(共16张PPT)
线面垂直的判定
直线和平面垂直的定义
如果一条直线 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 和平面 互相垂直，记作 ．
它们唯一的公共点即交点叫做垂足．
直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．
思考：（1）过空间一点作已知平面的垂线有几条？
（2）过空间一点作已知直线的垂面有几个？
⑴：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
⑵：过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
例: 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知： ， ．
求证： ．
证明：设 是 内的任意一条直线．
问题
（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
（2）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
A
B
C
D
探究线面垂直的判定
请准备一块三角形的纸片，
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，
将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），
如何翻折才能保证折痕AD与桌面垂直？
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的判定定理：
例2：如图, M是菱形ABCD
在平面外一点,满足MA=MC
求证:
练习：已知ABCD是矩形,PA ⊥平面AC,连PB,PC,PD,
图中直角三角形的个数有 ( )个
4
一. 线与面垂直的判定方法:
① 定义法：
② 判定定理：
二. 数学思想方法: 转化的思想
小结：
课外思考: 已知 ， 于 ， 于 ， 于点 ，求证： ．(共40张PPT)
直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α互相垂直，记作 l ⊥α。（如图）
直线 l 叫做平面α的垂线。
平面α叫做直线 l 的垂面。
直线 l 和平面α的交点叫做垂足。
α
P
l
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
二、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥ m， l ⊥ n。
求证： l ⊥α。
α
m
n
B
l
α
m
n
B
l
l
α
m
n
B
l
l
α
m
n
g
B
l
α
m
n
g
B
g
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
l
α
m
n
g
A
B
A’
C
D
E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
l ⊥m
l
α
m
A
B
C
A’
l ⊥m
l
α
m
A
B
C
A’
l ⊥m
AC=A’C
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AD=A’D
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
CD=CD
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
△ACD≌△A’CD
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
∠ACE=∠A’CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AC=A’C
CE=CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
△ACE≌△A’CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AE=A’E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l
α
g
A
B
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l
α
g
A
B
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l ⊥g
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的判定定理
注：m α
n α
m ∩ n = B
l ⊥ m
l ⊥ n
l ⊥α
这个定理还说明这样一个事实，的确存在着和一个平面内一切直线都垂直的直线，从而得证了直线和平面垂直的合理性。
这个定理不仅提供了判定直线和平面垂值得一种方法，而且还是证明直线和直线互相垂直的一种常用的方法，即要想证明a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相交直线垂直（或证b与a所在平面内的两条相交直线垂直）。
小结
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？
5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？
练习
α
a
b
m
n
已知：a∥b，a ⊥α
求证：b⊥α
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。（此定理可看作线面垂直的判定公理二）
证明：在平面α内作两条相交直线m，n
∵ a⊥α
∴ a⊥m ,a⊥n
∵ b∥a
∴ b⊥m ，b⊥n
∴ b⊥α
α
a
b
m
n
α
β
γ
a
b
c
E
例2 已知：b α，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。
求证：a⊥α。
证明：
∵ b⊥β， β∩γ=a，
∴ b⊥a ；
∵ c⊥γ，β∩γ=a，
∴ c⊥a ；
∵ b∩c=E，
b α，
c α,
∴ a⊥α。
α
β
γ
a
b
c
E
例3 已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。
求证：AC⊥BD′
A
B
D
C
A′
B ′
C
D
′
′
证明：
连接BD
∵正方体ABCD-A′B′C′D′
∴DD ′⊥正方体ABCD
∵AC、BD 为对角线
∴AC⊥BD
∵DD ′∩BD=D
∴AC⊥△D ′DB
∴AC⊥BD ′
A
B
D
C
A′
B′
C′
D′
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
