内蒙古乌拉特前旗第一高级中学2020-2021学年高二12月月考数学试卷（Word版，含答案）

乌拉特前旗第一高级中学2020-2021学年高二12月月考
数学试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数，则的模等于( )
A.2 B.4 C. D.
3.中国有句名言"运筹帷幄之中,决胜千里之外",其中的"筹"原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是,则8335用算筹可表示为( )
A. B.
C. D.
4.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率为( )
A. B. C. D.
5.若为第二象限角,,则( )
A. B. C. D.
6.已知向量.若向量与向量b垂直，则x的值为( )
A.-3 B.0 C. D.
7.古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，每过期一天便加纳一天利息，债务过期一天要纳利息一尺绢，过期二天则第二天便再纳利息二尺，这样，每天利息比前一天增加一尺.若过期100天，欠债方共纳利息为( )
A.100尺 B.4950尺 C.5000尺 D.5050尺
8.“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知满足约束条件,则的最小值为（ ）
A.8 B.12 C.14 D.20
10.曲线在点处切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
11.在中, ,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知P为双曲线的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，若(O为坐标原点)，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13.曲线(为参数)上的任意一点P到直线的最短距离为______.
14. 在等比数列中,,则_________.
15. 在中，的面积为，则_____________.
16.设是两条不同的直线，是三个不同的平面
①则； ②，则；
③，则； ④若,则.
上述四个命题中,正确命题的序号是________;
三、解答题(17-21题每题12分，22题10分)
17.如今我们的互联网生活日益丰富,网购开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,某校学生管理机构为了了解学生网购消费情况,从全校学生中抽取了100人进行分析,得到如下表格(单位:人)
经常网购 偶尔或从不网购 合计
男生 10 10 20
女生 60 20 80
合计 70 30 100
参考公式: ,其中参考数据如下:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
（1）根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学生网购的情况与性别有关
（2）现从所调查的女生中利用分层抽样的方法抽取了5人,其中经常网购的女生分别是: 偶尔或从不网购的女生分别是,从这5人中随机选出2人,求选出的2人中至少有1人经常网购的概率。
18.已知各项均为正数的等差数列满足，且，，构成等比数列的前三项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19.如下图所示，在侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，点是的中点．
(1) 求证：；
(2) 求证：平面；
(3) 求和平面所成的角的大小．
20.如图所示分别为椭圆的左、右两个焦点, 为两个顶点,已知椭圆上的点到两点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于两点,求的面积
21.设函数，其中．
（1）当时，求的极值点；
（2）若在上为单调函数，求a的取值范围．
22.[选修4一4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数).以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
1.写出圆的直角坐标方程
2.设直线与圆交于两点,求弦长.
参考答案
1.答案：D
2.答案：C
解析：.故选C.
3.答案：B
解析：各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,则8335用算筹可表示为
故选B.
4.答案：D
解析： 由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形,
若设大正方形的边长是3,则大正方形的面积是9,
满足条件的事件是三个小正方形,面积和是3,
∴ 落在图中阴影部分中的概率是.
5.答案：A
解析：为第二象限角,且,
∴．
故选：A．
6.答案：D
解析：向量.又与向量b垂直，，解得.故选D.
7.答案：D
解析：由题意知，每天的利息构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以共纳利息为尺.
8.答案：D
9.答案：C
10.答案：B
解析：设,
,
切线的斜率倾斜角为.
11.答案：C
解析：根据正弦定理可将已知化为，即，根据余弦定理有，根据余弦函数性质可知.
12.答案：B
解析：由有，又，所以为直角三角形，且，由勾股定理求出，根据双曲线的定义有，即，所以双曲线的离心率，选B.
13.答案：
解析：
14.答案：1
解析：设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得,则.
15.答案：
16.答案：②
解析：
17.答案：（1）将列表中的数据代入公式计算,得
由于,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为学生网购的情况与性别有关
（2）设从5人中选出2人中至少有人经常网购为事件从人中选出2人的所有结果为共种
至少有1人经常网购的结果有9种,综上,
解析：
18.答案：解析：（1）因为等差数列中，，所以，
设数列公差为，因为，，构成等比数列，则，
即，解得或（舍）
即，
又，，所以，；
（2）∵，
∴，
∴
19.答案：(1)证明：在直三棱柱中，
底面三边长，，∴.
又∵面， ∴.
∴平面. ∵平面，∴.
(2)证明：设与的交点为，连接，又四边形为矩形．是的中点，
∵是的中点，∴.
∵平面，平面，∴平面.
（3），点是的中点．∴
又∵面， ∴.
∴平面. ∴为所求
，，∴.
解析：
20.答案：(1)解:由已知∴
又点在椭圆上
故椭圆方程为
(2)由(1)知
所以,
所以所在直线方程为
由得
设则
所以
所以.
解析：
21.答案：（1）若，由
令，因为，则
所以随x变化而变化的情况为：
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以，是极大值点，是极小值点．
（2）若为上的单调函数，又，所以当a=0时，即在上恒成立．
（1）当时，，符合题意；
（2）当时，抛物线开口向上，
则的充要条件是，
即，所以．
综合（1）（2）知的取值范围是．
解析：
22.答案：1.由,得圆的直角坐标方程为
,即
2.将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,得
即,设两交点,所对应的参数分别为,从而
,
则.
解析：1.运用公式,直接代入并化简即可;
2.将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,利用参数t的几何意义求得弦长AB
【点睛】直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式,直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难些,常通过变形,进行整体代换;灵活运用参数t的几何意义可以快速求得弦长