(共10张PPT)
简单的幂函数
如果一个函数，底数是自变量x,指数是常量 ，
y=x , ( y=x-1 ), y=x2
这样的函数称为幂函数.
即
幂函数的图像
y=x
y=x2
y=x-1
y=x3
问题1：观察y=x3的图像，说出它有哪些特征？
问题2：观察y=x2的图像，说出它有哪些特征？
图像关于原点对称的函数
叫作奇函数
图像关于y轴对称的函数
叫作偶函数
对任意的x，f(-x)=-f(x)
对任意的x，f(-x)=f(x)
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2的奇偶性
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性：
拓展性训练题
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ ）
A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的，则它在[-b,-a]上是（ ）
A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增
A
B
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数，且在（-1，1）上是单调递减的，则不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
C
小结：
1.幂函数的概念
2.奇函数，偶函数的概念
3.函数的奇偶性及其判断方法(共30张PPT)
§5 简单的幂函数
若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，求该函数的解析式．
1．幂函数的定义
形如y＝xα ( 其中底数x为 ，指数α为 )的函数叫幂函数．
2．函数的奇偶性
已知y＝f(x)，x∈A，则f(x)奇偶性定义见下表：
类别定义 奇函数 偶函数
图象定义 图象关于 对称的函数叫作奇函数 图象关于y轴对称的函数叫作偶函数
语言定义 任意x∈A， 任意x∈A，
原点
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
自变量
常量
2．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？
【提示】 由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
幂函数的概念
【思路点拨】 依据幂函数的定义进行判断.
【答案】 ?C?
幂函数y＝xα要满足三个特征：
(1)幂xα前系数为1；
(2)底数只能是自变量x，指数是常数；
(3)项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数．
【解析】 根据幂函数的定义，知
幂函数的图象与性质
【思路点拨】 由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可.
解决有关幂函数问题的关键是会定性分析 中，p，q为正、负、奇、偶等各种情况的大体图象，要从函数的奇偶性、单调性出发对函数进行探讨，重点要研究在第一象限内的各种情况.注意：所有幂函数在第一象限内均有图象，且过点(1,1)， ＞0，则为递增， ＜0，则为递减.
2.用描点法画出①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④ ；⑤y＝x－1的图象并指出其特点.
【解析】 (1)图象如下图所示：
(2)观察上面的函数图象会发现以下特征：
①图象都过点(1,1)．
②在第一象限内函数y＝x，y＝x2，y＝x3， 的图象自左向右看都是上升的，也就是在[0，＋∞)上都是增函数，且这几种函数的图象都过原点．
③函数y＝x－1的图象在第一象限内自左向右看是下降的，即y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数．
④y＝x，y＝x3，y＝x－1的图象关于原点对称，它们是奇函数；而y＝x2的图象关于y轴对称，它是偶函数； 图象只在第一象限内(含原点)，它是非奇非偶函数．
函数奇偶性的判断
判断下列函数是否具有奇偶性．
【思路点拨】 解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性．
【解析】 (1)函数定义域为{x|x≠0}
f(－x)＝(－x)－
＝－(x－)＝－f(x)
∴f(－x)＝－f(x)
∴函数f(x)＝x－是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为[－3,3]关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)
∴函数f(x)＝x2－1，x∈[－3,3]是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠－3}；
定义域不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为{x|x＝±2}，
此时函数f(x)＝0
f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)
∴函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断
f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
3.判断下列函数是奇函数还是偶函数．
(1)f(x)＝x＋ ；
(2)f(x)＝ ＋2；
(3)f(x)＝|x＋2|－|x－2|.
【解析】 方法一：函数的定义域是{x|x∈R且x≠0}，
所以关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋ ＝－(x＋ )
＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋ 是奇函数．
方法二：y＝x，y＝ 都是{x|x∈R且x≠0}上的奇函数，
∴f(x)＝x＋ 是奇函数．
(2)函数的定义域是{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称．
又对任意的x∈R且x≠0都有
f(－x)＝ ＋2＝ ＋2＝f(x)，
∴f(x)＝ ＋2是偶函数．
(3)x∈R，
f(－x)＝|－x＋2|－|－x－2|
＝|x－2|－|x＋2|
＝－(|x＋2|－|x－2|)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
已知函数f(x)为定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
【思路点拨】
【解析】 (1)①由于函数f(x)为定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x，
(2)图象如图
综上：f(x)＝ .
给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性．其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点等)关于原点或y轴的对称点．然后按原图象的特征用平滑曲线连结这些点，就作出了在另外半个平面的图象．
4.(1)如图(1)，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
(2)如图(2)，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象．
【解析】 (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点P′(x，f(x))．图为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点P′(x，f(x))，图为补充后的图象．易知f(1)＞f(3)．
1．对幂函数概念的理解
(1)幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数，可以取任意实数．
(2)幂前面的系数必须为1，且为单项式，否则不是幂函数．如：y＝(2x)α，y＝2·xα，y＝xα＋2等都不是幂函数．
2．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)，幂函数图象不过第四象限．
(2)α>0时，①幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；
②并且在[0，＋∞)上都是增函数．
(3)α<0时，①幂函数的图象都通过点(1,1)；
②在[0，＋∞)上都是减函数；
③在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
3．准确理解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．
(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．
下面四个结论：
(1)偶函数的图象一定和y轴相交；
(2)奇函数的图象一定通过原点；
(3)偶函数的图象一定关于y轴对称；
(4)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
其中正确的命题是________．
【错解】 (2)(3)
【错因】 一个函数为偶数，它不一定在x＝0处有定义，所以(1)不对，只有在x＝0处有定义的奇函数，它的图象才一定通过原点，所以(2)不对；函数f(x)＝0，x∈[－1,1]，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]都既是奇函数又是偶函数，所以(4)也不对．
【正解】 (3)
1．下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝3x2 B．y＝2x
C．y＝x－1＋1 D．y＝x3.14
【答案】 D
2．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
【答案】 C
x 1 4
f(x) 1 2
3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：则f(8)＝________.
【答案】 2
4．判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)f(x)＝x＋1；
(2)f(x)＝x2＋3x，x∈[－4,4)；
(3)f(x)＝x2＋1，x∈[－6，－2]∪[2,6]．
【解析】 (1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，当x∈R时，－x∈R.
因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，
即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．
所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．
(2)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在－4∈
[－4,4)，而4 [－4,4)．
所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．
(3)函数f(x)＝x2＋1的定义域为[－6，－2]∪[2,6]，当x∈[－6，－2]时，－x∈[2,6]．
因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－6，－2]∪[2,6]是偶函数．
