湘教版初中数学九年级下册1.5二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·大兴期中）某种商品的价格是 元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格 （单位：元）随每次降价的百分率 的变化而变化，则 关于 的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得y=2（1-x）2，
所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2．
故答案为：B.
【分析】根据“现价=原价×（1+百分率）”，即可得到y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2．
2．（2021九上·包河期中）如图，直线l为抛物线 的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作 轴于点A，作PB∥x轴交抛物线于点B，设 ， ，则h与m的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时， ，解得 或 ，
则抛物线与 轴的两个交点坐标为 和 ，
设点 的坐标为 ，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 在 轴上方（含 轴上），即 时，
则 ，解得 ，
即 ，
将点 代入二次函数 得： ，
整理得： ，
由 得： ，解得 ，
则此时 与 的函数关系式为 ；
（2）当点 在 轴下方，即 时，
则 ，解得 ，
即 ，
将点 代入二次函数 得： ，
整理得： ，
由 得： ，解得 ，
则此时 与 的函数关系式为 ，
综上， 与 的函数关系式为 ，
则当 时， 与 的函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当 时， 与 的函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线与 轴的两个交点坐标为 和 ，再分类讨论，计算求解即可。
3．（2021九上·西湖月考）已知二次函数y=ax +bx-1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，-1）三个点中的其中两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为- D．最小值为-
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵点（2，1），B（4，3）在直线y=x-1上，
∴点A或点B是抛物线的顶点坐标
∵点B和点C的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过点B，C，
∴抛物线经过点A，C，
∴
解之：
∴函数解析式为，
∵顶点始终在直线y=x-1上，
∴抛物线向左或向下平移的距离相同，
设平移后的函数解析式为，
当x=0时，
∴抛物线与y轴交点的纵坐标最大值为.
故答案为：C.
【分析】观察点的坐标特点，可知抛物线不会同时经过点B，C，即可得到抛物线经过点A，C，利用待定系数法求出函数解析式；再根据顶点始终在直线y=x-1上，抛物线向左或向下平移的距离相同，设平移后的函数解析式为；再求出当x=0时y与m之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
4．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B（﹣1，0），则（1）二次函数的最大值为a+b+c；（2）a﹣b+c＜0；（3）b2﹣4ac＜0；（4）当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0
当x=1时y最大值=a+b+c，故（1）正确；
当x=-1时y=0即a-b+c=0，故（2）错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2﹣4ac＞0 ，故（3）错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1， 点B（﹣1，0）
∴点A（3，0）
∴当y＞0时 -1＜x＜3 ，故（4）正确；
∴ 正确结论有两个.
故答案为：B.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，可得到此时y有最大值，可对（1）作出判断；利用抛物线与x轴的交点B的坐标，可求出点A的坐标，可对（2）作出判断；同时可对（4）作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点，可对（3）作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
5．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（ ）
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据题意得
W=（128-x-100）（100+5x）=-5（x-4）2+2880，
∵-5＜0，
∴当x=4时，W最大值=2880.
故答案为：B.
【分析】设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据W=每一件的利润×销售量，列出W与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
6．（2021九上·浙江期中）将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点坐标为 ，
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴的交点为 ， ，
把抛物线y＝﹣x2＋2x＋3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该图象恰好有三个公共点，
∴ ，解得： ；
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得： ，
，解得 ，
∴b的值为-3或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标，令y=0，求出x，得A（-1，0）、B（3，0），求出抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方时对应的函数解析式，画出对应的图象，由图象可知：当直线过点B或与抛物线相切时，两者有3个交点，据此求解.
7．（2021九上·交城期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故答案为：C
【分析】用含x的表示方法表示出再利用三角形的面积公式列出方程即可。
8．（2021九上·中山期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为 ，则小球从飞出到落地的所用时间为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令 得 ，
得 ，
解得 （舍去）或 ，
即小球从飞出到落地所用的时间为 ，
故答案为：B．
【分析】将h=0代入函数解析式求出t的值即可得到答案。
9．（2021九上·思明期中）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据滑行的距离s与时间t的函数关系可得：当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：B.
