【精品解析】湘教版初中数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习

湘教版初中数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·互助期中）已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ，若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ， ，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ， 是一元二次方程 的两个根，
、 是抛物线与 轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为 ，
，即 ， 不符合题意；
由图象可知， ，
，
解得： ， 符合题意；
抛物线与 轴有两个交点，
， 不符合题意；
由对称轴可知 ，可知 ， 不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标关系，进而判断四个结论得出答案。
2．（2021九上·柯桥期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为2，那么该方程的另一个根为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴y=ax2+bx-6的对称轴为直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为2，
抛物线y=ax2+bx-6与x轴的一个交点坐标为（2，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（0，0）
∴关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的另一个根为0.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可得到y=ax2+bx-6的对称轴为直线x=1，再利用已知可得到抛物线y=ax2+bx-6与x轴的一个交点坐标为（2，0），利用二次函数的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的另一个根.
3．（2021九上·泰安期中）若函数y=ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵函数y=ax2+bx的最小值为-3，
∴y=ax2+bx≠-5，
∴ 一元二次方程ax2+bx+5=0没有实数根.
故答案为：A.
【分析】根据图象得出函数y=ax2+bx的最小值为-3，得出y=ax2+bx≠-5，即可得出一元二次方程ax2+bx+5=0没有实数根.
4．（2021九上·泰安期中）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(-1，0)，给出下列结论：其中正确的个数是（　　）
①当x>0时，y随x的增大而减小；②am2+bm+c0时，-10
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而减小，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的最大值为a+b+c，
∴ am2+bm+c③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2-4ac＞0，故③错误；
④ 由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），
∴当-1⑤∵对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴2a=-b，
∵点B（-1，0）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，
∴a-b+c=0，
∴-b+c=-a＞0，
∴2a+c=-b+c>0，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】①根据二次函数的性质得出当x>1时，y随x的增大而减小，即可判断①错误；
②根据二次函数的性质得出抛物线的最大值为a+b+c，即可判断②正确；
③根据抛物线与x轴的交点个数，得出b2-4ac＞0，即可判断③错误；
④先求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，再结合图形得出当-1⑤根据对称轴得出2a=-b，再根据点B（-1，0）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，得出a-b+c=0，从而得出2a+c=-b+c=-a＞0，即可判断⑤正确.
5．（2021九上·香洲期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
x …… 0 4 ……
y …… 0.32 ﹣2 0.32 ……
A．0或4 B．1或5 C． 或4﹣ D． 或 ﹣2
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由抛物线经过点 得到 ，
所以二次函数解析式为 ，
因为抛物线经过点 、 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，
而抛物线经过点 ， ，
所以抛物线经过点 ， ，
方程 变形为 ，
所以方程 的根理解为函数值为 所对应的自变量的值，
所以方程 的根为 ， ．
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线 ，再求出抛物线经过点 ， ，最后求解即可。
6．（2021九上·黄石期中）如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，以下结论：①2a﹣b＝0；②abc＜0；③当﹣3＜x＜1时，y＞0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，则t的值只有3个.其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上，c＞0
∴abc＞0，
故②不正确；
∵图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∵当﹣3＜x＜1时，函数图象在x轴上方，即y＞0，
故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线变为 ，
∵ 的根为整数，
△= ，
∴方程的根为 ，
∵t为常数，t≥0，a＜0，
∴ ，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，
∴ ，
∴ ，
故④正确.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的对称轴可得b=2a，据此判断①；由开口方向向下、对称轴在y轴左侧、与y轴交点在y轴正半轴上可得a、b、c的正负，据此判断②；根据函数的对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，据此判断③；根据与x轴的交点坐标可得二次函数解析式为y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，根据求根公式表示出方程ax2+2ax-3a-t=0的两根，得到4+=0、1、4，求出t，据此判断④.
7．（2021九上·温州期中）已知二次函数 ，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 -2 …
则方程 的正数解 在下列哪个范围内（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：二次函数关于对称轴对称，
∴当x=2时y=1，当x=3时y=-2
∴ax2+bx+c=0的正整数解x0的取值范围为2＜x0≤3.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的对称性，根据表中数据，可求出ax2+bx+c=0的正整数解x0的取值范围.
