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专题27.3相似三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24 ( http: / / www.21cnjy.com )题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 21教育网
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 21cnjy.com
1．（2020春 文登区期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BD AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB
2．（2019秋 宿豫区期末）如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
3．（2019秋 盐都区期末）如图，△ABC中，点D在边AB上，添加下列条件，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
4．（2020 闵行区一模）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
5．（2016秋 宝安区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．DEBC B．△ADE∽△ABC C． D．
6．（2020 遵化市一模）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． C． D．
7．（2019秋 大东区期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．
C． D．
8．（2020 江干区二模）如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
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A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
9．（2019秋 保山期末）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
10．（2019秋 灌云县期末）如图，点A ( http: / / www.21cnjy.com )、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020 江西模拟）如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是 ．
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12．（2019秋 百色期末）如图，请补充一个条件： ，使△ACB∽△ADE．
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13．（2019秋 仁寿县期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别为边AB、AC上的一点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件使△FDB与△ADE相似，则添加的一个条件是 ．
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14．（2019秋 肥城市期中）如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，P、Q分别是△ABC的边AB、AC上的点，若AB＝6，AC＝5，AP＝2，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为 ．21·世纪*教育网
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15．（2019秋 马边 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 ．
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16．（2020春 莱州市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．【出处：21教育名师】
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17．（2017秋 镇江期末）图 ( http: / / www.21cnjy.com )中的每个点（包括△ABC的各个顶点）都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是 ．（写出满足条件的所有的点）【版权所有：21教育】
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18．（2019秋 玄武区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝ ．2·1·c·n·j·y
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三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋 延庆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明．21*cnjy*com
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20．（2019秋 松桃县期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．21教育名师原创作品
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21．（2017秋 崇川区校级月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．
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22．（2020秋 宝应县月考）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）连结BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．
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23．（2018秋 霍邱县期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是AB上的一点，AD＝2，在线段AC上是否存在一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出AE的长；如果不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
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24．（2019 黄冈）如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
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专题27.3相似三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选 ( http: / / www.21cnjy.com )择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 21cnjy.com
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． www.21-cn-jy.com
1．（2020春 文登区期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
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A．AC2＝AD AB B．BC2＝BD AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【解析】A、∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵BC2＝BD AB，
∴，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2019秋 宿豫区期末）如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；【来源：21·世纪·教育·网】
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；21·世纪*教育网
C、添加可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
D、添加不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2019秋 盐都区期末）如图，△ABC中，点D在边AB上，添加下列条件，不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD AB
【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
【解析】A、根据条件可知，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
B、根据条件可知，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
C、由条件无法判断两三角形相似．本选项符合题意．
D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似，本选项不符合题意，
故选：C．
4．（2020 闵行区一模）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．
【解析】∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
5．（2016秋 宝安区校级期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．DEBC B．△ADE∽△ABC C． D．
【分析】根据中位线的性质定理得到DE∥BC，DEBC，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．
【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，．
∴A，B，D正确，C错误；
故选：C．
6．（2020 遵化市一模）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． C． D．
【分析】本题中已知∠BAC＝∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
【解析】∵∠BAC＝∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选：C．
7．（2019秋 大东区期末）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解析】根据题意得：AB，AC＝2，BC，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
8．（2020 江干区二模）如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解析】∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠B＝∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
9．（2019秋 保山期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．21*cnjy*com
【解析】当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，
所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A
所以△APC∽△ACB；
当AB CP＝AP CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
10．（2019秋 灌云县期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
【分析】利用A、B、C的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )得到AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解析】∵点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），
∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