【分析】由图象可得：当t=6s时，滑行的距离最长，此时小球停止，据此解答.
10．（2021九上·温州期中）在平面直角坐标系中，已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标为(－1，3)，与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，则下列四个结论：①b=2a；②a+b+c<0；③4a－2b+c>0；④a－c=3．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线的顶点坐标为（-1，3）
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b=2a，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，
∴当a＜0，x=1时a+b+c≤0，
当a＞0，x=1时a+b+c≥0，故②错误；
③∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当a＜0，x=-2时4a－2b+c>0，
当a＞0，x=-2时4a－2b+c＜0，故③错误；
④∵抛物线的顶点的纵坐标为3，
∴
∵b=2a
∴4ac-4a2=12a
∵a≠0
∴c-a=3
∴a-c=-3，故④错误；
∴正确结论的个数为1个.
故答案为：A.
【分析】利用抛物线的顶点坐标坐标，可得到，可对①作出判断；根据抛物线与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，分情况讨论：当a＞0和a＜0，可得到a+b+c的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数图象的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点在-2和-3之间，分情况讨论：当a＞0和a＜0，分别可得到4a－2b+c的取值范围，可对③作出判断；利用抛物线的纵坐标为3，可得到，结合对称轴可求出a-c的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
11．（2021九上·朝阳期中）退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得，矩形的宽为x米，则长为： 米，且
花圃面积为y= ，
故答案为： ．
【分析】根据题意得，矩形的宽为x米，则长为： 米，且，利用矩形的面积计算公式，即可得出y与x间的函数关系式，再结合院墙长15米及平行于墙的一边长非负，即可得出x的取值范围。
12．（2021九上·栖霞期中）如图，若被击打的小球飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令 得：
∴
得：
解得： （舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【分析】先求出，再解方程求解即可。
13．（2021九上·滨城期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ．
【答案】0≤x≤3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），
∴当 y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．
故答案为：0≤x≤3．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
14．（2021九上·赣州期中）用一根长为 的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为 ，面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】由题意得：y=x（50-x）=-x2+50x，
故答案为y=-x2+50x
【分析】设长方形的宽为 ，则长为（50-x），再利用矩形的面积公式列出表达式y=-x2+50x即可。
15．（2021九上·西湖月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c＞ 的解是 ．
【答案】1＜x＜0或1＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式ax2+bx+c＞ 的解集为1＜x＜0或1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜0或1＜x＜3．
【分析】观察函数图象可知点A，B，C三个点的横坐标，要使二次函数的值大于反比例函数的值，利用图象可得到x的取值范围.
16．（2021九上·柯桥期中）以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 s．
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵球从飞出到落地，
∴当h=0时20t﹣5t2=0
解之：t1=0，t2=4
∵t＞0
∴t=4.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件，要求出球从飞出到落地要用的时间，也就是求出当h=0时t的值，根据t＞0，可得答案.
三、解答题
17．（2021九上·朝阳期中）如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
【答案】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，得出增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，即可得出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
18．（2021九上·大兴期中）在体育课掷实心球活动中，小华通过研究发现：实心球所经过的路线是一条抛物线的一部分，如果球出手处点 距离地面的高度为 ，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 的 处（如图），问实心球的落地点 与出手处点 的水平距离是多少？（结果保留根号）
【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示．
则 ，
设抛物线解析式为 （ ），
在抛物线上，
代入得： ，
．
令 ，
（舍）， ，
．
答：实心球的落地点 与出手处点 的水平距离是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】设抛物线解析式为 （ ），再将代入抛物线求出a的值，即可得到抛物线的解析式，再将y=0代入抛物线求解出x的值，即可得到OC的值。
19．（2021九上·防城期中）如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m，连续降雨后，水面上涨1m，水面宽度减少多少？
【答案】解：依题意建立如图所示直角坐标系，
设函数解析式为y=ax2(a≠0)，把B(3，-3)代入得a= ，∴解析式为y= x2．因为水位上升1m，设点D(x1，-2)，把点D代入解析式得x1= ，x2=- (不合题意，舍去)
∴CD =2 m
答：水面宽度减少(6-2 )m
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】 建立如图所示直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=ax2，把点B的坐标代入抛物线的解析式，得出a的值，从而求出抛物线的解析式，把y=-2代入抛物线的解析式，得出点C、D的坐标，从而得出CD的长，即可的出场答案.