8．（2021九上·拱墅期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0
B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为3和﹣2
C．9a+c＞3b
D．当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，
，
，故A选项错误；
图象过点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与 轴另一个交点为 ，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为4和﹣2，故B选项错误；
由图象可知： 时， 的取值范围是 ，故D选项正确；
由图象可知：当 时， ，
，即 ，故C选项错误，
故答案为：D.
【分析】由于抛物线开口向下、对称轴为，抛物线与y轴交点在x轴上方，可得，，，据此判断A；求出抛物线与 轴另一个交点为 ，可得于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为4和﹣2，由图象可知当，函数图象在x轴上方，据此判断B、D；由图象可知：当 时，据此判断C.
9．（2021九上·拱墅期中）三个关于 的方程： ，已知常数 ，若 、 、 分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　)
A． B．
C． D．不能确定 的大小
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）开口大小为：y1＜y2＜y3.
∴其函数图象大致为：
.
∴x1＜x2＜x3.
故答案为：A.
【分析】由于a1＞a2＞a3＞0，可知二次函数y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）开口大小为：y1＜y2＜y3，从而画出函数的大值图象，根据图象即可求解.
10．（2021九上·蒙城期中）若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（　　）
A．x1＝﹣7，x2＝3 B．x1＝﹣6，x2＝4
C．x1＝6，x2＝﹣4 D．x1＝7，x2＝﹣3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，∴
由题意可得：抛物线的对称轴为 ，
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10
∴交点坐标分别为 ，
根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为 ，
故答案为：D
【分析】函数的对称轴为，结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，即可求出函数与x轴的两个交点，即可得到答案。
二、填空题
11．（2021九上·互助期中）已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为　 　．
【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】根据 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），得出 的根，即可得出答案。
12．（2021九上·铁东期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴ ，
∴
根据题意，分 和 两种情况分析；
当 时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴
∴ ，即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意；
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随 增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为 时，即
∴ ，即
∴
∴
∴ 时，y＝ax2+bx+c最大值为
∴
∴
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随 减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴
故答案为： ．
【分析】先将点（﹣1，0），（0，4）代入函数解析式，得出c的值、a与b的关系，杂录对称性得出a与t的关系，再结合t≥3得出a为负数，结合方程与函数的关系，列出关于n与t之间的关系式，最后求得n的取值范围。
13．（2021九上·建华期中）已知点（1，0）是y＝x2+bx﹣2的图象上一点，则方程x2+bx﹣2＝0的根是 　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 点（1，0）是y＝x2+bx﹣2的图象上一点，
二次函数的解析式为：
故答案为：
【分析】先将点（1，0）代入y＝x2+bx﹣2，求出b的值，再利用因式分解法求出一元二次方程的根即可。
14．（2021九上·海淀期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，则关于x的方程 的解为　 　．
【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴关于x的方程 的解为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，再求出关于x的方程 的解为 ， ，即可作答。
15．（2021九上·大兴期中）已知二次函数 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
… …
… …
则代数式 的值是　 　．
【答案】5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，
∴二次函数的对称轴为x=1，
∴当x=-1时，y的值与x=3时相等
∴x＝ 1时，y＝-5，x＝1时，y＝ 1，
∴a b＋c＝-5，a＋b＋c＝ 1，
∴（a＋b＋c）（a b＋c）的值为5，
故答案为5．
【分析】观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，因此二次函数的对称轴为x=1，所以当x=-1时，y的值与x=3时相等等于-5，再利用a b＋c＝-5，a＋b＋c＝ 1，代入计算即可。
16．（2021九上·汉滨期中）若二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的解为　 　.
【答案】x1=3，x2=-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（3，0），
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（-1，0），
则关于x的一元二次方程 的解为x=3或-1，
故答案为：x1=3，x2=-1.
【分析】由图象可得二次函数的对称轴为直线x=1，根据对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答.
