湘教版初中数学九年级下册1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
2．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
3．（2021九上·香洲期中）顶点(﹣5，﹣1)，且开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·海珠期中）已知二次函数的图象的顶点是 ，且经过点 ，则二次函数的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2021九上·五莲月考）顶点为 ，开口向下，形状与函数 的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·青县月考）如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看做一个抛物线，若肚子最大的宽度 ， ，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0.其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
8．（2021·广州）抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，则当 时，y的值为（ ）
A．-5 B．-3 C．-1 D．5
9．（2021·莲湖模拟）若抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若 的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣1 3 5 3 …
下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0
B．3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0
二、填空题
11．（2021九上·芝罘期中）二次函数 的图象经过原点，则 ．
12．（2021九上·滨城期中）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在 上．请写出经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式 ．
13．（2021九上·赣州期中）若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为(0，1)，则抛物线y=ax2+bx+c的表达式是 .
14．（2021九上·大兴期中）请写出一个开口向下，并且与 轴交于点 的抛物线的解析式 ．
15．（2021九上·阆中期中）二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则该二次函数的解析式为 .
16．（2021九上·南开期中）已知抛物线与x轴只有一个交点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，请写出一个满足条件的抛物线的解析式 ．
三、解答题
17．（2021九上·朝阳期中）已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝ x+1上，求这个二次函数的表达式．
18．（2021九上·防城期中）如图，请根据图中信息，求出这个二次函数解析式：
19．（2021九上·大兴期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
四、综合题
20．（2020九上·舒城期末）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a（a为常数且不等于0）与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧．
（1）当抛物线经过点（3，8），求a的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式．
21．（2020九上·罗庄期末）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
22．（2020九上·通州期末）二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … … …
y … … …
（1）该二次函数的对称轴为 ；
（2）求出二次函数的表达式．
23．（2020九上·抚州期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）观察表可求得m的值为 ；
（2）请求出这个二次函数的表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为(﹣5，﹣1)，
∴抛物线解析式为 ；
∵开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同，
∴ ，
抛物线解析式为： ；
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线解析式为 ，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
4．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，-5）代入，得
a（0-1）2﹣2=-5，
解得a=-3．
故该抛物线解析式是 ．
故答案为：C
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
5．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵顶点为（ 6，0），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x＋6）2，
∵开口向下，形状与函数y＝ x2的图象相同，
∴a＝ ，
∴抛物线解析式为y＝ （x＋6）2，
故答案为：D．
【分析】根据待定系数法（顶点式）求出抛物线的解析式，再判断即可.
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵AB=10cm，OD=15cm，
∴点B的坐标为（5，15），
设抛物线的表达式为y=ax2，
代入（5，15），得：15=a 52，
解得：a= ，
∴抛物线的表达式为y= x2．
故答案为：A．
【分析】先求出点B的坐标为（5，15），再求出a= ，最后求函数解析式即可。
7．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点 和点 ，
点 与点 是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线 ，
设二次函数解析式为 ，
代入点 ， 得，
，
解得 ，
二次函数的解析式为： ，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程 为 ，
即为 ，
， ，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故答案为：B.
【分析】由表格可以得到二次函数的对称轴为直线x=-1，设二次函数解析式为y=a(x+1)2+h，将点（-2，3）、（2，0）代入可得a、h的值，求出二次函数的解析式，得到c的值，据此判断①；求出b2-4ac的值，据此判断②；方程ax2+bx=0为x2+2x=0，求出x的值，据此判断③；求出7a+c的值，据此判断④.
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，
∴ ，
解方程组得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ．
故选择A．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为 ，再将x=2代入计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
令 ，解得 ，
则 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
当 时， ，
故顶点的坐标为（2，-18），
故答案为：D.