四、综合题
20．（2021九上·互助期中）某公司销售一种商品，成本每件30元，经市场调查发现，该商品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系： ．
（1）当销售单价为多少元时，公司销售该商品单日获得最大利润？最大利润是多少？
（2）若公司销售该商品单日获得2000元的利润，销售单价应定为多少？
【答案】（1）解：设公司销售该商品获得的日利润为 元，
则 ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为2025，
答：当销售单价为75元时，公司销售该商品单日获得最大利润，最大利润为2025元；
（2）解：依题意得： ，
整理得： ，
解得 ， ，
答：销售单价应定为70元或80元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设公司销售该商品获得的日利润为 元，根据日利润=每件的利润×销售量，可得W关于x的函数关系式，当 时， 取得最大值；
（2）根据日利润=每件的利润×销售量，可以得一个关于x的一元二次方程，解方程即可。
21．（2021九上·鄂尔多斯期中）某人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，他想采用降低售价的办法来增加销售量，经市场调查，发现这种商品每降价0.1元，每天的销售量就会增加10件．
（1）写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：由题意可得，
y＝（x﹣8）（100+ ×10）＝﹣100x2+1900x﹣8800，
即售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式是y＝﹣100x2+1900x﹣8800；
（2）解：∵y＝﹣100x2+1900x﹣8800＝﹣100（x﹣9.5）2+225，
∴当x＝9.5时，y取得最大值，此时y＝225，
即每件售价定为9.5元，才能使一天的利润最大，最大值为225元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=（售价-进价）销售量，可列出相应的函数关系式；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得出该函数当x为何值时，取得最大值，最大值是多少。
22．（2021九上·互助期中）如图，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点 关于直线l的对称点为M，将抛物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx经过坐标原点和点A（-4，0），B（-1，3），
∴ ，
解得： ，
故此二次函数的解析式为y=-x2-4x；
（2）解：如图所示：
由题可知，M、N点坐标分别为（-4-m，n），（m+4，n），
∴PN∥OA，PN=|m-（m+4）|=4，
∵OA=4，
∴PN=OA，
∴四边形OAPN是平行四边形，
∵四边形OAPN的面积=（OA+NP）÷2×|n|=20，
即4|n|=20，
∴|n|=5．
∴n=±5，
所以-m2-4m=±5，
当-m2-4m=5，即m2+4m+5=0时，
∵△=16-20＜0，不存在，
当-m2-4m=-5时，
解得m=-5或m=1．
∴P（-5，-5）或（1，-5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx经过坐标原点和点A（-4，0），B（-1，3），代入即可得出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题可知，M、N点坐标分别为（-4-m，n），（m+4，n），得出PN∥OA，PN=|m-（m+4）|=4，四边形OAPN是平行四边形，根据四边形OAPN的面积=（OA+NP）÷2×|n|=20，可得出n=±5，当-m2-4m=5，即m2+4m+5=0时，△=16-20＜0，不存在，当-m2-4m=-5时，接的m的值，即可得出点P的坐标。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册1.5二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·大兴期中）某种商品的价格是 元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是 ，经过两次降价后的价格 （单位：元）随每次降价的百分率 的变化而变化，则 关于 的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·包河期中）如图，直线l为抛物线 的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作 轴于点A，作PB∥x轴交抛物线于点B，设 ， ，则h与m的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·西湖月考）已知二次函数y=ax +bx-1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A（2，1），B（4，3），C（4，-1）三个点中的其中两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为- D．最小值为-
4．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B（﹣1，0），则（1）二次函数的最大值为a+b+c；（2）a﹣b+c＜0；（3）b2﹣4ac＜0；（4）当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（ ）
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
6．（2021九上·浙江期中）将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
