(共27张PPT)
§?1 集合的含义与表示
1.列出满足“大于5而小于10”的所有整数 .
2.实数可以分为 、 ；有理数可以分为 、 ；整数可以分为 、 、 .
3.到一个定点的距离等于定长的点的集合是 .
6、7、8、9.
有理数
无理数
整数
分数
正整数
负整数
零
圆
1.集合的含义
(1)一般地，指定的 称为集合，集合中的 叫作这个集合的元素.
(2)集合与元素的表示
通常用 表示集合；
通常用 表示集合中的元素.
某些对象的全体
每个对象
大写字母A，B，C，…
小写字母a，b，c，…
知识点 关系 概念 记法 读法
元素
与集
合的
关系
属于 如果 ，就说a属于A “a属于A”
不属于 如果 ，就说a不属于A
“a不属于A”
2.元素与集合的关系
a是集合A的元素
a∈A
a不是集合A的元素
a A
名称 非负整数集
(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N＋ Z Q R
3.常用数集及表示符号
列举法 把集合中的元素 出来写在大括号内表示集合的方法
描述法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
4.集合的表示方法
一一列举
有限集 含有 元素的集合
无限集 含有 元素的集合
空集 元素的集合
5.集合的分类
有限个
无限个
不含任何
1.“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？
【提示】 “高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它们都不能构成集合.
2.“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？
【提示】 在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的数(对象)1,2,4，并且都是确定的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.
集合中元素的特性
已知集合A＝{1,0，a}，若a2∈A，求实数a的值.
【思路点拨】
如果令a2=1，0或a
解方程求a
检验得x值
【解析】 (1)若a2＝1，则a＝±1，
当a＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；
当a＝－1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合.
(2)若a2＝0，则a＝0，
此时集合A中有两个相同元素0，舍去.
(3)若a2＝a，则a＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去.
综上可知：a＝－1.
根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
1.判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1){a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个不同的集合；
(2)集合 中有5个元素；
(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；
(4)集合A＝{(1，－3)}与B＝{(－3,1)}是同一集合.
【解析】 (1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求序，只要是相同几个元素即可，故{a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个相同
的集合.
(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而 ＝0.50，因此，此种表
示不能构成集合.要想表示集合，应写作 ，含有4个元素.
(3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集.
(4)不正确.A＝{(1，－3)}表示的是由点(1，－3)组成的单元素点集，B＝{(
－3,1)}表示的是由点(－3,1)组成的单元素点集，而(1，－3)和(－3,1)是不同
的两个点，因此A与B是不同的集合.
元素与集合的关系
设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}.若a∈A，
b∈B，试判断a＋b与A，B的关系.
【思路点拨】 因为A是偶数集，B是奇数集，所以a是偶数，b是奇数，从
而a＋b是奇数.
【解析】 ∵a∈A，∴a＝2k1(k1∈Z).
∵b∈B，∴b＝2k2＋1(k2∈Z).
∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1.
又∵k1＋k2∈Z，
∴a＋b∈B，从而a＋b ?A.
判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.
2.所给下列关系正确的个数是( )
①?π?∈R；② ?Q；③0∈N＋；④|－4|? N＋.
A.?1 B.?2
C.?3 D.?4
【解析】 ∵?π?是实数，是无理数，
∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数；
|－4|是正整数，∴③④错误.
【答案】 ?B?
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合
(1)比4大2的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式x－2>3的解的集合；
(4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合.
【思路点拨】 解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无限个.
【解析】 (1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}.
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为
(x－2)2＋(y＋3)2＝0
∴ ，∴方程的解集为{(2，－3)}.
(3)由x－2>3，得x>5.
故不等式的解集为{x|x>5}.
(4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法表示为
{(x，y)|y＝x2－1}.
(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序.
(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.
3.用适当的方法表示下列集合
(1)二元二次方程组 的集合；
(2)大于4的全体奇数组成的集合；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；
(4)一次函数y＝2x＋1图象上所有点组成的集合.
【解析】 (1)列举法：{(0,0)，(1,1)}；
(2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}；
(3)列举法：因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
所以
所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}；
(4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}.
1.集合的概念可以从以下几个方面来理解
(1)集合是一个“整体”；
(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征.这两个特征不是模棱两可的.
判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合.
2.对集合中元素三个特性的认识
(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系.
【注意】 集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关系，求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.
3.使用描述法必须注意
(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数对(点)，或是集合，或是其他形式；
(2)准确说明集合中元素的共同特征；
(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，如x∈R是明确的，则x∈R可以省略，只写其元素x；
(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”、“或”等表示描述语句之间关系的词.
下列说法：
①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；
③方程组 的解集为{x＝1，y＝2}.
其中正确的有( )
?A.?3个 B.?2个
?C.?1个? D.?0个
【错解】 ?A?
【错因】 对于描述法表示集合，一应清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么.
【正解】 ①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1?N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}.
②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R.
③方程组 的解是有序实数对，
而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集，
正确的表示应为{(1,2)}或
【答案】 ?D?
1.下列关系中，正确的个数为( )
① ∈R； ②? Q； ③|－3|?N；④|－|∈Q.
?A.?1 ?B.?2
?C.?3 ? D.?4
【答案】 ?B?
2.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.－1 ∈ A
【解析】 集合A表示不等式3－3x>0的解集.显然3,1不满足不等式，而0，
－1满足不等式，故选C.
【答案】 C
3.已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是 .
【解析】 由互异性知a2≠1，即a≠±1，
故实数a不能取的值的集合是{1，－1}.
【答案】 {1，－1}
4.以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有多少个元素？
【解析】 ∵方程x2－2x－3＝0的解是
x1＝－1，x2＝3，
方程x2－x－2＝0的解是
x3＝－1，x4＝2，
∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，共有3个元素.(共25张PPT)
集合
元素
确定性
互异性
无序性
一样
a属于集合A
a?A
a不属于集合A
a∈A
R
Q
Z
N
N+
D
考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想
的应用．
D
A
C
D
D
∈
∈
∈
∈
2
①④⑤(共24张PPT)
一一列举
列举法
描述法
确定的条件
有限集
无限集
空集
解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后
再按要求改写．
对点讲练
对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；
对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边
因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给
二次函数图像上的点有无数个，宜采用描述法．
A
C
C
D
B
(3)(5)(6)
0,1,2
9
解 用描述法表示为(即用符号语言表示)：