【分析】由抛物线的对称轴为直线x=2可得b=8，零y=0，表示出x，然后表示出AB，根据AB=8可得c的值，据此可得抛物线的解析式，然后令x=2，求出y的值，进而得到顶点坐标.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据x与y的部分对应值可知：
当x＝﹣1时，y＝﹣1，即a﹣b+c＝﹣1；
当x＝0时，y＝3，即c＝3；
当x＝1时，y＝5，即a+b+c＝5；
∴ ，
解得： ，
∴y＝﹣x2+3x+3．
A、ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，故本选项不符合题意；
B、方程ax2+（b﹣1）x+c＝0可化为方程ax2+bx+c＝x，
由表格数据可知，x＝3时，y＝3，则3是方程ax2+bx+c＝x的一个根，从而也是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故本选项不符合题意；
C、∵当x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝ ，
又∵二次项系数a＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当1＜x＜ 时，y的值随x值的增大而增大，故C符合题意；
D、不等式ax2+（b﹣1）x+c＞0可化为：ax2+bx+c＞x，即y＞x，
∵由表格可知，（﹣1，﹣1），（3，3）均在直线y＝x上，又抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞x，故D不符合题意．
综上，只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据x与y的部分对应值可列出关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，结合抛物线的对称轴、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等逐个选项分析即可。
11．【答案】3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据二次函数图象过原点，把 代入解析式，
得 ，整理得 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
12．【答案】y＝-（x 1）2＋3或y＝ （x 1）2-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）如图，连接CA，CB，作CH⊥x轴，H为垂足，
∵C（1，1），
∴CH＝OH＝1，
∴在Rt△CHB中，HB＝ ＝ ，
∵CH⊥AB，CA＝CB，
∴AH＝BH；
∴A（1 ，0），点B（1＋ ，0），
由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）或（1，-1）
∴设抛物线解析式为y＝a（x 1）2＋3或y＝a（x 1）2-1
由已知得抛物线经过点B（1＋ ，0），
∴0＝a（1＋ 1）2＋3或0＝a（1＋ 1）2-1
解得a＝ 1或
∴抛物线的解析式为：y＝-（x 1）2＋3或y＝ （x 1）2-1．
故答案是：y＝-（x 1）2＋3或y＝ （x 1）2-1．
【分析】连接CA，CB，作CH⊥x轴，H为垂足，由点C的坐标得出CH＝OH＝1，在Rt△CHB中，利用勾股定理得出HB的值，再得出点A、B的坐标，由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）或（1，-1），设抛物线解析式为y＝a（x 1）2＋3或y＝a（x 1）2-1，由已知得抛物线经过点B（1＋ ，0），得出a的值，由此得出抛物线的解析式。
13．【答案】y=4x -8x+1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），
∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1=a-3，解得a=4，
∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1．
故答案为y=4x2-8x+1．
【分析】根据y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，得出抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），再根据抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，得出抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），设此抛物线为y=a（x-1）2-3，得出a的值，由此得出抛物线。
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线解析式为 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
15．【答案】y＝－4x2－16x－12
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x= =﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣2，4)，
又∵抛物线过点(﹣3，0)，
∴ ，
解得：a=﹣4，c=﹣12，
则抛物线的解析式为y＝－4x2－16x－12.
故答案为：y＝－4x2－16x－12.
【分析】根据二次函数解析式可得对称轴为x=-2，结合最大值可得顶点坐标为（-2，4），然后将（-2，4）、（-3，0）代入求解可得a、c，据此可得抛物线的解析式.
16．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线解析式 ，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴ ，
设 ，则 ，
抛物线与x轴只有一个交点可以令c得1，
则抛物线解析式为 ，
故答案为： （答案不唯一）
【分析】先求出 ，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
17．【答案】解：∵二次函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，
∴y＝ ×2+1＝2，
∴y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2），
∴﹣ ＝2，
∴﹣ ＝2，
解得：m＝﹣1或m＝2，
∵最高点在直线y＝ x+1上，
∴a＝m2﹣2＜0，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x+n，
又∵顶点为（2，2），
∴2＝﹣4+8+n，
∴n＝﹣2，
则二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据函数的对称轴是x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，可求得y＝ ×2+1＝2的图像顶点坐标，从而求得m的值，利用最高点在直线上可得a的范围，从而求得二次函数的表达式。
18．【答案】解：由图可知，图象过(-1， 0)、(2， 0)、(0， -2)三点，
设这个二次函数解析式为y=ax2 +bx+c(a≠0)，把以上三点代入解析式得：
解得：
∴这个二次函数解析式为y=x2-x+2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】观察图象得出抛物线经过（-1， 0）、（2， 0）、（0， 2）三点， 设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c代入抛物线的解析式得出关于a，b，c的方程组，解方程组得出a，b，c的值，即可得出答案.