三、解答题
17．（2021·河东模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点．
（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E，点A的坐标；
（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；
②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，
∴点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；
（Ⅱ）①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝ ，
∴点E的坐标为（ ， ），
∵顶点E在直线y＝x上，
∴ ＝ ，
∴c＝ ；
②由①知， ，
则点A的坐标为（0， ），
∴当b＝1时，此时点A的位置最高，函数y＝﹣x2＋x＋ ，
即在①的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是 ；
（Ⅲ）∵x1＝﹣1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点（x1，0），
∴﹣1﹣b＋c＝0，
∴c＝1＋b，
∵点E的坐标为（ ， ），点A的坐标为（0，c），
∴E（ ， ），A（0，b＋1），
∴点E关于x轴的对称点E′（ ，﹣ ），
设过点A（0，b＋1）、P（1，0）的直线解析式为y＝kx＋t，
，得 ，
∴直线AP的解析式为y＝（﹣b﹣1）x＋（b＋1）＝﹣（b＋1）x＋（b＋1）＝（b＋1）（﹣x＋1），
∵当直线AP过点E′时，PA＋PE值最小，
∴﹣ ＝（b＋1）（﹣ ＋1），
化简得：b2﹣6b﹣8＝0，
解得：b1＝ ，b2＝
∵b＞0，
∴b＝ ，
即b的值是3＋ ．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上， 再利用待定系数法计算求解即可；
（Ⅱ）①先求出点E的坐标为（ ， ）， 再求出 ＝ ， 最后求解即可；
②先求出点A的坐标，再计算求解即可；
（Ⅲ）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求直线AP的解析式，最后计算求解即可。
18．（2021·四川模拟）已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解.
【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5.
故答案为x1=-2，x2=5.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A，B的坐标可知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；再将方程转化为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，由此可得到x-1=-3或x-1=4，分别求出两个关于x的一元一次方程的解即可.
19．（2020九上·斗门期末）二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．
【答案】解：当 时， ，
解得 ， ，
所以 ， ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】根据题意求出 ， 再解方程求解即可。
20．（2020九上·河西期末）已知抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，该抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线 的解析式为　 　；
（3）过点D作 轴于H，在线段 上有一点P到直线 的距离等于线段 的长，求点P的坐标；
（4）设直线 交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线 于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
【答案】（1）解：设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．
∴ ，顶点
（2）y=x+8
（3）作 于M，设 ，
因为直线 与x轴的夹角为 ，
∴点P到 的距离 ，且 ，又 ．
∴由题意 ，即 ，
∴
整理得： ，
解得 ； （舍）．
∴P的坐标为 ．
（4）由上求得 ， ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为
．
当 时， ．当 时， ，
∴ 或 ．∴ ．
②若抛物线向下移，可设解析式为 ．
由 ，有 ．
∴ ，∴ ．
∴向上最多可本题考查了平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（2）①设CD的解析式为y=kx+b，
把 和 代入，得
解得
∴CD的解析式为：
【分析】（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；（2）①解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
四、综合题
21．（2021九上·大兴期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ ）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若方程 （ ）有两个不相等的实数根 ， ，且 ，结合函数的图象，求 的取值范围．
【答案】（1）
抛物线的对称轴是：直线 ．
（2） ，对称轴为 ，
当抛物线经过点 时，
解得 ．
当抛物线经过点 时，
解得 ．
如图，
结合函数图象可知， 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数顶点坐标公式，进而求出抛物线的解析式；
（2）由对称轴为 ，分当抛物线经过点 时，当抛物线经过点 时，两种情况讨论即可。
22．（2021九上·鹿城期中）如图，
二次函数 的图象与 轴分别交于点 （点 在点 的左侧）， 且经过点 ， 与 轴交于点 .
（1）求 的值.
（2）将线段 平移， 平移后对应点 和 都落在拋物线上， 求点 的坐标.