7．（2021九上·交城期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·中山期中）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为 ，则小球从飞出到落地的所用时间为
A． B． C． D．
9．（2021九上·思明期中）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行12秒停止 B．小球滑行6秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
10．（2021九上·温州期中）在平面直角坐标系中，已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标为(－1，3)，与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，则下列四个结论：①b=2a；②a+b+c<0；③4a－2b+c>0；④a－c=3．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021九上·朝阳期中）退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
12．（2021九上·栖霞期中）如图，若被击打的小球飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有的关系为 ，则小球从飞出到落地所用的时间为 ．
13．（2021九上·滨城期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ．
14．（2021九上·赣州期中）用一根长为 的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为 ，面积为 ，则 关于 的函数关系式是 ．
15．（2021九上·西湖月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c＞ 的解是 ．
16．（2021九上·柯桥期中）以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 s．
三、解答题
17．（2021九上·朝阳期中）如图，矩形绿地的长、宽各增加 ，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
18．（2021九上·大兴期中）在体育课掷实心球活动中，小华通过研究发现：实心球所经过的路线是一条抛物线的一部分，如果球出手处点 距离地面的高度为 ，当球运行的水平距离为 时，达到最大高度 的 处（如图），问实心球的落地点 与出手处点 的水平距离是多少？（结果保留根号）
19．（2021九上·防城期中）如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽6m，连续降雨后，水面上涨1m，水面宽度减少多少？
四、综合题
20．（2021九上·互助期中）某公司销售一种商品，成本每件30元，经市场调查发现，该商品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系： ．
（1）当销售单价为多少元时，公司销售该商品单日获得最大利润？最大利润是多少？
（2）若公司销售该商品单日获得2000元的利润，销售单价应定为多少？
21．（2021九上·鄂尔多斯期中）某人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，他想采用降低售价的办法来增加销售量，经市场调查，发现这种商品每降价0.1元，每天的销售量就会增加10件．
（1）写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
（2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？最大值为多少？
22．（2021九上·互助期中）如图，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点 关于直线l的对称点为M，将抛物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得y=2（1-x）2，
所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2．
故答案为：B.
【分析】根据“现价=原价×（1+百分率）”，即可得到y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2．
2．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时， ，解得 或 ，
则抛物线与 轴的两个交点坐标为 和 ，
设点 的坐标为 ，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 在 轴上方（含 轴上），即 时，
则 ，解得 ，
即 ，
将点 代入二次函数 得： ，
整理得： ，
由 得： ，解得 ，
则此时 与 的函数关系式为 ；
（2）当点 在 轴下方，即 时，
则 ，解得 ，
即 ，
将点 代入二次函数 得： ，
整理得： ，
由 得： ，解得 ，
则此时 与 的函数关系式为 ，
综上， 与 的函数关系式为 ，
则当 时， 与 的函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当 时， 与 的函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线与 轴的两个交点坐标为 和 ，再分类讨论，计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵点（2，1），B（4，3）在直线y=x-1上，
∴点A或点B是抛物线的顶点坐标
∵点B和点C的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过点B，C，
∴抛物线经过点A，C，
∴
解之：
∴函数解析式为，
∵顶点始终在直线y=x-1上，
∴抛物线向左或向下平移的距离相同，
设平移后的函数解析式为，
当x=0时，
∴抛物线与y轴交点的纵坐标最大值为.
故答案为：C.