当E点坐标为（4，2），而D（6，1），则CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°，
∵3，∠ABC＝∠ECD，
∴△ABC∽△DCE；
当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵3，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC∽△EDC；
当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC与△ECD不相似；
当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC∽△EDC．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020 江西模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是 ∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或 ．
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【分析】利用相似三角形的判定可求解．
【解析】∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或，可证△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或．
12．（2019秋 百色期末）如图，请补充一个条件： ∠ADE＝∠C（答案不唯一） ，使△ACB∽△ADE．
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【分析】相似三角形的判定问题，由题意，∠BAC＝∠DAE，所以再加一对应角相等即可．
【解析】当∠ADE＝∠C（答案不唯一），再由∠BAC＝∠DAE，可得△ACB∽△ADE．
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
13．（2019秋 仁寿县期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别为边AB、AC上的一点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件使△FDB与△ADE相似，则添加的一个条件是 DF∥AC，或∠BFD＝∠A ．【版权所有：21教育】
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【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
【解析】DF∥AC，或∠BFD＝∠A．
理由：∵∠A＝∠A，，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为：DF∥AC，或∠BFD＝∠A．
14．（2019秋 肥城市期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，P、Q分别是△ABC的边AB、AC上的点，若AB＝6，AC＝5，AP＝2，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为 或 ．21·cn·jy·com
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【分析】由∠A是公共角，可得当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC，当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB，继而求得答案．
【解析】连接PQ．
∵∠A是公共角，
∴当AP：AB＝AQ：AC时，△APQ∽△ABC，
即2：6＝AQ：5，
解得：AQ；
当AP：AC＝AQ：AB时，△APQ∽△ACB，
即2：5＝AQ：6，
解得：AQ；
∴当AQ或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
故答案为：或．
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15．（2019秋 马边县期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 4或 ．
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【分析】分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．
∴AP＝t，CQ＝2t，AQ＝16﹣2t，
∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∴或，
∴或
∴t＝4或
故答案为：4或
16．（2020春 莱州市期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 8.4或2或12 ．21教育名师原创作品
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【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△CDP，即；当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．21教育网
【解析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即；
解得x，
BP＝148.4；
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
17．（2017秋 镇江期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）图中的每个点（包括△ABC的各个顶点）都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是 Q或G ．（写出满足条件的所有的点）
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【分析】这个点是点Q或G，根据两边成比例夹角相等即可判断．
【解析】这个点是点Q．
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∵∠ABC＝∠QDE，，，
∴，
∴△ABC∽QDE，
同法可得：，△ABC∽△EDG，
故答案为Q或G．
18．（2019秋 玄武区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝ 1或或 ．
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【分析】分三种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【解析】如图1，若DP∥AB，
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∴△CDP∽△CBA，
∴，
∴
∴DP＝1；
如图2，若DP∥AC，
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∴△BDP∽△BCA，
∴，
∴
∴PD；
如图3，若∠CPD＝∠B，且∠C＝∠C，
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∴△CDP∽△CAB，
∴，
∴，
∴PD，
故答案为：1或或．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋 延庆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明．21世纪教育网版权所有
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【分析】利用“两角法”证得：△BEC∽△ADC．
【解析】△BEC∽△ADC，
证明如下：
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
又∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°．
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
又∵∠C＝∠C，
∴△BEC∽△ADC．
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20．（2019秋 松桃县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．求证：△ABC∽△AED．
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【分析】根据相似三角形的判定解答即可．
【解答】证明：∵AC＝3，AB＝2.5，EC＝2，DB＝3.5．
∴AE＝5，AD＝6，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED．
21．（2017秋 崇川区校级月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．
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【分析】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可；
（3）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可．
【解答】（1）证明：由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，AC2＝22+12＝5，BC2＝32+42＝25，
即AB2+AC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形；
（2）解：相似，
理由是：由勾股定理得：DF2，DE4，EF2，
由（1）知：AB＝2，AC，BC＝5，
所以，
所以△△ABC和△DEF相似；
（3）解：和△ABC相似的三角形是△P2P4P5， ( http: / / www.21cnjy.com )
理由是：∵由勾股定理得：P5P22P4，P2P4，
又∵AB＝2，AC，BC＝5，
∴，
∴△ABC∽△P4P5P2．
22．（2020秋 宝应县月考）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）连结BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．
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【分析】（1）利用“两角法”证得△ABE∽△DEF；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°．
∴∠AEB+∠ABE＝90°．
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF＝90°．
∴∠ABE＝∠DEF．
在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF；
（2）∵△ABE∽△DEF，
∴．
∵△ABE∽△EBF，
∴．
∴．
∴DE＝AE．
∴点E为AD的中点．
23．（2018秋 霍邱县期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D是AB上的一点，AD＝2，在线段AC上是否存在一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出AE的长；如果不存在，请说明理由．
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【分析】由勾股定理的逆定理可得∠BAC＝90°，由相似三角形的性质可求解．
【解析】存在，
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，
∴△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，
∴或，
∴，
∴AE或，
24．（2019 黄冈）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
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【分析】（1）连接OD， ( http: / / www.21cnjy.com )由DE是⊙O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO+∠BDE＝90°，由∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得出结论；
（2）证出CB是⊙O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，即可得出结论．21*cnjy*com
【解答】证明：（1）连接OD，如图所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO+∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
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