19．【答案】解： 二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），
解得
这个二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可。
20．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），∴8＝a（9﹣3﹣2），∴a＝2；
（2）解：∵方程a（x2﹣x﹣2）＝0，a≠0，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（2，0），B（﹣1，0）；
（3）解：∵抛物线 ，∴顶点M的坐标为（ ）．
∵A（2，0），B（﹣1，0），∴AB＝3，由题意得： ，∴a＝±4，∴抛物线为y＝4x2﹣4x﹣8或y＝﹣4x2+4x+8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），则8＝a（9﹣3﹣2），即可求解；
（2）令a（x2﹣x﹣2）＝0，即可求解；
（3）AB＝3，顶点M的坐标为（ ），则 ，即可求解。
21．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2，
将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2=1.4，
解得：a=﹣0.05，
则抛物线的解析式为y=﹣0.05（x﹣6）2+3.2；
（2）解：当y=0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2=0，
解得：x1=﹣2（舍），x2=14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2， 将点A（0，1.4）代入求出a的值即可得出答案；
（2）求出y=0时x的值即可得出答案。
22．【答案】（1）直线x＝1
（2）解：方法一：∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
∴设抛物线解析式为： ；
∵把 代入得，
解得， ；
∴抛物线的解析式为： ，即 ；
方法二：据题意，该函数过点 ， ，代入
得 ；
解得： ；
∴抛物线解析式为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
这两个点关于抛物线的对称轴对称，
所以，抛物线的对称轴为直线x＝1；
故答案为：直线x＝1
【分析】（1）根据表格，找y值相同时x的值，再求对称轴即可；（2）利用待定系数法求解即可。
23．【答案】（1）3
（2）解：将表格前三组数据代入解析式得：
，解得： ，
∴二次函数的表达式为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，
∴ 时的函数值与 时的函数值相等，即： ，
故答案为：3；
【分析】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，再利用对称性求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
2．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
3．（2021九上·香洲期中）顶点(﹣5，﹣1)，且开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为(﹣5，﹣1)，
∴抛物线解析式为 ；
∵开口方向、形状与函数y＝ x2的图象相同，
∴ ，
抛物线解析式为： ；
故答案为：D．
【分析】先求出抛物线解析式为 ，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
4．（2021九上·海珠期中）已知二次函数的图象的顶点是 ，且经过点 ，则二次函数的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．
把点（0，-5）代入，得
a（0-1）2﹣2=-5，
解得a=-3．
故该抛物线解析式是 ．
故答案为：C
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
5．（2021九上·五莲月考）顶点为 ，开口向下，形状与函数 的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵顶点为（ 6，0），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x＋6）2，
∵开口向下，形状与函数y＝ x2的图象相同，
∴a＝ ，
∴抛物线解析式为y＝ （x＋6）2，
故答案为：D．
【分析】根据待定系数法（顶点式）求出抛物线的解析式，再判断即可.
6．（2021九上·青县月考）如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看做一个抛物线，若肚子最大的宽度 ， ，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵AB=10cm，OD=15cm，
∴点B的坐标为（5，15），
设抛物线的表达式为y=ax2，
代入（5，15），得：15=a 52，
解得：a= ，
∴抛物线的表达式为y= x2．
故答案为：A．
【分析】先求出点B的坐标为（5，15），再求出a= ，最后求函数解析式即可。
7．（2021·巴中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0.其中正确的有（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点 和点 ，
点 与点 是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线 ，
设二次函数解析式为 ，
代入点 ， 得，
，
解得 ，
二次函数的解析式为： ，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程 为 ，
即为 ，
， ，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故答案为：B.
【分析】由表格可以得到二次函数的对称轴为直线x=-1，设二次函数解析式为y=a(x+1)2+h，将点（-2，3）、（2，0）代入可得a、h的值，求出二次函数的解析式，得到c的值，据此判断①；求出b2-4ac的值，据此判断②；方程ax2+bx=0为x2+2x=0，求出x的值，据此判断③；求出7a+c的值，据此判断④.
8．（2021·广州）抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，则当 时，y的值为（ ）
A．-5 B．-3 C．-1 D．5
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，
∴ ，
解方程组得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ．
故选择A．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为 ，再将x=2代入计算求解即可。
9．（2021·莲湖模拟）若抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若 的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
令 ，解得 ，
则 ，
解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
当 时， ，
故顶点的坐标为（2，-18），
故答案为：D.
