八年级数学等边三角形
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课件31张PPT。12.3.2等边三角形等腰三角形等边三角形一般
三角形定义：三条边 都相等的三角形叫做等边三角形。特殊的等腰三角形一般三角形等腰
三角形等边三角形底≠腰底＝腰有二条边相等｛(正三角形)
ABC已知：AB=AC=BC
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60。∵AB=AC
∴ ∠ B=∠C
∵AC=BC
∴ ∠A= ∠ B
∴ ∠A= ∠ B=∠C
∵∠A+∠ B+∠C=180 。
∴∠A= ∠ B=∠C= 60。
证明：等边三角形的内角都相等吗?探究性质1：等边三角形的三个内角都相等
并且每一个内角都等于60。∵AB=AC=BC
∴∠A= ∠ B=∠C= 60。数学符号语言：2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。探索星空：探究性质二3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?探究性质三 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。等边三角形的性质:2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的
平分线都三线合一.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
1 .三条边相等一个三角形满足什么条件就是等边三角形?思考三个角都相等的三角形是等边三角形。已知： ∠A= ∠ B=∠C
求证： AB=AC=BC
∵ ∠A= ∠ B
∴ AC=BC
∵ ∠ B=∠C
∴ AB=AC
∴AB=AC=BC
证明：数学符号语言：∵ ∠A= ∠ B=∠C
∴ AB=AC=BC判定1：已知： AB=AC ，∠A= 60。
求证： AB=AC=BC已知： AB=AC ，∠B= 60。
求证： AB=AC=BC证明：证明：∵AB=AC ∠B= 60。
∴∠B= ∠C= 60。
∴ ∠A=180。－∠B
－ ∠C= 60。
∴∠A= ∠ B=∠C
∴ AB=AC=BC∵AB=AC ∠A= 60 。
∴∠B＝∠C＝ (180。
－∠A)= 60。
∴∠A= ∠ B=∠C
∴AB=AC=BC
数学符号语言：（1）∵AB=AC ， ∠A= 60。
∴ AB=AC=BC
有一个角是60。的等腰三角形是
等边三角形.判定2：（2） ∵AB=AC ，∠B= 60。
∴AB=AC=BC判定⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形.判定⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边
三角形.例4：ABCDE 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，你能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质和判定的异同吗?讨论有二条边相等1、两个底角相等
2、三线合一
3、对称轴一条1、三个角都相等
2、三线合一
3、对称轴三条有三条边相等1、定义
2、等角对等边1、定义
2、三个角都相等
3、等腰三角形有
一个角是600 △ABC是等边三角形，以下三种分 法分别得到的△ADE是等边三角形吗，为什么？
①在边AB、AC上分别截取AD＝AE. 探究②作∠ADE＝60，D、E分别在边AB、AC上.③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点.
练习如图，等边三角形ＡＢＣ中，
ＡＤ是ＢＣ上的高，
∠ ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝６０ °，
图中有哪些与BD相等的线段？3.如图, △ABC为等边三角形,
∠ 1= ∠ 2= ∠ 3
(1)求∠EDF的度数.
(2)△DEF为等边三角形吗?为什么?123想一想课外活动小组在一次测量活动中,测得∠APB＝60°AP＝BP＝200m,他们便得到了一个结论:池塘最长处不小
于200m.他们的结论对吗?B解：∵AP=BP=200m，
∠APB= 60°
∴AB＝AP＝PB=200m从而△APB是等边三角形，AB的长是200m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的。A60°P已知△ABC是等边三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.
试说明△ DEF是等边三角形.变式这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴
,将此图变成四个等边三角形.提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么
想想里面吧.考考你1.你能把一个等边三角形分成三个、四个、六个全等的三角形吗？若能，画出所要求的图形来，不能，则用“×”在括号内表示。（ ）（ ）（ ）小小探索家:2.新理念中考题
(2004·浙江)正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将图中三个正三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）。小小设计家:3.已知在等边△ABC中，如果P是△ABC所在平面上的一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，那么这样的点P的位置共有几个？试一一画出。
?
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ABC·P1小小探索家: 小结我们这节课学习了哪些知识?
谈谈你的体会.
练一练如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，
求证：BE=DCABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
(1)AE与CD相等吗?说明理由.
证明:∵△ABD和△BCE为等边三角形
∴DB=AB BC=BE
∠ABD=∠EBC= 60°
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠EBC
即∠ABE=∠DBC
在△ABE和△DBC中
AB=DB ABE=DBC BE=BC
∴△ABE≌△DBC
∴AE=CD
∴∠MAB=∠FDMABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
证明:
(2)∠AFD的度数是多少?
∵∠AMB=∠DMF
∴∠AFD＝∠ABD＝ 60°ABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
(3)BM与BN有什么关系?为什么?连接MN,△BMN是什么三角形?∵∠ ABD＝∠EBC＝ 60°
∴∠DBE＝180°-∠ABD－∠EBC＝60°
∴∠ABD＝∠DBE
在△ABM和△DBN中
∠MAB=∠FDM AB=AB ∠ABD=∠DBE
∴ △ABM≌△DBN
∴ BM=BN
∵ ∠DBE= 60°
∴ △BMN是等边三角形证明:ABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
(4)MN与BC平行吗?为什么?
(5)若△ABD绕B点旋转,在旋转过程中AE与CD相等吗?画出图形证明.
