凤鸣山共同体集团校2021—2022学年度上期高2020级半期考试
数 学 试 题
本试题卷共XX页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共8个小题，每道小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填涂在答题卡上.）
1. 点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2. 椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3. 知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.设圆：和圆：交于，两点，则线段所在直线的方程为（ ）
A. B. C． D．
6. 如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7. 圆C：被直线截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
8.已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9. 直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B． 若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面，所成锐角的大小为
10.下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点关于直线的对称点为
C．直线关于直线的对称直线的方程为
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11. 如图，在正方体中，，点M，N分别在棱AB和上运动（不含端点），若，下列命题正确的是（ ）
A． B．平面
C．线段BN长度的最大值为 D．三棱锥体积不变
12.已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ）
A．的最大值大于3
B．的最大值为4
C．的最大值为60°
D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或
三、填空题（本大题共4个小题，每道小题5分，共20分.请把正确答案写在答题卡相应的位置上.）
13.椭圆的长轴长为___________.
14. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为___________.
15.已知点，且F是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则.
16. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为___________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. （10分）已知.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
18. （12分）已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求的方程．
19. （12分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，如图1，沿对角线BD将向上折起至，连接A1C，构成一个四面体A1—BCD，如图2.
（1）求证：BD⊥A1C；
（2）若，求四面体的体积.
20. （12分）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
21. (12分)如图，四边形与均为菱形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值
22.（12分）已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于 两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）①若线段必过定点，求定点的坐标.
②点为坐标原点，求面积的最大值.
2凤鸣山共同体集团校2021—2022学年度上期高2020级半期考试
数 学 试 题 答 案
一、单选题
1-5. ADBCA
6-8. ABD
二、多选题
9.ACD 10.AB 11.ACD 12.BCD
11. 解析：在正方体中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，，
，而
则，
对于A选项：，则，，A正确；
对于B选项：，，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项：，则线段BN长度，当且仅当时取“=”，C正确；
对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而，
三棱锥体积为定值，即D正确.
故选：ACD
12. 解析：由椭圆方程得，
因此．
选项A中，，A错误；
选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；
选项C中，当点为短轴的端点时，取得最大值，取，则，
的最大值为60°，C正确；
选项D中，设．
，
，即或．
又由题意知，
或，
化简得或，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13. 4 14. 相交 15. 3 16.
16.设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则，，．
以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系．
则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
显然平面的法向量为．
所以，
所以侧面与底面的夹角为．
四、解答题
17. 解：（1）由已知得：，，
.
（2）由，即，
∴，解得.
18. 解：（1）设直线的斜率分别为，则．
若，则，，
（2）若，则，
∴可以化简为，
又直线与直线的距离，
或，
综上：.
所以的方程为或
19. 解：（1）取的中点，连接，，因为菱形的边长为，，所以与为等边三角形，所以，，又，平面，所以平面，因为平面，所以；
（2）因为菱形的边长为，所以，又，所以，所以，所以，所以
20. 解：（1）设圆的方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为： ；
（2）如图，
四边形的面积为，即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
21. （1）设与相交于点O，连接，
∵四边形为菱形，∴，且O为中点，
∵，∴，
又，∴平面
（2）连接，∵四边形为菱形，且，
∴为等边三角形，
∵O为中点，∴，又，
∴平面.
∵，，两两垂直，
∴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，四边形为菱形，，
∴，.
∵为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴
，，.
设平面的法向量为，
则，取，得.
设直线与平面所成角为θ，
则.
22. 解：（1）由题可知：，所以，，
故椭圆的标准方程为；
（2）①由题意知，由对称性知，必在轴上，，
设直线方程：，
设，，，
联立方程得，得，
所以，，
所以，又，
所以直线方程为：，
令，则
，
所以直线过定点.
②由①中，所以，又易知，
所以，
令，，则，
又因为在单调递减，
所以，.