【答案】（1）解：将点 、 代入二次函数解析式 得
解得 ；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为 ，由题意可得 ，
设平移后点 和 的坐标分别为 ， 则 为一元二次方程 的两个根（ ），且 ，
∴
由根与系数的关系可得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴
∴ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点（4，0）、（-3，7）代入y=x2+bx+c中就可得到b、c的值；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=x2-2x-8，由题意可得OB=4，设平移后点O′和B′的坐标分别为（x1，m）、（x2，m），则x1、x2为一元二次方程x2-2x-8=m的两根且x2-x1=4，则x1+x2=2，x1x2=-8-m，联立求解可得m，进而可得点B的坐标.
23．（2021九上·合肥期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3），与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），根据图象回答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若ax2+bx+c=k有实数根，k的范围应为．
【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1、x2=5；
（2）解：由图象可知，二次函数图象的开口向下，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞5；
（3）解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3），
当y= k≤2时，ax2+bx+c=k有实数根，
故答案为：k≤2．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）二次函数与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程的根；
（2）结合函数图象，x轴下方的图象的x的取值范围即是答案；
（3）结合函数图象，将问题转化为二次函数与一次函数的关系求解即可。
24．（2021九上·平阳期中）已知抛物线 经过点（1，-1），（-2，17）.
（1）求a，b的值
（2）若（3，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2=y1+8，求m的值.
【答案】（1）解：将（1，-1），（-2，17）分别代入抛物线
得，
化简得，
（2）解：函数解析式为y=2x2-4x+1
∵ （3，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点
∴y1=18-12+1=7；y2=2m2-4m+1
∵ y2=y1+8，
∴2m2-4m+1=7+8即m2-2m-7=0
解之：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点（1，-1），（-2，17）分别代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（2）将已知两点坐标分别代入函数解析式，可得到y1=18-12+1=7；y2=2m2-4m+1，再根据y2=y1+8， 建立关于m的方程，解方程求出m的值.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·互助期中）已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ，若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ， ，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021九上·柯桥期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为2，那么该方程的另一个根为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3
3．（2021九上·泰安期中）若函数y=ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（2021九上·泰安期中）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(-1，0)，给出下列结论：其中正确的个数是（　　）
①当x>0时，y随x的增大而减小；②am2+bm+c0时，-10
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021九上·香洲期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
x …… 0 4 ……
y …… 0.32 ﹣2 0.32 ……
A．0或4 B．1或5 C． 或4﹣ D． 或 ﹣2
6．（2021九上·黄石期中）如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，以下结论：①2a﹣b＝0；②abc＜0；③当﹣3＜x＜1时，y＞0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，则t的值只有3个.其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2021九上·温州期中）已知二次函数 ，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 -2 …
则方程 的正数解 在下列哪个范围内（　　）
A． B． C． D．
8．（2021九上·拱墅期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0
B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为3和﹣2
C．9a+c＞3b
D．当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4
9．（2021九上·拱墅期中）三个关于 的方程： ，已知常数 ，若 、 、 分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　)
A． B．
C． D．不能确定 的大小
10．（2021九上·蒙城期中）若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a＋b＝0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为（　　）
A．x1＝﹣7，x2＝3 B．x1＝﹣6，x2＝4
C．x1＝6，x2＝﹣4 D．x1＝7，x2＝﹣3
二、填空题
11．（2021九上·互助期中）已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为　 　．
12．（2021九上·铁东期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 　 　．
13．（2021九上·建华期中）已知点（1，0）是y＝x2+bx﹣2的图象上一点，则方程x2+bx﹣2＝0的根是 　 　．
14．（2021九上·海淀期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，则关于x的方程 的解为　 　．
15．（2021九上·大兴期中）已知二次函数 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
… …
… …
则代数式 的值是　 　．
16．（2021九上·汉滨期中）若二次函数 的部分图象如图所示，则关于 的一元二次方程 的解为　 　.
三、解答题
17．（2021·河东模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点．
（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E，点A的坐标；
（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；
②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．
18．（2021·四川模拟）已知抛物线 经过 、 两点，求关于x的一元二次方程 的解.