证明:
∵ ∠MNB ＝60°
又∵∠EBC＝ 60°
∴ ∠MNB＝∠EBC
∴ MN∥BC
三角形定义：三条边 都相等的三角形叫做等边三角形。特殊的等腰三角形一般三角形等腰
三角形等边三角形底≠腰底＝腰有二条边相等｛(正三角形)
ABC已知：AB=AC=BC
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60。∵AB=AC
∴ ∠ B=∠C
∵AC=BC
∴ ∠A= ∠ B
∴ ∠A= ∠ B=∠C
∵∠A+∠ B+∠C=180 。
∴∠A= ∠ B=∠C= 60。
证明：等边三角形的内角都相等吗?探究性质1：等边三角形的三个内角都相等
并且每一个内角都等于60。∵AB=AC=BC
∴∠A= ∠ B=∠C= 60。数学符号语言：2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。探索星空：探究性质二3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?探究性质三 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。等边三角形的性质:2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的
平分线都三线合一.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
1 .三条边相等一个三角形满足什么条件就是等边三角形?思考三个角都相等的三角形是等边三角形。已知： ∠A= ∠ B=∠C
求证： AB=AC=BC
∵ ∠A= ∠ B
∴ AC=BC
∵ ∠ B=∠C
∴ AB=AC
∴AB=AC=BC
证明：数学符号语言：∵ ∠A= ∠ B=∠C
∴ AB=AC=BC判定1：已知： AB=AC ，∠A= 60。
求证： AB=AC=BC已知： AB=AC ，∠B= 60。
求证： AB=AC=BC证明：证明：∵AB=AC ∠B= 60。
∴∠B= ∠C= 60。
∴ ∠A=180。－∠B
－ ∠C= 60。
∴∠A= ∠ B=∠C
∴ AB=AC=BC∵AB=AC ∠A= 60 。
∴∠B＝∠C＝ (180。
－∠A)= 60。
∴∠A= ∠ B=∠C
∴AB=AC=BC
数学符号语言：（1）∵AB=AC ， ∠A= 60。
∴ AB=AC=BC
有一个角是60。的等腰三角形是
等边三角形.判定2：（2） ∵AB=AC ，∠B= 60。
∴AB=AC=BC判定⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形.判定⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边
三角形.例4：ABCDE 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，你能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质和判定的异同吗?讨论有二条边相等1、两个底角相等
2、三线合一
3、对称轴一条1、三个角都相等
2、三线合一
3、对称轴三条有三条边相等1、定义
2、等角对等边1、定义
2、三个角都相等
3、等腰三角形有
一个角是600 △ABC是等边三角形，以下三种分 法分别得到的△ADE是等边三角形吗，为什么？
①在边AB、AC上分别截取AD＝AE. 探究②作∠ADE＝60，D、E分别在边AB、AC上.③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点.
练习如图，等边三角形ＡＢＣ中，
ＡＤ是ＢＣ上的高，
∠ ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝６０ °，
图中有哪些与BD相等的线段？3.如图, △ABC为等边三角形,
∠ 1= ∠ 2= ∠ 3
(1)求∠EDF的度数.
(2)△DEF为等边三角形吗?为什么?123想一想课外活动小组在一次测量活动中,测得∠APB＝60°AP＝BP＝200m,他们便得到了一个结论:池塘最长处不小
于200m.他们的结论对吗?B解：∵AP=BP=200m，
∠APB= 60°
∴AB＝AP＝PB=200m从而△APB是等边三角形，AB的长是200m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的。A60°P已知△ABC是等边三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.
试说明△ DEF是等边三角形.变式这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴
,将此图变成四个等边三角形.提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么
想想里面吧.考考你1.你能把一个等边三角形分成三个、四个、六个全等的三角形吗？若能，画出所要求的图形来，不能，则用“×”在括号内表示。（ ）（ ）（ ）小小探索家:2.新理念中考题
(2004·浙江)正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将图中三个正三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）。小小设计家:3.已知在等边△ABC中，如果P是△ABC所在平面上的一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，那么这样的点P的位置共有几个？试一一画出。
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ABC·P1小小探索家: 小结我们这节课学习了哪些知识?
谈谈你的体会.
练一练如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，
求证：BE=DCABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
(1)AE与CD相等吗?说明理由.
证明:∵△ABD和△BCE为等边三角形
∴DB=AB BC=BE
∠ABD=∠EBC= 60°
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠EBC
即∠ABE=∠DBC
在△ABE和△DBC中
AB=DB ABE=DBC BE=BC
∴△ABE≌△DBC
∴AE=CD
∴∠MAB=∠FDMABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
证明:
(2)∠AFD的度数是多少?
∵∠AMB=∠DMF
∴∠AFD＝∠ABD＝ 60°ABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
(3)BM与BN有什么关系?为什么?连接MN,△BMN是什么三角形?∵∠ ABD＝∠EBC＝ 60°
∴∠DBE＝180°-∠ABD－∠EBC＝60°
∴∠ABD＝∠DBE
在△ABM和△DBN中
∠MAB=∠FDM AB=AB ∠ABD=∠DBE
∴ △ABM≌△DBN
∴ BM=BN
∵ ∠DBE= 60°
∴ △BMN是等边三角形证明:ABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
已知: A、B、C三点在一条直线上,分别以AB 、 BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE 、CD交于F,交BD于M,交BE于N.
(4)MN与BC平行吗?为什么?
(5)若△ABD绕B点旋转,在旋转过程中AE与CD相等吗?画出图形证明.
证明:
∵ ∠MNB ＝60°
又∵∠EBC＝ 60°
∴ ∠MNB＝∠EBC
∴ MN∥BC