【分析】由抛物线的对称轴为直线x=2可得b=8，零y=0，表示出x，然后表示出AB，根据AB=8可得c的值，据此可得抛物线的解析式，然后令x=2，求出y的值，进而得到顶点坐标.
10．（2020·深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣1 3 5 3 …
下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0
B．3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据x与y的部分对应值可知：
当x＝﹣1时，y＝﹣1，即a﹣b+c＝﹣1；
当x＝0时，y＝3，即c＝3；
当x＝1时，y＝5，即a+b+c＝5；
∴ ，
解得： ，
∴y＝﹣x2+3x+3．
A、ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，故本选项不符合题意；
B、方程ax2+（b﹣1）x+c＝0可化为方程ax2+bx+c＝x，
由表格数据可知，x＝3时，y＝3，则3是方程ax2+bx+c＝x的一个根，从而也是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故本选项不符合题意；
C、∵当x＝0时，y＝3；x＝3时，y＝3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝ ，
又∵二次项系数a＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当1＜x＜ 时，y的值随x值的增大而增大，故C符合题意；
D、不等式ax2+（b﹣1）x+c＞0可化为：ax2+bx+c＞x，即y＞x，
∵由表格可知，（﹣1，﹣1），（3，3）均在直线y＝x上，又抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞x，故D不符合题意．
综上，只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据x与y的部分对应值可列出关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，结合抛物线的对称轴、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等逐个选项分析即可。
二、填空题
11．（2021九上·芝罘期中）二次函数 的图象经过原点，则 ．
【答案】3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据二次函数图象过原点，把 代入解析式，
得 ，整理得 ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
12．（2021九上·滨城期中）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在 上．请写出经过A、B且以点P为顶点的抛物线解析式 ．
【答案】y＝-（x 1）2＋3或y＝ （x 1）2-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）如图，连接CA，CB，作CH⊥x轴，H为垂足，
∵C（1，1），
∴CH＝OH＝1，
∴在Rt△CHB中，HB＝ ＝ ，
∵CH⊥AB，CA＝CB，
∴AH＝BH；
∴A（1 ，0），点B（1＋ ，0），
由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）或（1，-1）
∴设抛物线解析式为y＝a（x 1）2＋3或y＝a（x 1）2-1
由已知得抛物线经过点B（1＋ ，0），
∴0＝a（1＋ 1）2＋3或0＝a（1＋ 1）2-1
解得a＝ 1或
∴抛物线的解析式为：y＝-（x 1）2＋3或y＝ （x 1）2-1．
故答案是：y＝-（x 1）2＋3或y＝ （x 1）2-1．
【分析】连接CA，CB，作CH⊥x轴，H为垂足，由点C的坐标得出CH＝OH＝1，在Rt△CHB中，利用勾股定理得出HB的值，再得出点A、B的坐标，由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）或（1，-1），设抛物线解析式为y＝a（x 1）2＋3或y＝a（x 1）2-1，由已知得抛物线经过点B（1＋ ，0），得出a的值，由此得出抛物线的解析式。
13．（2021九上·赣州期中）若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为(0，1)，则抛物线y=ax2+bx+c的表达式是 .
【答案】y=4x -8x+1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），
∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1=a-3，解得a=4，
∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1．
故答案为y=4x2-8x+1．
【分析】根据y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，得出抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），再根据抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，得出抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），设此抛物线为y=a（x-1）2-3，得出a的值，由此得出抛物线。
14．（2021九上·大兴期中）请写出一个开口向下，并且与 轴交于点 的抛物线的解析式 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线解析式为 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
15．（2021九上·阆中期中）二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则该二次函数的解析式为 .
【答案】y＝－4x2－16x－12
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x= =﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣2，4)，
又∵抛物线过点(﹣3，0)，
∴ ，
解得：a=﹣4，c=﹣12，
则抛物线的解析式为y＝－4x2－16x－12.
故答案为：y＝－4x2－16x－12.
【分析】根据二次函数解析式可得对称轴为x=-2，结合最大值可得顶点坐标为（-2，4），然后将（-2，4）、（-3，0）代入求解可得a、c，据此可得抛物线的解析式.