19．（2020九上·斗门期末）二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．
20．（2020九上·河西期末）已知抛物线与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，该抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线 的解析式为　 　；
（3）过点D作 轴于H，在线段 上有一点P到直线 的距离等于线段 的长，求点P的坐标；
（4）设直线 交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线 于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
四、综合题
21．（2021九上·大兴期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ ）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若方程 （ ）有两个不相等的实数根 ， ，且 ，结合函数的图象，求 的取值范围．
22．（2021九上·鹿城期中）如图，
二次函数 的图象与 轴分别交于点 （点 在点 的左侧）， 且经过点 ， 与 轴交于点 .
（1）求 的值.
（2）将线段 平移， 平移后对应点 和 都落在拋物线上， 求点 的坐标.
23．（2021九上·合肥期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3），与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），根据图象回答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）若ax2+bx+c=k有实数根，k的范围应为．
24．（2021九上·平阳期中）已知抛物线 经过点（1，-1），（-2，17）.
（1）求a，b的值
（2）若（3，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2=y1+8，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ， 是一元二次方程 的两个根，
、 是抛物线与 轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为 ，
，即 ， 不符合题意；
由图象可知， ，
，
解得： ， 符合题意；
抛物线与 轴有两个交点，
， 不符合题意；
由对称轴可知 ，可知 ， 不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标关系，进而判断四个结论得出答案。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴y=ax2+bx-6的对称轴为直线x=1，
∵关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为2，
抛物线y=ax2+bx-6与x轴的一个交点坐标为（2，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（0，0）
∴关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的另一个根为0.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可得到y=ax2+bx-6的对称轴为直线x=1，再利用已知可得到抛物线y=ax2+bx-6与x轴的一个交点坐标为（2，0），利用二次函数的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的另一个根.
3．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵函数y=ax2+bx的最小值为-3，
∴y=ax2+bx≠-5，
∴ 一元二次方程ax2+bx+5=0没有实数根.
故答案为：A.
【分析】根据图象得出函数y=ax2+bx的最小值为-3，得出y=ax2+bx≠-5，即可得出一元二次方程ax2+bx+5=0没有实数根.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而减小，故①错误；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的最大值为a+b+c，
∴ am2+bm+c③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2-4ac＞0，故③错误；
④ 由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），
∴当-1⑤∵对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴2a=-b，
∵点B（-1，0）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，
∴a-b+c=0，
∴-b+c=-a＞0，
∴2a+c=-b+c>0，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】①根据二次函数的性质得出当x>1时，y随x的增大而减小，即可判断①错误；
②根据二次函数的性质得出抛物线的最大值为a+b+c，即可判断②正确；
③根据抛物线与x轴的交点个数，得出b2-4ac＞0，即可判断③错误；
④先求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，再结合图形得出当-1⑤根据对称轴得出2a=-b，再根据点B（-1，0）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，得出a-b+c=0，从而得出2a+c=-b+c=-a＞0，即可判断⑤正确.
5．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由抛物线经过点 得到 ，
所以二次函数解析式为 ，
因为抛物线经过点 、 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，
而抛物线经过点 ， ，
所以抛物线经过点 ， ，
方程 变形为 ，
所以方程 的根理解为函数值为 所对应的自变量的值，
所以方程 的根为 ， ．
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线 ，再求出抛物线经过点 ， ，最后求解即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上，c＞0
∴abc＞0，
故②不正确；
∵图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（1，0），
∵当﹣3＜x＜1时，函数图象在x轴上方，即y＞0，
故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线变为 ，
∵ 的根为整数，
△= ，
∴方程的根为 ，
∵t为常数，t≥0，a＜0，
∴ ，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，
∴ ，
∴ ，
故④正确.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的对称轴可得b=2a，据此判断①；由开口方向向下、对称轴在y轴左侧、与y轴交点在y轴正半轴上可得a、b、c的正负，据此判断②；根据函数的对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，据此判断③；根据与x轴的交点坐标可得二次函数解析式为y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，根据求根公式表示出方程ax2+2ax-3a-t=0的两根，得到4+=0、1、4，求出t，据此判断④.
