2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册1.4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件（31张ppt）

(共31张PPT)
§ 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
能借助单位圆了解正弦函数、余弦函数的有关性质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、符号)．
数学素养
1.通过性质的建立过程，培养逻辑推理素养．
2.通过性质的应用，提升数学运算素养.
环节一
引入新课
新课引入
零角
角
→ 正的角度数
→ 0°
比如: 30°, 600°
比如:-30°,-600°
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
1°是如何定义的？
六十进制
角度制
前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示
上一节利用单位圆得到了正余弦函数的定义，今天我们利用单位圆学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质.
环节二
定义域
定义域
根据正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α的定义,我们不难从单位圆看出它们定义域是R;
定义域
例1.求下列函数定义域
=2sin2x 2.y=cosx+1
分析：这两个函数的主体是正余弦函数，整个函数的定义域由正弦函数决定。
解：以上两个函数的定义域都是R
定义域
α
例2.求下列函数定义域
= 4.y=
分析：这两个函数的虽然含有正余弦函数，但受分式和根式的影响，正余弦函数的函数值有限制，从而导致定义域不再是R，这要结合单位圆来解。
解：sin2x≠0
把2x当作一个整体角
这两个位置正弦值为零
=k (k∈z)
2x≠k (k∈z)
x≠ (k∈z)
定义域是
定义域
α
例2.求下列函数定义域
= 4.y=
分析：这两个函数的虽然含有正余弦函数，但受分式和根式的影响，正余弦函数的函数值有限制，从而导致定义域不再是R，这要结合单位圆来解。
单位圆上找到余弦值为二分之一的位置
取个特殊角，比如0试试
cosx≥
2k +
2k -
余弦值是1，满足不等式
x∈
环节三
值域
值域
当___________________时，正弦函数y＝sinx取得最大值____；当___________________时，正弦函数y＝sinx取得最小值______.
当______________时，余弦函数y＝cosx取得最大值____；当___________________时，余弦函数y＝cosx取得最小值______.
.
0
正弦
余弦
1
0
-1
1
-1
1
0
-1
0
1
-1
值域
【例3】求函数y=cosα在区间[ ]上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α 的值
【解】画出图，可知：
当 时，函数y=cosα取得最大值，最大值为cos
当 时，函数y=cosα取得最小值，最小值为cos .
值域
例4.求下列函数的最小正周期及值域.
(1)y=-cos x+2;(2)y=asin x+b(a<0).
【解析】(1)当y=cos x取得最大值时,y=-cos x+2取得最小值,而当y=cos x取得最小值时,y=-cos x+2取得最大值,所以y=-cos x+2的值域是[1,3]
(2)因为-1≤sin x≤1,且a<0,所以当sin x=-1时,ymax=-a+b;当sin x=1时,ymin=a+b,所以y=asin x+b的值域是[a+b,-a+b]
环节四
周期性
周期性
根据正弦函数、余弦函数的定义(如图)，有
终边相同的角的正弦函数值相等,即对任意k∈Z,sin(a+2kx)=sin ， ∈R:终边相同的角的余弦函数值相等，即对任意k∈Z. cos(a+2k )=cos a，a∈R.上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数v=sinα和余弦函数u=cos a均是周期函数.对任何k∈z，k≠0,2k 均是它们的周期，最小正周期为2π.
周期性
周期性
例6.函数y=2-sin x的最小正周期为______.
【解析】因为2-sin(2π+x)=2-sin x,所以y=2-sin x的最小正周期为2π.
答案:2π
环节五
单调性
单调性
根据正弦函数的定义，在单位圆中，如图，当角α由-增加到时，sina的值由一1增加到1；如图，当角α由增加到时，sina的值由1减小到-1，因此正弦函数在区间 (k∈Z)上是
增加的,在区间 (k∈Z)上是减少的.
单调性
同理，可探知余弦函数的单调性
余弦函数u=cos α在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
单调性
例7.余弦函数u=cos α,α∈ 的单调增区间
为______,单调减区间为________.
【解析】在单位圆中,当x由-π到 时,u=cos α由-1增大到1,再由1减小
到 .所以它的单调增区间为[-π,0],单调减区间为
单调性
例8.函数y=sin x,x∈ 的增区间为______,减区间为______.
【解析】借助单位圆可知,y=sin x,x∈ ,在区间 上是减少的,
在 上是增加的.
环节六
反思与学习
检测
　
1.(1)函数y= 的定义域为______.
(2)函数y=ln sin x的定义域为______.
【解析】(1)由2+cos x≠0知cos x≠-2,
又由cos x∈[-1,1],故定义域为R.
答案:R
检测
(2)由题意知sin x>0.又y=sin x在[0,2π]内sin x>0满足0答案:(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)
检测
2.求下列函数的值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值.
(1)y=-sin x,x∈ ;(2)y=cos x,x∈[-π,π].
检测
【解析】(1)y=-sin x,x∈,
当x= 时ymin=-1;当x=π时,ymax=0,故函数y=-sin x,x∈ 的值域为[-1,0].
(2)y=cos x,x∈[-π,π] 当x=0时,ymax=1;当x=-π或π时,ymin=-1,故函数y=cos x,x∈[-π,π]的值域为[-1,1].
检测
3.函数y=sin x,x∈ 的增区间为______,减区间为______.
【解析】借助单位圆可知,y=sin x,x∈ ,在区间 上是减少的,
在 上是增加的.
答案: 　
课堂小结
1．核心要点
1.弧度制的概念
2.角度制与弧度制的互化
3.弧长公式、扇形面积公式
特殊角的
弧度数
在弧度制中，弧度单位rad 可以省略不写。
角的集合与实数集合建立一一对应关系，即.
课堂小结
2．数学素养
1.通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养．
2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养.