16．（2021九上·南开期中）已知抛物线与x轴只有一个交点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，请写出一个满足条件的抛物线的解析式 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线解析式 ，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴ ，
设 ，则 ，
抛物线与x轴只有一个交点可以令c得1，
则抛物线解析式为 ，
故答案为： （答案不唯一）
【分析】先求出 ，再求出，最后求抛物线的解析式即可。
三、解答题
17．（2021九上·朝阳期中）已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝ x+1上，求这个二次函数的表达式．
【答案】解：∵二次函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，
∴y＝ ×2+1＝2，
∴y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2），
∴﹣ ＝2，
∴﹣ ＝2，
解得：m＝﹣1或m＝2，
∵最高点在直线y＝ x+1上，
∴a＝m2﹣2＜0，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x+n，
又∵顶点为（2，2），
∴2＝﹣4+8+n，
∴n＝﹣2，
则二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据函数的对称轴是x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝ x+1上，可求得y＝ ×2+1＝2的图像顶点坐标，从而求得m的值，利用最高点在直线上可得a的范围，从而求得二次函数的表达式。
18．（2021九上·防城期中）如图，请根据图中信息，求出这个二次函数解析式：
【答案】解：由图可知，图象过(-1， 0)、(2， 0)、(0， -2)三点，
设这个二次函数解析式为y=ax2 +bx+c(a≠0)，把以上三点代入解析式得：
解得：
∴这个二次函数解析式为y=x2-x+2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】观察图象得出抛物线经过（-1， 0）、（2， 0）、（0， 2）三点， 设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c代入抛物线的解析式得出关于a，b，c的方程组，解方程组得出a，b，c的值，即可得出答案.
19．（2021九上·大兴期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
【答案】解： 二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），
解得
这个二次函数的解析式为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可。
四、综合题
20．（2020九上·舒城期末）已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a（a为常数且不等于0）与x轴的交点为A，B两点，且A点在B的右侧．
（1）当抛物线经过点（3，8），求a的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）若抛物线的顶点为M，且点M到x轴的距离等于AB的3倍，求抛物线的解析式．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），∴8＝a（9﹣3﹣2），∴a＝2；
（2）解：∵方程a（x2﹣x﹣2）＝0，a≠0，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（2，0），B（﹣1，0）；
（3）解：∵抛物线 ，∴顶点M的坐标为（ ）．
∵A（2，0），B（﹣1，0），∴AB＝3，由题意得： ，∴a＝±4，∴抛物线为y＝4x2﹣4x﹣8或y＝﹣4x2+4x+8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a经过点（3，8），则8＝a（9﹣3﹣2），即可求解；
（2）令a（x2﹣x﹣2）＝0，即可求解；
（3）AB＝3，顶点M的坐标为（ ），则 ，即可求解。
21．（2020九上·罗庄期末）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．
（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2，
将点A（0，1.4）代入，得：36a+3.2=1.4，
解得：a=﹣0.05，
则抛物线的解析式为y=﹣0.05（x﹣6）2+3.2；
（2）解：当y=0时，﹣0.05（x﹣6）2+3.2=0，
解得：x1=﹣2（舍），x2=14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣6）2+3.2， 将点A（0，1.4）代入求出a的值即可得出答案；
（2）求出y=0时x的值即可得出答案。
22．（2020九上·通州期末）二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … … …
y … … …
（1）该二次函数的对称轴为 ；
（2）求出二次函数的表达式．
【答案】（1）直线x＝1
（2）解：方法一：∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
∴设抛物线解析式为： ；
∵把 代入得，
解得， ；
∴抛物线的解析式为： ，即 ；
方法二：据题意，该函数过点 ， ，代入
得 ；
解得： ；
∴抛物线解析式为： ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
这两个点关于抛物线的对称轴对称，
所以，抛物线的对称轴为直线x＝1；
故答案为：直线x＝1
【分析】（1）根据表格，找y值相同时x的值，再求对称轴即可；（2）利用待定系数法求解即可。
23．（2020九上·抚州期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
（1）观察表可求得m的值为 ；
（2）请求出这个二次函数的表达式．
【答案】（1）3
（2）解：将表格前三组数据代入解析式得：
，解得： ，
∴二次函数的表达式为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，
∴ 时的函数值与 时的函数值相等，即： ，
故答案为：3；
【分析】（1）观察表格知，二次函数的对称轴为直线x=1，再利用对称性求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可。
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