7．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：二次函数关于对称轴对称，
∴当x=2时y=1，当x=3时y=-2
∴ax2+bx+c=0的正整数解x0的取值范围为2＜x0≤3.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的对称性，根据表中数据，可求出ax2+bx+c=0的正整数解x0的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，
，
，故A选项错误；
图象过点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与 轴另一个交点为 ，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为4和﹣2，故B选项错误；
由图象可知： 时， 的取值范围是 ，故D选项正确；
由图象可知：当 时， ，
，即 ，故C选项错误，
故答案为：D.
【分析】由于抛物线开口向下、对称轴为，抛物线与y轴交点在x轴上方，可得，，，据此判断A；求出抛物线与 轴另一个交点为 ，可得于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为4和﹣2，由图象可知当，函数图象在x轴上方，据此判断B、D；由图象可知：当 时，据此判断C.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）开口大小为：y1＜y2＜y3.
∴其函数图象大致为：
.
∴x1＜x2＜x3.
故答案为：A.
【分析】由于a1＞a2＞a3＞0，可知二次函数y1=a1（x+1）（x-2），y2=a2（x+1）（x-2），y3=a3（x+1）（x-2）开口大小为：y1＜y2＜y3，从而画出函数的大值图象，根据图象即可求解.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，∴
由题意可得：抛物线的对称轴为 ，
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10
∴交点坐标分别为 ，
根据二次函数与一元二次方程的关系可得：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为 ，
故答案为：D
【分析】函数的对称轴为，结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点之间的距离为10，即可求出函数与x轴的两个交点，即可得到答案。
11．【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】根据 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），得出 的根，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴ ，
∴
根据题意，分 和 两种情况分析；
当 时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴
∴ ，即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意；
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随 增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为 时，即
∴ ，即
∴
∴
∴ 时，y＝ax2+bx+c最大值为
∴
∴
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随 减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴
故答案为： ．
【分析】先将点（﹣1，0），（0，4）代入函数解析式，得出c的值、a与b的关系，杂录对称性得出a与t的关系，再结合t≥3得出a为负数，结合方程与函数的关系，列出关于n与t之间的关系式，最后求得n的取值范围。
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 点（1，0）是y＝x2+bx﹣2的图象上一点，
二次函数的解析式为：
故答案为：
【分析】先将点（1，0）代入y＝x2+bx﹣2，求出b的值，再利用因式分解法求出一元二次方程的根即可。
14．【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴关于x的方程 的解为 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，再求出关于x的方程 的解为 ， ，即可作答。
15．【答案】5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，
∴二次函数的对称轴为x=1，
∴当x=-1时，y的值与x=3时相等
∴x＝ 1时，y＝-5，x＝1时，y＝ 1，
∴a b＋c＝-5，a＋b＋c＝ 1，
∴（a＋b＋c）（a b＋c）的值为5，
故答案为5．
【分析】观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，因此二次函数的对称轴为x=1，所以当x=-1时，y的值与x=3时相等等于-5，再利用a b＋c＝-5，a＋b＋c＝ 1，代入计算即可。
16．【答案】x1=3，x2=-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（3，0），
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（-1，0），
则关于x的一元二次方程 的解为x=3或-1，
故答案为：x1=3，x2=-1.
【分析】由图象可得二次函数的对称轴为直线x=1，根据对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答.
17．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，
∴点A的坐标为（0，3），点E的坐标为（1，4）；
（Ⅱ）①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝ ，
∴点E的坐标为（ ， ），
∵顶点E在直线y＝x上，
∴ ＝ ，
∴c＝ ；
②由①知， ，
则点A的坐标为（0， ），
∴当b＝1时，此时点A的位置最高，函数y＝﹣x2＋x＋ ，
即在①的前提下，当点A的位置最高时，抛物线的解析式是 ；
（Ⅲ）∵x1＝﹣1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点（x1，0），
∴﹣1﹣b＋c＝0，
∴c＝1＋b，
∵点E的坐标为（ ， ），点A的坐标为（0，c），
∴E（ ， ），A（0，b＋1），
∴点E关于x轴的对称点E′（ ，﹣ ），
设过点A（0，b＋1）、P（1，0）的直线解析式为y＝kx＋t，
，得 ，
∴直线AP的解析式为y＝（﹣b﹣1）x＋（b＋1）＝﹣（b＋1）x＋（b＋1）＝（b＋1）（﹣x＋1），
∵当直线AP过点E′时，PA＋PE值最小，
∴﹣ ＝（b＋1）（﹣ ＋1），
化简得：b2﹣6b﹣8＝0，
解得：b1＝ ，b2＝
∵b＞0，
∴b＝ ，
即b的值是3＋ ．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的图象上， 再利用待定系数法计算求解即可；
（Ⅱ）①先求出点E的坐标为（ ， ）， 再求出 ＝ ， 最后求解即可；
②先求出点A的坐标，再计算求解即可；
（Ⅲ）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求直线AP的解析式，最后计算求解即可。
18．【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c=0的两根为x1=-3，x2=4，
∵方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0可看作关于x-1的一元二次方程，
∴x-1=-3或x-1=4，
解得x1=-2，x2=5.
