A4纸的高度为29.7cm，
故选：A．
9．（2019秋 渭滨区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B． C． D．
【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝ycm，
由折叠的性质得：AEABx，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴，即，
∴x2＝2y2，
∴xy，
∴，．
故选：B．
10．（2019秋 连州市期末）一 ( http: / / www.21cnjy.com )个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ）21教育名师原创作品
A．6 B．8 C．12 D．10
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】设这个多边形的最短边长为x，
∵两个多边形相似，
∴，
解得，x＝8，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋 嘉定区期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为 100° ．21*cnjy*com
【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．
【解析】∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，
∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大内角度数为100°，
故答案为：100°．
12．若两个相似多边形的对应边分别为4cm和8cm，则它们的相似比为 1：2 ．
【分析】根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可解决问题．
【解析】∵相似多边形的对应边的比等于相似比，
∴它们的相似比＝4：8＝1：2，
故答案为1：2．
13．（2020秋 蜀山区校级月考）以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ：2 ．
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出正方形EFGH的边长，即可求解．
【解析】如图，设正方形ABCD的边长为2a，
∵E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，
∴AE＝AH＝a，
∵∠A＝90°，
∴EHa，
∴新正方形与原正方形的相似比＝EH：ABa：2a：2．
故答案为：：2．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2019秋 平顶山期中）如图，E、 ( http: / / www.21cnjy.com )F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为 6 ．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴，即，
解得，AD＝6，
故答案为：6．
15．（2019秋 资阳区期末）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴，即，
解得，AD，
∴BC＝AD，
故答案为：．
16．（2020 朝阳区校级二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 1 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴，即，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1（舍去），AD2＝1，
故答案为：1．
17．（2019秋 藤县校级期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 67° ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和为360°解决问题即可．
【解析】如图，∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A′＝∠A＝138°，
∴α＝∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣138°﹣80°﹣75°＝67°，
故答案为67°．
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18．（2020春 中山市校级月考）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 135° ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解析】∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值；
如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案．
【解析】如图1中，∵△ABC∽△A′B′C′，
∴，α＝40°，
∴x＝9；
如图2中，∵∠D＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴α＝∠D＝45°．
20．（2019秋 宽城区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝ 83°
（2）求边x、y的长度．
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【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等求得答案；
（2）利用相似多边形的对应边成比例列式求得x、y的值；
【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，
∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为：83°；
（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴，
解得：x＝12，y．
21．（2020秋 松江区月考）已知四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．21世纪教育网版权所有
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，
∴，
∴，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．
22．（2018秋 太原期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．21教育网
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【分析】利用相似多边形的性质得到，而根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，从而利用比例性质得到DE＝8，AE＝2，然后计算AE+DE即可．2-1-c-n-j-y
【解析】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝4
∴，
∴DE＝8，AE＝2，
∴AD＝AE+DE＝2+8＝10．
23．（2019秋 孟津县 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D相似吗？为什么？【出处：21教育名师】
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【分析】先求出外框的长与宽，再求出对应边的比的值即可判断．
【解析】不相似；
内边缘的矩形ABCD长AD＝300 cm，宽AB＝150 cm，外边缘的矩形长A'D'＝315 cm，宽A'B'＝165 cm，
∵，，
，
所以内外边缘所成的两个矩形不相似．
24．（2019秋 大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：【来源：21·世纪·教育·网】
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．【版权所有：21教育】
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
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请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知△ABC，AC＝6， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定 ( http: / / www.21cnjy.com )理求出∠C是直角，求出△ACB的内切圆半径，进而△DEF的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【解析】（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB∥DE，AC∥DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
( http: / / www.21cnjy.com )
则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，
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∵A到DE、DF的距离都为1，
∴DA是∠FDE的角平分线，
同理，EB是∠DEF的角平分线，
∴点O是△ABC的内心，
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
则6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，
∵AB∥DE，
∴OG⊥AB，
∴OG＝r＝2，
∴，
同理，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．
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