内蒙古自治区乌兰察布市四子王旗实验学校高中部2021-2022学年高二上学期12月月考数学（理）试题（Word版，含解析）

四子王旗实验学校高中部2021-2022学年高二上学期12月月考
理数试题
考试分值：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点与点关于点M对称，则点M的坐标为
A． B．
C． D．
2.命题：“”的否定是
A．不存在 B．
C． D．
3.双曲线的渐近线方程是
A． B．
C． D．
4.已知命题：R，，若命题是假命题，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
5.方程表示的曲线为
A．抛物线与一条直线
B．上半抛物线（除去顶点）与一条射线
C．抛物线与一条射线
D．上半抛物线（除去顶点）与一条直线
6.若，已知命题，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，若线段的中点在轴上，则=
A． B．
C． D．
8.已知向量，则=
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
9.直线与拋物线交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于
A． B．
C． D．
10.如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为的中点，则
A． B．
C． D．
11.如图，已知正方体，点是对角线上的一点且，，则
A．当时，平面
B．当时，平面
C．当为直角三角形时，
D．当的面积最小时，
12.设椭圆（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，()，，则椭圆离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知命题：若，则中至少有1个数大于2.则命题的逆否命题为________.
14.已知抛物线和，点为抛物线上的动点，到该抛物线准线的距离为，则的最小值为___________.
15.已知椭圆的长轴长为8，是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，则的标准方程为__________.
16.如图，四面体的每条棱的长都等于，点分别为棱的中点，则________，与所成的角为________．（本题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
设命题：实数满足命题：实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.(12分)
如图，在直三棱柱中，∠，分别是的中点．
（1）求的值；
（2）求证：⊥.
19.(12分)
已知抛物线：的焦点为，点在上，点的横坐标为2，且，，是上异于的两点．
（1）求E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB恒过定点．
20.(12分)
如图，在四棱锥中，平面平面
为的中点．
（1）证明：
（2）求二面角的余弦值．
21.(12分)
已知椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是的左、右两个顶点，为上的动点.
（1）求C的标准方程；
（2）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值.
22.(12分)
已知双曲线：的左 右焦点分别为，，直线交于，两点.
（1）若，四边形的面积为12，求的方程；
（2）若，且四边形是矩形，求的离心率的取值范围.
高二理数参考答案及解析
选择题
1.A【解析】由题意可知M为PQ的中点，根据中点坐标公式可知M的坐标为．故选A项.
2.C【解析】由题意可知命题“”是全称命题，故它的否定是为“”．故选C项.
3.A【解析】双曲线焦点在轴上，，所以渐近线方程为.故选A项.
4.B【解析】由于命题是假命题，则是真命题，即R，是真命题，
，，解得.故选B项.
5.D【解析】由可得，或，所以方程表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线.故选D项.
6.D【解析】由知，，可得或所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D项.
7.D【解析】由题意画图如下, 的中点在轴上，原点为的中点，所以与相似， 即垂直于轴，，把代入椭圆方程，得，所以，，所以.故选D项.
8.B【解析】由题知 设 则，可得所以 解得，即.故选B项.
9.D【解析】直线，即，即直线过拋物线的焦点．设则，故，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线的距离是.故选D项.
10.A【解析】由得，由点为线段的中点得，
所以.故选A项.
11.D【解析】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则令，则，，所以.若平面，则，则，解得，故A项错误；若平面，则，即，解得，故B项错误；当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C项错误；设到的距离为，则，所以当的面积最小时，，故D项正确．故选D项.
12.B【解析】设，，由椭圆的定义可得，设，可得，即有①，由，可得，即为②，由②①，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则当时，取得最小值；当或3时，取得最大值，即有，解得，所以椭圆离心率的取值范围为.故选B项.
二、填空题
13.若都不大于2，则【解析】由命题的逆否命题的定义得，命题的逆否命题为“若都不大于2，则.
14.【解析】根据抛物线的定义可得，，则.
15.【解析】依题意得，设半焦距为，，两边平方得，因为，所以，又的面积为9，所以，即，所以，解得，从而得，所以的标准方程为.
16. 【解析】分别为的中点，，，
又，，；，，，与所成的角为.
三、解答题
17.解：（1）若为真，则可得所以.（2分）
若为真，则当时，，解得，（3分）
因为为真，所以真真，则，即的取值范围是.（5分）
（2）由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，
即推出，但不能推出，由真可得，由真可得．
由，，可得，即实数的取值范围是，．（10分）
18.（1）解：如图，根据题意可知CA，CB，两两垂直，故以C为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，（1分）
则，
，，1，，（3分）
，，，
.（6分）
（2）证明：依题意，得，0，，，，
∴，，，（8分）
，
，
．（12分）
19.（1）解:由题意得，F（0，），设M（2，y0），，
由点M是E上一点，得4＝2p（2﹣），∴p2﹣4p+4＝0，解得p＝2，
∴E的方程为x2＝4y.（5分）
（2）证明：设A（），B（），
由题意可知，，
得，可知直线AB的斜率存在．
设AB：y＝kx+m，
联立得，（8分）
可得，即，且满足．
∴直线AB恒过定点（0，2）．（12分）
20.（1）解:因为 为的中点，
所以又平面平面交线为
平面所以又平面所以（5分）
（2）证明:取线段的中点
因为所以
由（1）知
故以为坐标原点，的方向分别为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，（6分）
则
所以，
设平面的一个法向量为，由得
令得.（8分）
设平面的一个法向量为，由得
令得.（10分）
所以，
由图易知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为（12分）
21.（1）解:由题意可得圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以，即，（2分）
又，即，又，解得，（4分）
所以C的方程为.（5分）
（2）证明：设，
则，即，
则即，
所以为定值.（12分）
22.解:（1）因为直线交于，两点，所以，两点关于原点对称，
从而四边形是平行四边形，
设的焦距为，则四边形的面积，解得，21.（2分）
所以，，所以，，
于是，解得，，（4分）
所以双曲线的方程为.（5分）
（2）设，则.
联立，得.（7分）
因为，
所以，化简得.（8分）
因为，所以.
由得，解得；
由得，解得.
因此，的取值范围为.（12分）