故答案为x1=-2，x2=5.
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】由点A，B的坐标可知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根；再将方程转化为a（x-1）2+b（x-1）+c=0，由此可得到x-1=-3或x-1=4，分别求出两个关于x的一元一次方程的解即可.
19．【答案】解：当 时， ，
解得 ， ，
所以 ， ．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】根据题意求出 ， 再解方程求解即可。
20．【答案】（1）解：设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．
∴ ，顶点
（2）y=x+8
（3）作 于M，设 ，
因为直线 与x轴的夹角为 ，
∴点P到 的距离 ，且 ，又 ．
∴由题意 ，即 ，
∴
整理得： ，
解得 ； （舍）．
∴P的坐标为 ．
（4）由上求得 ， ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为
．
当 时， ．当 时， ，
∴ 或 ．∴ ．
②若抛物线向下移，可设解析式为 ．
由 ，有 ．
∴ ，∴ ．
∴向上最多可本题考查了平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（2）①设CD的解析式为y=kx+b，
把 和 代入，得
解得
∴CD的解析式为：
【分析】（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；（2）①解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
21．【答案】（1）
抛物线的对称轴是：直线 ．
（2） ，对称轴为 ，
当抛物线经过点 时，
解得 ．
当抛物线经过点 时，
解得 ．
如图，
结合函数图象可知， 的取值范围为 ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数顶点坐标公式，进而求出抛物线的解析式；
（2）由对称轴为 ，分当抛物线经过点 时，当抛物线经过点 时，两种情况讨论即可。
22．【答案】（1）解：将点 、 代入二次函数解析式 得
解得 ；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为 ，由题意可得 ，
设平移后点 和 的坐标分别为 ， 则 为一元二次方程 的两个根（ ），且 ，
∴
由根与系数的关系可得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴
∴ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点（4，0）、（-3，7）代入y=x2+bx+c中就可得到b、c的值；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=x2-2x-8，由题意可得OB=4，设平移后点O′和B′的坐标分别为（x1，m）、（x2，m），则x1、x2为一元二次方程x2-2x-8=m的两根且x2-x1=4，则x1+x2=2，x1x2=-8-m，联立求解可得m，进而可得点B的坐标.
23．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），
∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1、x2=5；
（2）解：由图象可知，二次函数图象的开口向下，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞5；
（3）解：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3），
当y= k≤2时，ax2+bx+c=k有实数根，
故答案为：k≤2．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）二次函数与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程的根；
（2）结合函数图象，x轴下方的图象的x的取值范围即是答案；
（3）结合函数图象，将问题转化为二次函数与一次函数的关系求解即可。
24．【答案】（1）解：将（1，-1），（-2，17）分别代入抛物线
得，
化简得，
（2）解：函数解析式为y=2x2-4x+1
∵ （3，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点
∴y1=18-12+1=7；y2=2m2-4m+1
∵ y2=y1+8，
∴2m2-4m+1=7+8即m2-2m-7=0
解之：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将点（1，-1），（-2，17）分别代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（2）将已知两点坐标分别代入函数解析式，可得到y1=18-12+1=7；y2=2m2-4m+1，再根据y2=y1+8， 建立关于m的方程，解方程求出m的值.
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