【分析】观察点的坐标特点，可知抛物线不会同时经过点B，C，即可得到抛物线经过点A，C，利用待定系数法求出函数解析式；再根据顶点始终在直线y=x-1上，抛物线向左或向下平移的距离相同，设平移后的函数解析式为；再求出当x=0时y与m之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0
当x=1时y最大值=a+b+c，故（1）正确；
当x=-1时y=0即a-b+c=0，故（2）错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2﹣4ac＞0 ，故（3）错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1， 点B（﹣1，0）
∴点A（3，0）
∴当y＞0时 -1＜x＜3 ，故（4）正确；
∴ 正确结论有两个.
故答案为：B.
【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，可得到此时y有最大值，可对（1）作出判断；利用抛物线与x轴的交点B的坐标，可求出点A的坐标，可对（2）作出判断；同时可对（4）作出判断；利用抛物线与x轴的两个交点，可对（3）作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据题意得
W=（128-x-100）（100+5x）=-5（x-4）2+2880，
∵-5＜0，
∴当x=4时，W最大值=2880.
故答案为：B.
【分析】设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据W=每一件的利润×销售量，列出W与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点坐标为 ，
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴的交点为 ， ，
把抛物线y＝﹣x2＋2x＋3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该图象恰好有三个公共点，
∴ ，解得： ；
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得： ，
，解得 ，
∴b的值为-3或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标，令y=0，求出x，得A（-1，0）、B（3，0），求出抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方时对应的函数解析式，画出对应的图象，由图象可知：当直线过点B或与抛物线相切时，两者有3个交点，据此求解.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故答案为：C
【分析】用含x的表示方法表示出再利用三角形的面积公式列出方程即可。
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令 得 ，
得 ，
解得 （舍去）或 ，
即小球从飞出到落地所用的时间为 ，
故答案为：B．
【分析】将h=0代入函数解析式求出t的值即可得到答案。
9．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据滑行的距离s与时间t的函数关系可得：当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：B.
【分析】由图象可得：当t=6s时，滑行的距离最长，此时小球停止，据此解答.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线的顶点坐标为（-1，3）
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b=2a，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，
∴当a＜0，x=1时a+b+c≤0，
当a＞0，x=1时a+b+c≥0，故②错误；
③∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当a＜0，x=-2时4a－2b+c>0，
当a＞0，x=-2时4a－2b+c＜0，故③错误；
④∵抛物线的顶点的纵坐标为3，
∴
∵b=2a
∴4ac-4a2=12a
∵a≠0
∴c-a=3
∴a-c=-3，故④错误；
∴正确结论的个数为1个.
故答案为：A.
【分析】利用抛物线的顶点坐标坐标，可得到，可对①作出判断；根据抛物线与x轴交于A，B两点，其中A(m，0)，0≤m≤1，分情况讨论：当a＞0和a＜0，可得到a+b+c的取值范围，可对②作出判断；利用二次函数图象的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点在-2和-3之间，分情况讨论：当a＞0和a＜0，分别可得到4a－2b+c的取值范围，可对③作出判断；利用抛物线的纵坐标为3，可得到，结合对称轴可求出a-c的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得，矩形的宽为x米，则长为： 米，且
花圃面积为y= ，
故答案为： ．
【分析】根据题意得，矩形的宽为x米，则长为： 米，且，利用矩形的面积计算公式，即可得出y与x间的函数关系式，再结合院墙长15米及平行于墙的一边长非负，即可得出x的取值范围。
12．【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：依题意，令 得：
∴
得：
解得： （舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【分析】先求出，再解方程求解即可。
13．【答案】0≤x≤3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），
∴当 y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．
故答案为：0≤x≤3．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
14．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】由题意得：y=x（50-x）=-x2+50x，
故答案为y=-x2+50x
【分析】设长方形的宽为 ，则长为（50-x），再利用矩形的面积公式列出表达式y=-x2+50x即可。
15．【答案】1＜x＜0或1＜x＜3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式ax2+bx+c＞ 的解集为1＜x＜0或1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜0或1＜x＜3．
【分析】观察函数图象可知点A，B，C三个点的横坐标，要使二次函数的值大于反比例函数的值，利用图象可得到x的取值范围.
