2021-2022学年七年级数学上册4.3.3余角和补角 课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
人教版 七年级数学上册
第4章 几何图形初步
4.3.3 余角和补角
学习目标
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
对于三角板，我们已经很熟悉了，我们来回顾一下三角板各个角的度数
45°
45°
90°
60°
30°
90°
复习回顾
在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是90o(30o+60o=90o，45o+45o=90o). 一般地，如下图，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 )，即其中一个角是另一个角的余角.
一、余角和补角的概念
1
2
如图：∠1与∠2互为余角，也可以说∠1是∠2的余角，
或者∠ 2 是∠ 1的余角.
余角是成对出现的，所以不能说某个角是余角。
合作探究
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
当堂巩固
类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
补角是成对出现的，所以不能说某个角是补角.
如图：∠3与∠4互为补角，也可以说∠3是∠4的补角，或者∠ 4是∠ 3的补角。
4
3
合作探究
1. 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
当堂巩固
2. 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
10°
30°
60°
80°
100°
120°
150°
170°
⑧
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
解：互余的角有：①与④，②与③
互补的角有：①与⑧，②与⑦，③与⑥，④与⑤.
当堂巩固
3. 填表：
　 n°
0 < n < 90
50°
45°
150°
45°
135°
130°
40°
60°
30o
90°-n°
180o-n°
∠1的度数
∠1的余角
∠1的补角
当堂巩固
4. 已知3组数，①对A组的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接. ②B组中有哪些角的余角在C组中，分别找出并用线连接.
55°
145°
100°
55°
80°
170°
35°
15°
125°
10°
10°
115°
35°
105°
75°
A
C
B
当堂巩固
例1：若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °
典例分析
1. 一个角是70°39′，求它的余角和补角。
3. 一个角是钝角，它的一半是什么角？它的余角呢？补角呢？
2. 一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？
解：余角：90°-70°39′=19°21′
补角：180°-70°39′=109°21′
解： 180°-x=3x ∴x=45°
解：它的一半是锐角；因为钝角大于90°，所以它没有余角；补角是锐角.
当堂巩固
4. 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°.
根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.
当堂巩固
例2：如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
O
D
A
B
C
N
M
解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补，
则∠AOC=180°-x．
因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
典例分析
O
D
A
B
C
N
M
所以
解得x=50°，则180°-x=130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
所以∠AOM= ，∠AOM= .
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°(0＜x＜90)
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
(90－x)°
(180－x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.
90°
思考
∠1 与∠2，∠3都互为补角，
∠2 与∠3 的大小有什么关系？
二、余角和补角的性质
思考：
1
2
同角 (等角) 的补角相等.
结论：
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
同角 (等角) 的余角相等.
类似地，可以得到：
=
合作探究
例3：如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.
O
A
B
C
D
E
典例分析
O
A
B
C
D
E
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE
= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
变式训练
如图，已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC 和 ∠AOD
O
A
B
C
D
当堂巩固
东
西
北
南
O
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：
射线 OA
A
B
C
D
45°
E
G
F
H
45°
八大方位：
45°
45°
射线 OB
射线 OC
射线 OD
射线 OE
射线 OF
射线 OH
射线 OG
三、方位角
合作探究
45°
如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向
为 .
(2) 射线 OB 表示的方向
为 .
(3) 射线 OC 表示的方向
为 .
(4) 射线 OD 表示的方向
为 .
北
东
西
南
C
A
B
D
北偏东 40°
北偏西 65°
南偏西 45°(西南)
南偏东 20°
40°
65°
70°
O
20°
合作探究
例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，
货轮C和海岛D. 仿照表示灯塔方位
的方法画出表示客轮B，货轮C和
海岛D方向的射线.
东
南
西
北
60°
● B
40°
10°
45°
C ●
● A
● D
O
●
有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”“南偏东25°” .表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到.
典例分析
画法：1. 以点O为顶点，表示正北方的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间. 射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
2. 同理画出射线OC、射线OD.
射线OC、射线OD即为所求.
东
南
西
北
60°
● B
40°
10°
45°
C ●
● A
● D
O
●
典例分析
1. 一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
2. 下列说法正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
D
随堂练习
3. 已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
150°
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
62°
28°
随堂练习
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°
答案：∠B=∠2
∠A=∠1
( 同角的余角相等 )
( 同角的余角相等 )
A
C
D
1
2
B
随堂练习
60°
30°
6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物， 同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；
A
B
北
北
C
随堂练习
60°
北
A. 南偏东30°
B. 南偏西30°
C. 南偏东60°
D. 南偏西60°
(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A在点 C 的______方向上.
60°
30°
A
B
北
北
C
D
随堂练习
1. （2021 上海11/25）70°的余角是 ．
【分析】根据余角的定义即可求解．
【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°-70°=20°，
故答案为20°．
【点评】本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键．
感受中考
2.（3分）（2020 陕西2/25）若∠A=23°，则∠A余角的大小是（ ）
A．57° B．67° C．77° D．157°
【分析】根据∠A的余角是90°-∠A，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A=23°，
∴∠A的余角是90°-23°=67°．
故选：B．
【点评】本题考查了互余的应用，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．
感受中考
3.（3分）（2020 通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
感受中考
【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．
【解答】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B．∠α =∠β，故本选项错误；
C．∠α =∠β，故本选项错误；
D．∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
感受中考
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
课堂小结
方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向
定义
书写
通常要先写北或南，再写偏东或偏西
课堂小结
P139：习题4.3：第8、11、12、13题.
布置作业