(共21张PPT)
?§3 集合的基本运算
3.1 交集与并集
1.通过上节课的学习，你还记得“集合A是集合B的子集”的含义吗？其含义是 .
2.若A?B，同时B?A，则 .反过来，欲证A＝B，只需证
，同时 即可.
【答案】 1.集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素
2.A＝B A?B B?A
1.交集和并集的概念及其表示
类别
概念 自然语言 符号语言 图形语言
交集 由 集合A 合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集,记作 (读作“ ”) A∩B＝
并集 由 集合A 集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作 (读作“ ”) A∪B＝
既属于
又属于
A∩B
A交B
属于
A∪B
A并B
或属于
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈A或x∈B}
交集的
运算性质 A∩B＝ ，A∩B? A，A∩B? B，A∩A＝ ，
A∩? ＝? ，(A∩B)∩C A∩(B∩C)
并集的
运算性质 A∪B＝ ，A? A∪B，B? A∪B，A∪A＝ ，A∪? ＝ ，(A∪B)∪C A∪(B∪C)
2.交集和并集的性质
B∩A
A
＝
B∪A
A
＝
A
1.能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
【提示】不能.当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝
2.在求“交”、“并”运算时是将其公共元素简单地写入“交集”或“并集”里面吗？
【提示】 不能.对于集合中相同的元素只写一个，因为“交集”或“并 集”是集合，集合中元素具有互异性的特征，故相同元素只能写一个.
集合的交集、并集运算
(1)若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于( )
A.{x|x<0} B.{x|0C.{x|x>3} D.R
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A.{x|x<－5或x>－3} B.{x|－5C.? D.{x|x<－3或x>5}
【思路点拨】 本题借助数轴直观求解.
【解析】 (1)∵A＝{x|x>0}，B＝{x|x<3}，
∴A∩B＝{x|0(2)由题意画出图形.可知，M∪N＝{x|x<－5或x>－3}.故选A.
【答案】 (1)B (2)?A?
此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是
用列举法表示的数集，可以据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示
出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，
此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示.
1.(1)若本例(1)中，问题改为求A∪B.
(2)本例(2)中，问题改为求M∩N.
【解析】 (1)由例1中的数轴表示知A∪B＝R，故选D.
【答案】 (1)D (2)由例(2)中的数轴表示知M∩N＝{x|－3＜x＜5}
已知S＝{x|2x2－px＋q＝0}，T＝{x|6x2＋(p＋2)x＋q＋5＝0}，且S∩T＝ ，求S∪T.
正确理解并集、交集的概念是进行集合运算的基础，两个
集合的交集，就是由两个集合的公共元素组成的集合；并集就是将两集合的元素放在一起组成的集合.
【解析】
2.设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
【解析】 由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}且A∩B＝C得：
7∈A,7∈B且－1∈B，∴在集合A中x2－x＋1＝7，解得：x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，又2∈A故2∈A∩B＝C，但2? C，故x＝－2不合题意，舍去.
当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7，故有2y＝－1，解得y＝－ ，经检验满
足A∩B＝C.
综上知，所求x＝3，y＝－ .
此时，A＝{2，－1,7}，B＝{－1，－4,7}，故A∪B＝{－1,2，－4,7}.
集合交集、并集的运算性质
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B＝
A，求实数a的取值集合.
【思路点拨】 由A∪B＝A知B ?A，从而按B＝ ?和B≠? 分类讨论即可.
【解析】 A＝{1,2}.因为A∪B＝A，所以B? A.
(1)若1∈B，则2×1－a×1＋2＝0，得a＝4.
当a＝4时，B＝{1}?A，符合题意；
(2)若2∈B，则2×22－2a＋2＝0，得a＝5.
此时B＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝{2， }?A，
∴a＝5不符合题意；
(3)若B＝?，则a2－16＜0，得－4＜a＜4，此时B? A.
综上可知，实数a的取值集合为{a|－4＜a≤4}.
(1)A∪B＝A? A∩B＝B ? B?A；
(2)当已知B? A时，首先要考虑B＝? 的情况，切不可遗漏；
(3)本题也可按B＝?，或B＝{1}，或B＝{2}，或 B＝{1,2}，进行分类求
解.
3.已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＜a}.
(1)若A∩B＝?，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，则实数a的取值范围.
【解析】 将A＝{x|－2≤x≤4}在数轴上表示，如右图所示：
(1)∵A∩B=? ，又B={x|x＜a}，
∴a≤-2.
∴a的取值范围{a|a≤-2}.
(2)因A∩B=A，∴A ?B，∴a≥4
∴a的取值范围{a|a≥4}.
1.对并集概念的理解
(1)定义中的“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x?B”“x∈B，但x?A”；“x∈A，且x∈B”.?Venn图如图所示.另外，在求两个集合的并集时，它们的公共元素只出现一次.
(2)并集在定义中是由集合A与B的所有元素组成的集合，从这个意义上讲，A∪B可以类比实数的加法运算.
2.对交集概念的理解
(1)并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=?.如图所示.
(2)定义中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时还有“A与B的公共元素都属于A∩B”.
设A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于[JY]( )
?A.?{y|y≥1} ?B.?{1,2}
?C.?{(0,1)，(1,2)} ? D.??
【错解】
【错因】 集合A、B中的代表元素都是y，即表示两个函数值的集合，而A＝{y|y≥1}，B＝{y|y∈R}，故A∩B＝{y|y≥1}，应选A.这里，我们以为是求抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1的交点坐标，错选C.根源就在于没有搞清集合中的元素含义.
【正解】 ?A?
1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B=( )
A.{3,5} B.{3,6}
C.{3,7} D.{3,9}
【解析】 A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，
∴A∩B＝{3,9}.故选D.
【答案】 D
2.设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )
?A?.{x|x≥3} ?B?.{x|x≥2}
?C?.{x|2≤x＜3} ?D?.{x|x≥4}
【解析】 B＝{x|x≥3}.画数轴(如下图所示)可知选?B?.
【答案】 ?B?
3.已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝ .
【解析】 A＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，
∴A∩B＝{0，－1}∩{x|x≥0}＝{0}.
【答案】 {0}
4.求下列两个集合的并集和交集.
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；
(2)A＝{x|x＜－2}，B＝{x|x＞－5}.
【解析】 (1)A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，
A∩B＝{1,2,3}.
(2)结合数轴(如图所示)得：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－5＜x＜－2}.(共23张PPT)
集合A或属于集合B
{x|x∈A，
x∈B}
或
既属于集合A又属于集合B
A∩B
{x|x∈A，且x∈B}
A
B
A
A
A
A∪B
规律方法 求两个集合的交集依据它们的定义，借
用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情
况，有利于准确写出交集．
A
规律方法 出现交集为空集的情形，应首先考虑集
合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有
关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，
应重点考虑．
A
C
解析 ②③④正确．
A
C
解析 结合数轴知答案C正确．
B
解析 由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．
{(2,1)}
a≥－1
解析 由A∩B≠ ，借助于数轴知a≥－1.
－4