16．【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵球从飞出到落地，
∴当h=0时20t﹣5t2=0
解之：t1=0，t2=4
∵t＞0
∴t=4.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件，要求出球从飞出到落地要用的时间，也就是求出当h=0时t的值，根据t＞0，可得答案.
17．【答案】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，
∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，
∴ .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，得出增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，即可得出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．
18．【答案】解：建立平面直角坐标系，如图所示．
则 ，
设抛物线解析式为 （ ），
在抛物线上，
代入得： ，
．
令 ，
（舍）， ，
．
答：实心球的落地点 与出手处点 的水平距离是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】设抛物线解析式为 （ ），再将代入抛物线求出a的值，即可得到抛物线的解析式，再将y=0代入抛物线求解出x的值，即可得到OC的值。
19．【答案】解：依题意建立如图所示直角坐标系，
设函数解析式为y=ax2(a≠0)，把B(3，-3)代入得a= ，∴解析式为y= x2．因为水位上升1m，设点D(x1，-2)，把点D代入解析式得x1= ，x2=- (不合题意，舍去)
∴CD =2 m
答：水面宽度减少(6-2 )m
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】 建立如图所示直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=ax2，把点B的坐标代入抛物线的解析式，得出a的值，从而求出抛物线的解析式，把y=-2代入抛物线的解析式，得出点C、D的坐标，从而得出CD的长，即可的出场答案.
20．【答案】（1）解：设公司销售该商品获得的日利润为 元，
则 ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为2025，
答：当销售单价为75元时，公司销售该商品单日获得最大利润，最大利润为2025元；
（2）解：依题意得： ，
整理得： ，
解得 ， ，
答：销售单价应定为70元或80元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设公司销售该商品获得的日利润为 元，根据日利润=每件的利润×销售量，可得W关于x的函数关系式，当 时， 取得最大值；
（2）根据日利润=每件的利润×销售量，可以得一个关于x的一元二次方程，解方程即可。
21．【答案】（1）解：由题意可得，
y＝（x﹣8）（100+ ×10）＝﹣100x2+1900x﹣8800，
即售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式是y＝﹣100x2+1900x﹣8800；
（2）解：∵y＝﹣100x2+1900x﹣8800＝﹣100（x﹣9.5）2+225，
∴当x＝9.5时，y取得最大值，此时y＝225，
即每件售价定为9.5元，才能使一天的利润最大，最大值为225元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=（售价-进价）销售量，可列出相应的函数关系式；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得出该函数当x为何值时，取得最大值，最大值是多少。
22．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx经过坐标原点和点A（-4，0），B（-1，3），
∴ ，
解得： ，
故此二次函数的解析式为y=-x2-4x；
（2）解：如图所示：
由题可知，M、N点坐标分别为（-4-m，n），（m+4，n），
∴PN∥OA，PN=|m-（m+4）|=4，
∵OA=4，
∴PN=OA，
∴四边形OAPN是平行四边形，
∵四边形OAPN的面积=（OA+NP）÷2×|n|=20，
即4|n|=20，
∴|n|=5．
∴n=±5，
所以-m2-4m=±5，
当-m2-4m=5，即m2+4m+5=0时，
∵△=16-20＜0，不存在，
当-m2-4m=-5时，
解得m=-5或m=1．
∴P（-5，-5）或（1，-5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx经过坐标原点和点A（-4，0），B（-1，3），代入即可得出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题可知，M、N点坐标分别为（-4-m，n），（m+4，n），得出PN∥OA，PN=|m-（m+4）|=4，四边形OAPN是平行四边形，根据四边形OAPN的面积=（OA+NP）÷2×|n|=20，可得出n=±5，当-m2-4m=5，即m2+4m+5=0时，△=16-20＜0，不存在，当-m2-4m=-5时，接的m的值，即可得出点P的坐标。
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