内蒙古自治区乌兰察布市四子王旗实验学校高中部2021-2022学年高二上学期12月月考数学（文）试题（Word版含答案）

四子王旗实验学校高中部2021-2022学年高二上学期12月月考
文数试题
考试分值：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若，则”的逆否命题是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.函数的导数是
A. B. C. D.
3.“”是“”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.椭圆的一个焦点坐标是
A. B. C. D.
5.已知某物体的运动位移（单位：m）的方程是，则当时的瞬时速度是
A. B. C. D.
6.已知函数满足，且的导函数，则的解集为
A. B.或 C. D.
7.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为
A. B. C. D.或
8.函数的图像在点处的切线方程为
A. B. C. D.
9.设命题：，命题：对任何，都有.若命题是真命题，命题是假命题，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
10.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若，且，则的值为
A. B. C. D.
11.已知定义在(a,b)上的函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)，g′(x)的图像如图所示，g′(x)的图像在处与f′(x)的图像相切，则关于函数h(x)＝f(x)-g(x)的判断正确的是
A.在区间上先增后减 B.为极小值点
C.在区间上单调递减 D.有1个极大值点，1个极小值点
12.已知双曲线的左 右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左 右支分别交于点，且，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知命题p：“”,则p为________.
14.已知函数，则________.
15.椭圆的四个顶点为A，B，C，D，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是________.
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，以坐标原点O为顶点、为焦点作抛物线E.若点是双曲线C与抛物线E在第一象限的交点，且，则抛物线E的准线方程是________.
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
设集合，.
（1）用列举法表示集合A；
（2）若是的充分条件，求实数的值.
18.(12分)
已知双曲线的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线C的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线被双曲线截得的弦长为，求的值.
19.(12分)
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围.
20.(12分)
设两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设以为中点的弦所在直线为，求直线的方程.
21.(12分)
已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于A,两点，与圆交于点,F两点，是线段的中点.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求△的面积.
22.(12分)
已知函数
（1）求证：当时，函数存在唯一的极小值点；
（2）若函数的图像相切，求实数的值.
高二文数参考答案及解析
一、选择题
1.C【解析】原命题的逆否命题为“若，则”.故选C项.
2.B【解析】由得，.故选B项.
3.B【解析】因为或，所以“”是“”充分不必要条件.故选B项.
4.A【解析】c2＝9－5＝4，所以c＝2，所以焦点为(0，±2).故选A项.
5.C【解析】因为，所以，由导数的定义可知：当t＝2 s时的瞬时速度即为.故选C项.
6.C【解析】设，则函数的导函数，因为，所以
，则函数单调递减，因为，所以，则不等式，等价为，即，则，即的解集为.故选C项.
7.B【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选
B项.
8.D【解析】因为，所以，所以，又，所以函数
的图像在点处的切线方程为，即.故选D项.
9.A【解析】因为命题p：，解得，若命题p为假，则或，命题：对任何，都有.则，解得，若命题为假，则或，因为命题是真命题，命题是假命题，所以命题p，命题一真一假，若命题p为真，命题为假，则，解得，若命题p为假，命题为真，则，解得.综上，实数的取值范围是.故选A项.
10.B【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点，，
设，则由已知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，因为，则，从而得，所以，则为的中点，从而.故选B项.
11.D【解析】函数h(x)＝f(x)-g(x)，则h′(x)＝f′(x)-g′(x)，由图像可知：x＜x1时，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减；x1＜x＜x3时，h′(x)0，此时函数h（x）单调递增；x＞x3时，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减.所以x1为函数h(x)的极小值点，x3为函数h(x)的极大值点.故A,B,C项不正确，D项正确.故选D项.
12.A【解析】过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在Rt△中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在Rt△中，，所以，所以，则.故选A项.
二、填空题
13.【解析】因为命题p：“”，所以p为“”.
14.2【解析】因为，所以，令，得，解得.
15.【解析】易知边的直线方程为，即，则平行四边形的内切圆的圆心是椭圆的中心，半径为中心到直线的距离，又因为四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，所以，即，即，即，即，解得或（舍去），则.
16.【解析】设，则抛物线E的方程为，直线的方程为，，所以，，根据双曲线C的定义得，所以抛物线E的准线方程为.
三、解答题
17.解：（1），即或，.（4分）
（2）若是的充分条件，则，，
解得或，（6分）
当时，，满足，当时，，同样满足，（8分）
所以或.（10分）
18.解：（1）因为双曲线离心率为，实轴长为2，所以，，解得，，
，所以所求双曲线C的方程为,（2分）
所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即为，（4分）
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为.（6分）
（2）设,,联立，得，，（8分）
所以，，所以，（10分）
解得，即.（12分）
19.解：（1）函数f(x)的定义域为，，（2分）
当，即时，恒成立，则在上单调递增；（3分）
当，即时，或（舍去），所以在上单调递减，在上单调递增.（5分）
所以时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（6分）
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；（7分）
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
（9分）
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.（11分）
综上，.（12分）
20.解：（1）设点的坐标为，因为点A的坐标是，
所以直线的斜率，（2分）
同理，直线的斜率，（3分）
由已知，有，
化简得点的轨迹方程为.（6分）
（2）设直线与曲线交于，，
由题意得，两式相减，得，（8分）
即，所以直线的斜率，（10分）
因为点是线段的中点，所以，，所以.（11分）
所以直线的方程为，即.
经检验，直线与点M的轨迹C有两个交点，符合题意.（12分）
21.解：（1）因为抛物线，所以准线方程为.（3分）
（2）设直线，，，
联立，得，（5分）
则，故，所以，（7分）
将点坐标代入圆的方程得，解得或m=0(舍去).
根据抛物线的对称性，不妨设，联立，消去得，所以，（9分）
所以，坐标原点到直线的距离，（11分）
所以.（12分）
22.（1）证明：当时，，.（1分）
令，则，所以在R上为增函数，（2分）
又因为，所以由零点存在性定理得，存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，（4分）
当时，取得极小值，
所以当时，函数存在唯一的极小值点.（5分）
（2）解：因为，所以.（6分）
由直线与函数的图像相切，可设切点为，且满足得，
所以.（9分）
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，为，（11分）
所以存在唯一一个实数解，此时.
故实数的值为0.（12分）