凤鸣山共同体集团校2021-2022学年高三上学期期中考试
数学试题
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
4．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ( )．
A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c
5．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
6．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
7．将函数的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为
A． B．
C． D．
8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
10．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为 D．常数项为135
11．中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值 B．
C． D．的最大值为
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，且，则___________.
14．等比数列的各项均为正数，且，则_____.
15．已知函数，若f(m)>1，则m的取值范围是________．
16．已知数列满足，，若集合中有个元素，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；（2）求，并求当取何值时有最小值.
18．（12分）在条件①；②；③中任选一个，补充以下问题并解答：
如图所示，中内角A B C的对边分别为a b c，___________，且，D在AC上，.
（1）若，求；（2）若，求AC的长.
19．（12分）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.
20．（12分）如图，是圆柱底面圆的直径，点 是的两个三等分点， 为圆柱的母线. （1）求证：平面；（2）设，为的中点，求二面角的余弦值.
21．（12分）如图，，分别是椭圆的左右顶点，且，(异于，)为椭圆上一动点，满足面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点作，，点，都在椭圆上，求的最小值.
22．（12分）已知，.
（1）设，若函数是单调函数，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若恒成立，求实数的取值范围。
试卷第4页，共4页凤鸣山共同体集团校2021-2022学年高三上学期期中考试
数学参考答案
一、二、选择题。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B D D C D D CD ABD ABD ABD
三、填空题。
13． 14．. 15．(－∞，0)(2，＋∞) 16．.
四、解答题。
17．（1）；（2）4.
【详解】
（1）设的公差为，由题意得得， 4分.
所以的通项公式为. 5分.
（2）由（1）得， 8分.
所以当时，取得最小值，最小值为. 10分.
18．条件选择见解析；（1）；（2）.
【详解】
解：选①，，
由正弦定理得，，
整理得，，由余弦定理得：，
由A为三角形内角得，；
选②，，
由得，
因为，所以，即，由于，
所以，即，故；
选③，，
所以，整理得，，
由正弦定理得，，由余弦定理得，，
由A为三角形内角得，； 3分.
（1）因为，，且，
所以为等边三角形，
所以，，，
中，由正弦定理得，，
即，
所以， 6分.
（2）设，则，，
中，由余弦定理得，， 8分.
故，. 12分.
19．（1）；（2）分布列答案见解析；（3）期望是，方差是.
【详解】
解：（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
3分.
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
8分.
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是. 12分.
20．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：连结，
∵点 是的两个三等分点，
∴，∴平面；
又 均为圆柱的母线，∴，
∴平面，
又，∴平面平面，
又平面，∴平面. 6分.
（2）连结，
∵是圆的直径，∴，
又为圆柱的母线，故 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
由条件，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，则，
取，得， 9分.
显然平面的法向量，
∴，
故所求二面角的余弦值为. 12分.
21．（1）；（2）最小值为.
【详解】
解：（1）由题意知，
又面积最大时为椭圆上顶点，
所以，
所以椭圆的标准方程为. 5分.
（2）由（1）知，，
又可设，
从而，
设，，，，
因为，，
所以， 7分.
从而，
又联立直线和椭圆的方程有：
，
进而，
由题意易知，所以
，
当且仅当，即时取得最值，
所以的最小值为. 12分.
22．（1）；（2）.
【详解】
（1），，
因是单调函数，故必有恒成立或恒成立，
对于函数，则，解得.
此时，，，，，
故所求切线方程为，即； 5分.
（2），
记，，
①当时，或，.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
故，解得；
②当时，恒成立，单调递增，
当时，，，故成立；
③当时，或，.
在上 单调递增，在上单调递减，在上 单调递增，
当时，，，
故，
而函数单调递增，所以，即满足题意.
综上得实数的取值范围为. 12分.
全部答案解析：
1．C
【分析】
先求，再求．
【详解】
由已知得，所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
2．D
【分析】
根据复数的除法运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可求解.
【详解】
由可得，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，
故选：D.
3．B
【分析】
直接利用扇形面积计算得到答案.
【详解】
根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为Slr45270（平方米）.
故选：B.
【点睛】
本题考查了扇形面积，属于简单题.
4．D
【详解】
试题分析：，，；且；.
考点：对数函数的单调性.
5．D
【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
6．C
【分析】
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】
因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为
故选：C
【点睛】
本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．D
【分析】
首先确定平移后的函数解析式，在求函数的递增区间.
【详解】
由题意可知平移后的解析式：
函数的单调递增区间：
解得：
【点睛】
本题考查了三角函数平移变换及三角函数性质，意在考查学生的变换能力、用算能力，三角函数平移变换前一定要分清变换前的函数和变换后的函数.
8．D
【分析】
通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
9．CD
【分析】
注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.
【详解】
由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
【点睛】
本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.
10．ABD
【分析】
先根据题意，分别对四个选项一一验证：
求出n=6，得到二项展开式的通项公式，
对于A: 二项式系数和为,可得；
对于B:赋值法，令，可得；
对于C、D:利用二项展开式的通项公式，可得.
【详解】
在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；
展开式的通项为，
令，得，因此，展开式中的常数项为．
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
11．ABD
【分析】
A利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C利用余弦定理及基本不等式求出范围即可，D根据余弦定理及基本不等式求出的最小值即可.
【详解】
对于A，，为定值，A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立）,由A选项知，，
解得，故C错误；
对于D，（当且仅当时，等号成立），因为，
所以，又，所以的最大值，D选项正确.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
12．ABD
【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.
【详解】
解：对于A，当时，，，
所以，故切点为（0，0），
则，所以，故切线斜率为1，
所以在处的切线方程为：，即，故A正确；
对于B，，，则，
若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，
令，即在上恰有一个解，
则在上恰有一个解，
即与的图象在上恰有一个交点，
，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，
而，
作出，的大致图象，如下：
由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，
即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；
对于C，要使得恒成立，
即在上，恒成立，
即在上，恒成立，即，
设，，则，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，，
所以在上的最大值为，
所以时，在上，恒成立，
即当时，才恒成立，
所以对任意，不恒成立，故C不正确；
对于D，当时，，，
令，则，即，
作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，
则在上恰有2个零点，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.
13．
【分析】
由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.
【详解】
因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
14．.
【详解】
试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，
，
．
考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．
15．(－∞，0)(2，＋∞)
【解析】
【分析】
由分段函数可得 或，分别运用指数函数和对数函数的单调性，即可得到解集．
【详解】
若则 或，
即或，
解得，或．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查指数函数、对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．
16．.
【分析】
由题，，，先求得数列的通项，然后代入题中，利用参变分离，再构造新函数，利用导函数求单调性，再讨论集合只有3个元素，可得最后的结果.
【详解】
由题，因为数列满足，，所以
即数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以
所以，化简可得
记
当，此时是单调递减的；
因为 当，
集合中有个元素，所以这三个元素只能是
所以
故答案为
【点睛】
本题考查了数列，函数，集合的综合知识，利用递推数列求通项公式、构造函数，利用导函数判断单调性是解决题目的关键，属于难题.
