(共20张PPT)
§2 集合的基本关系
1.集合的表示方法有 、 .
2.元素与集合间的关系用符号 或? 表示.
3.(1)若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合
B＝ .
(2)用描述法表示集合A＝{1,4,7,10,13}＝
列举法
描述法
∈
{4,9,16}.
{x|x＝3n－2，n∈N＋，n≤5}
1.子集、真子集、集合相等的概念
概念 定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中 元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有 关系，称集合A为集合B的子集. A?B(或B?A)
真子集 如果集合A?B，但存在元素 且 ，则称集合A是集合B的真子集. A? B(或B? A)
集合
相等 如果 ，那么就说集合A与集合B相等. A B
任意一个
包含
x∈B
x?A
A?B且B?A
＝
2.空集
(1)定义： 的集合，叫做空集.
(2)用符号表示为：? .
(3)规定：空集是任何集合的 .
3.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的 ，即 .
(2)对于集合A，B，C，如果A ?B，B?C，那么 .
不含任何元素
子集
A?C
A?A
子集
1.任何一个集合都是它本身的子集，对吗？
【提示】 正确，对于任何一个集合A，它的任何一个元素都属于集合A本身，即A?A.
2.包含关系{a}?A与从属关系a∈A有什么区别？
【提示】 两者的区别是：(1)从符号上看，“?”表示的是两个集合间的关系，而“∈”表示的是元素与集合间的关系；
(2){a}是含一个元素a的集合，而a通常表示一个元素；
(3){a}?A表示{a}是A的一个子集，而a∈A表示a是A的一个元素.
两集合相等的应用
若 ＝{0，a2，a＋b}，则a2009＋b2010的值为 .
【思路点拨】 先从特殊元素0着手，结合集合元素的特性求解.
【解析】 ∵ ＝{0，a2，a＋b}，
∴0∈.
∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}，
∴a2＝1，a＝±1.
当a＝1时，不满足互异性，
∴a＝－1.
∴a2009＋b2010＝－1.
【答案】 －1
(1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但
要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.
(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看
代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等.
(3)证明两个集合相等的思路是证：A ?B且B? A.
1. M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，
试问M与P的关系怎样？
【解析】 ∵a∈R，
∴x＝1＋a2≥1，
x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1，
∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}，
∴M＝P
子集、真子集的概念问题
写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的所有集合A.
【思路点拨】 解答本题可根据子集、真子集的概念求解.
【解析】 由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A
又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个
元素中的一个或两个.
故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}.
(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键.
(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写避免发生
重复和遗漏现象.
(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意空集?和集合本身易漏掉.
2.已知集合A?{x∈N|－1＜x＜4}，且A中至少有一个元素
为奇数，问：这样的集合A有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.
【解析】 这样的集合A共有11个.
∵{x∈N|－1＜x＜4}＝{0,1,2,3}，
又A?{0,1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，
故A中只含有一个元素时，A可以为{1}，{3}.
A中含有两个元素时，
A可以为{1,0}，{1,2}，{1,3}，{3,0}，{3,2}.
A中含有三个元素时，
A可以为{1,0,2}，{3,0,2}，{1,3,0}，{1,3,2}.
（真）子集的综合应用
已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|x＜a}.若A?B，
求实数a的取值范围.
【思路点拨】 解答本题可采用数轴分析法，将集合A、B表示在数轴上，
利用数轴分析a的取值.
【解析】 将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A?B，表示数a的点
必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}.
解决此类问题的常用方法是数形结合，首先将各个已知集
合在数轴上画出来，以形定数，然后利用数轴分析，再结合(真)子集的定义，
列出参数满足的不等式，进而求出参数的取值范围.值得注意的是要检验端
点值是否满足题意，做到准确无误.
3.(1)本例中A?B换成A ?B，A＝{x|2≤x≤4}，则a的取值范
围又是什么？
(2)本例中，若集合B＝{x|2a－9＜x＜a}，其他条件不变，则a的取值范围又
如何呢？
【解析】 (1)将集合A表示在数轴上.
要使A ?B，需a＞4.所以所求a的取值范围为a＞4.
(2)由于A ?B，A≠?，所以B≠?.
由数轴知 ，解得4≤a＜ .故所求a的取值范围是4≤a＜ .
1.子集、真子集的概念的理解
(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合.如A＝?，则集合A不含B中的任何元素.
(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}.
2.集合相等
(1)集合相等的定义有两方面含义：
若A?B且B?A，那么A＝B；若A＝B，那么A ?B且B ?A.
(2)证明两个集合相等的方法：若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、B是无限集，欲证A＝B，只需证A ?B与B? A都成立即可.
3.注意一些容易混淆的符号
(1)∈与?的区别：∈表示元素与集合之间的关系，因此有0∈N，但0?N?；?表示集合与集合之间的关系，因此有N ?R，??R.
(2)a与{a}的区别：一般地a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}?{1,2,3}等，不能写成1? {1,2,3},0＝ {0}，{1}∈{1,2,3}.
(3){0}与?的区别：{0}是仅含有一个元素的集合，?是不含任何元素的集合，因此有??{0}，不能写成?＝{0}，?∈{0}等.
若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值.
【错解】 A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}.
∵B?A，∴mx＋1＝0的解为－3或2.
当mx＋1＝0的解为－3时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝ ；
当mx＋1＝0的解为2时，由m·2＋1＝0得m＝－ .
综上所述，m＝ 或m＝－ .
【错因】 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法.原因是考虑不全面，由集合B的含义及B?A，忽略了集合为?的可能，而漏掉解.因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现?的可能.
【正解】 A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}.
∵B?A，
∴当B＝?时，m＝0适合题意.
当B≠? 时，
方程mx＋1＝0的解为x＝－ ，
则－ ＝－3或－ ＝2，
∴m＝ 或m＝－
综上可知，所求m的值为0或 或－
1.集合{0,1}的子集有( )
?A.?1个 B.?2个
?C.?3个? D.?4个
【答案】 ?D?
2.下列各式中，正确的是( )
A.2 ∈{x|x≤3} B.2? {x|x≤3}
C.2? {x|x≤3} D.{2 }?{x|x≤3}
【解析】 2 表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但2 不在集合 中，故2 ? {x|x≤3}，A、C不正确，又集合{2 }? {x|x≤3}，故D不正确.
【答案】 B
3.集合A＝{1}与集合B＝{x|x2－4x＋3＝0}的关系为 .
【答案】 A? B
4.已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}要
使A?P?B，求满足条件的集合P.
【解析】 由题意得，A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝?，
B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，
由A?P?B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：{
－1}或{1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}.(共27张PPT)
任何一个
A B
B A
A含于B
B包含A
任何一
个元素
任
何一个元素
相等
A＝B
A B
A≠B
A?B
(或B?A)
空集
空集
对点讲练
规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中
元素的互异性，防止错解．
B
解析 仅④是正确的．
B
解析 ∵A B，∴
∴3≤a≤4.
D
解析 ∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}， ，
∴A＝{x|x B}＝{{1}，{2}，{1,2}， }，
∴B∈A.
A
B
B?A
解析 A、B都为点集，点(0,0)∈A，但点 (0,0) B.
±1或0
{0,1,2,3,4,5}
