2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）课件(31张ppt)

(共31张PPT)
其中定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
定义告诉我们：
(1)判断抛物线的一种方法
(2)抛物线上任一点的性质：|MF|=d
抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2=2px
(p＞0)
y2=-2px
(p＞0)
x2=2py
(p＞0)
x2=-2py
(p＞0)
四种抛物线及其标准方程
x轴的
正半轴上
x轴的
负半轴上
y轴的
正半轴上
y轴的
负半轴上
F佳
抛物线的简单几何性质
（第一课时）
由抛物线 y2 =2px(p>0)
有
所以抛物线的范围为
1.范围
x
l
F
y
O
关于x轴对称
即点(x,-y)也在抛物线上,
故抛物线y2 =2px(p>0)关于x轴对称.
则(-y)2 = 2px ,
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
2.对称性
x
l
F
(x,y)
y
O
(x,-y)
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0.
即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0).
3.顶点
x
l
F
y
O
由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1.
4.离心率
x
┑
l
F
M
d
H
y
O
抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示.
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
5.焦半径
x
l
F
M
y
O
(x0,y0)
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
6.焦点弦
x
l
F
A
y
O
B
(x1,y1)
(x2,y2)
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.
|AB|=2p
2p越大，抛物线张口越大
7.通径
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
x
l
F
y
O
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
方程
图形
范围
对称性 顶点 焦半径
焦点弦
通径 y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
抛物线的简单几何性质
全优P118 右边 预习自测 1
1.思维辨析（对的画"√"，错的画"×"）
（1）抛物线焦点到准线的距离等于 p.（ ）
（2）抛物线的范围是x∈R，y∈R.（ ）
（3）抛物线是轴对称图形。（ ）
全优P118 右边 预习自测 4
4.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为______________________.
例3 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点，求它的标准方程.
解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
所以可设它的标准方程为
因为点抛物线上，所以
解得
因此，所求抛物线的标准方程为
解：当焦点在x轴的正半轴时，可设方程为
所以p=2，因此所求抛物线标准方程为：
当焦点在y轴的负半轴时可设方程为：
所以,因此所求抛物线标准方程为：
变式：已知抛物线关于坐标轴对称,顶点在坐标原点,并且过点,求它的标准方程.
因为点在抛物线上，所以
因为点在抛物线上，所以
分类讨论
课本P136 练习 1
1.求适合下列条件的抛物线的标准方程∶
（1）关于x轴对称，并且经过点M（5，-4）;
（2）关于y轴对称，准线经过点E（5，-5）;
（3）准线在 y 轴的右侧，顶点到准线的距离是4;
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.
作业：课本P138 习题3.3 4
（不用画图）
全优P118 右边 预习自测 2
2.抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
全优P118 右边 预习自测 3
3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点 M（2，y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=( )
A.2 B2 C.4 D.2
例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
l
F
A
A′
x
y
B
B′
┑
┑
解惑提高
弦长公式
直线l:y=kx+b与抛物线C相交于A(,), B(,)两点，则
解：方法二：设A(,), B(,),
直线l的为抛物线方程，得
x2-6x+1=0
∴ +=6, =1
(x1, y1)
(x2, y2)
解惑提高
焦点弦长公式
经过抛物线焦点的直线与抛物线交于A, B两点，则称弦AB为抛物线的焦点弦.
设过抛物线 y2 = 2px (p＞0) 焦点的直线交抛物线于A，B两点，设 A (x1, y1) ，B (x2, y2) ，则
焦点弦|AB|＝ (x1＋x2) ＋ p
解：由题意可知，，
∴焦点的坐标为，准线方程为 .
设,两点到准线的距离分别为.
由抛物线的定义，可知
，
于是
∵直线的斜率为1，且过焦点，
∴直线的方程为
将方程带入，得，
化简，得
由韦达定理，得 =6
∴ =+2=8
所以，线段AB的长是8.
课本P136 练习 3
3.过点 M（2，0）作斜率为1的直线l，交抛物线y =4x于A，B两点，求|AB|
课本P136 练习 4
4.垂直于x 轴的直线交抛物线y =4x于A，B两点，且|AB|=，求直线 AB 的方程.
本小节结束
F佳