湘教版初中数学九年级下册2.2圆心角圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于 ，如果它的一个外角 ，那么 的度数为（ ）
A．64° B．128° C．20° D．116°
2．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，四边形 内接于 ，若它的一个外角 ，则 等于（ ）
A．144° B．70° C．110° D．140°
3．（2021九上·鲅鱼圈期中）如图，BC是 的直径，A，D是 上的两点，连接AB，AD，BD，若 ，则 的度数是（ ）
A．20° B．70° C．30° D．90°
4．（2021九上·东光期中）已知O是 的外心，连接AO并延长交BC于D， ，过D作 于E，若 ，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2021九上·东光期中）下列图形中， 为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·福田期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE＝ AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE EF＝EQ DE．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2021九上·无棣期中）如图，PA、PB分别与⊙O相切于小B网点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
8．（2021九上·台州期中）如图，A ，B，C是⊙O上的三点，且∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．35° B．65° C．70° D．90°
9．（2021九上·柯桥期中）如图，在△ABC中，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E，连接DE，若ED＝DC，AD＝3，AE＝2，则△AED与四边形BCDE的面积之比是（ ）
A．9：14 B．2：5 C．6：7 D．3：7
10．（2021九上·柯桥期中）已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，将AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为B'，连接BB'、CB'、AB与CB交于点D．则经过C、A、B'三点的圆的圆心在以下哪个区域（ ）
A．① B．② C．③ D．以上都错
二、填空题
11．（2021九上·西湖月考）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝ ．
12．（2021九上·台州期中）如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，若∠A＝60°，∠C＝45°，则AC＝ ．
13．（2021九上·柯桥期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C＝120°，则∠BOD＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 。
15．（2021九上·萧山期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度.
16．（2021九上·鹿城期中）已知 中， ， 则 的外接圆半径是
三、解答题
17．（2021九上·鹿城期中）已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.
18．（2021九上·汉滨期中）如图，四边形 内接于 ，若 ，求 的大小．
19．（2021九上·思明期中）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求∠BAC.
20．（2021九上·灌云期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度数.
21．（2021九上·邗江月考）如图，在 中， 为 的直径， ，点 为 上任意一点（不与 、 重合）.
求证： .
四、综合题
22．（2021九上·东光期中）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD， ， ．
（1）求证： ；
（2）若圆O的半径为3，求BC的长．
23．（2021九上·无棣期中）如图，在⊙O中， ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
24．（2021九上·西湖月考）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
25．（2021九上·柯桥期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
26．（2021九上·嘉兴期中）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3cm。
（1）求证： ；
（2）能否求出BD的长？如能，求出BD的长；如不能，说明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于
∴∠BAD+∠DCB=180°
∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠BAD=∠DCE=64°
∵∠BOD、∠BAD对着圆中同一段弧
∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°
故答案为：B
【分析】先求出∠BAD+∠DCB=180°，再求出∠BAD=∠DCE=64°，最后计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=72°，
∴∠BOD=2∠A=144°．
故答案为：A．
【分析】根据园内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可。
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接AC，如图，
∵BC是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为20°．
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出 ， ，再利用互余计算度数即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥AC于H，连接BO．
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ADC＝2∠ACB，
∴∠AOB＝∠ADC，
∴∠BOD＝∠BDO，
∴BD＝BO，
∴BD＝OA，
∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，
∴△BDE≌△AOH，（AAS），
∴DE＝AH，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝ AC，
∴AC＝2DE＝4．
故答案为：B
【分析】先求出BD＝OA，再利用AAS证明△BDE≌△AOH，最后计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 根据圆心角的定义对每个选项一一判断即可。
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，
∵ 点E是边BC的中点，
∴∠EOB=∠EOC=45°，
∵∠EOB=∠OED+∠EDB，∠EOC=∠OEA+∠EAC，
∴ ∠AED+∠EAC+∠EDB＝∠OEA+∠EAC+∠OED+∠EDB=∠EOB+∠EOC=90°，
故①正确；
②连接AF，
∵PF⊥AE，
∴∠APF=∠ABC=90°，
∴A、P、B、F四点共线，
∴∠AFP=∠ABP=45°，
∴∠AFP=∠FAP=45°，
∴AP=FP，
故②正确；
③设BE=CE=a，则AB=BC=2a，
∴AE=a，OA=OB=OC=OD=a，
∴，
∴AE=AO，
故③正确；
④根据对称性得出△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=S四边形OPEQ=2，
∵OB=OD，BE=CE，
∴CD=2OE，OE⊥BC，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ=4，S△CDQ=8，
∴S△CDO=12，
∴S正方形ABCD=48，
故④错误；
⑤∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵△OPE≌△OQE，
∴PE=EQ，
∴CE·EF=EQ·DE，
故⑤正确；
∴ 正确的结论有4个.
故答案为：B.
【分析】①根据正方形的性质证出∠BOC=90°，∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角性质即可证出∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°；②先证出A、P、B、F四点共线，再根据圆周角定理得出∠AFP=∠ABP=45°，从而得出∠AFP=∠FAP=45°， 即可得出AP=FP；③设BE=CE=a，求出AE，AO的长，即可得出AE=AO；④利用对称性和相似三角形的判定与性质得出S△OEQ=2，S△ODQ=4，S△CDQ=8，纯粹从而得出S△CDO=12，即可而出S正方形ABCD=48；⑤证出△EPF∽△ECD，得出，根据△OPE≌△OQE，得出PE=EQ，即可得出CE·EF=EQ·DE.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∵ PA、PB分别与⊙O相切，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴∠P=360°-130°-90°-90°=50°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=2∠C=130°， 根据切线的性质得出∠OBP=∠OAP=90°，再利用四边形的内角和等于360°，即可得出∠P的度数.
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB和∠AOB所对的弧为AB弧，
∴∠AOB=2∠ACB，
∴∠AOB=2×35°=70°.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，列式求解即可.
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ED＝DC，
∴弧ED＝弧CD，
∴∠CBD＝∠DBE，
在△BDE和△BDC中，
∴△BDE≌△BDC（SAS）
∴∠BED＝∠BDE＝∠BDC＝∠BCD，
∵∠AED＋∠BED＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ADB，
∴
∴
设S△ADB=9x，则S△AED=4x，
∴S△EDB=S△DBC=9x-4x=5x，
∴ S四边形BCDE=10x
∴ △AED与四边形BCDE的面积之比为4x：10x=2：5.
故答案为：B.
【分析】连接BD，利用圆周角定理可证得∠CBD＝∠DBE，利用SAS证明△BDE≌△BDC，利用全等三角形的性质可证得∠BED＝∠BDE＝∠BDC＝∠BCD，利用补角的性质可得到∠AED＝∠ADB；再证明△AED∽△ADB，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得到；设S△ADB=9x，则S△AED=4x，可表示出△EDB，△DBC的面积，即可表示出四边形BCDE的面积；然后求出△AED与四边形BCDE的面积之比.
10．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵ 将AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为B'
∴∠BAB＇=90°，
∴∠CAB＇=45°+90°=135°，
∴△AB＇C是钝角三角形，
∴AC和CB＇的垂直平分线的交点在△AB＇C外，
∴经过C、A、B'三点的圆的圆心不在①②③外.
故答案为：D.
【分析】利用等腰直角三角形的性质，可知∠CAB=45°，利用旋转的性质可求出∠BAB＇=90°，即可得到∠CAB＇的度数，可知△AB＇C是钝角三角形，钝角三角形的外心在三角形外，由此可得答案.
11．【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵ 对的圆周角是∠A，圆心角是∠EOD，
∴∠A＝ EOD，
∵∠A＝25°，
∴∠EOD＝50°，
∴∠AFC＝∠D+∠EOD＝25°+50°＝75°，
故答案为：75°
【分析】利用平行线的性质可求出∠D的度数，再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠EOD的度数；然后利用三角形外角的性质可得到∠AFC＝∠D+∠EOD，代入计算求出∠AFC的度数.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BO并延长BO交圆于D点，AD、BD、CD，过D作DH⊥AC，
∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠ADB=∠ACB=45°，∠BDC=∠BAC=60°，
∴AD=BD=2，CD=BD=2，
∵∠DAH=∠CBD=30°，∠DCH=∠ABD=45°，
CH=CD=，AH=AD=，
∴AC=AH+HC=+.
故答案为：+.
【分析】连接BO并延长BO交圆于D点，AD、BD、CD，过D作DH⊥AC，由圆周角的定理得出∠ADB=45°，∠BDC=60°，然后根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△AHD和△CHD中，利用三角函数求出AH和CH长，最后根据线段的和差关系即可得出结果.
13．【答案】120°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=180°-120°=60°，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD=2∠A=2×60°=120° .
故答案为：120°.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数；再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠BOD的度数.
14．【答案】（5，5）
【知识点】点的坐标；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
AB的垂直平分线是y=5，
BC的垂直平分线为y=x，
∴△ABC的外心为直线y=x与y=5的交点，
∴外心的坐标为（5，5）.
故答案为：（5，5）.
【分析】观察网格，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，即可求出外心的坐标.
15．【答案】45
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°.
故答案为：45.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠DCF＝∠BAC＝30°，由圆内接四边形的性质可得∠ABC、∠ADC的度数，由外角的性质可得∠E+∠DCF=∠ADC，据此求解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为斜边长的一半＝ ×13＝6.5.
故答案为：6.5.
【分析】首先由勾股定理求出AB，然后结合直角三角形斜边上中线的性质求解即可.
17．【答案】证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，推出，据此可得结论.
18．【答案】解：∵四边形 内接于 ，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°．
答：∠AOC的度数为120°．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠D＝180°，结合∠ABC的度数求出∠D的度数，然后利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC的度数.
19．【答案】解：∵∠ABC与∠ADC是 对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=68°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=68°，∠ACB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余的性质进行求解.
20．【答案】解：连接BC.
∴∠ADC=∠B，
∵∠ADC=50°，
∴∠B=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=40°，
∵∠CEB=∠ACD+∠BAC，∠ACD=60°，
∴∠CEB=60°+40°=100°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接BC，由圆周角定理可得∠ADC=∠B=50°，∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC的度数，再根据外角的性质得出∠CEB的度数.
21．【答案】证明： ，
，
，
、 是 的半径，
，
在 和 中，
，
.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOC，结合邻补角的性质可得∠AOE=∠BOE，证明△AOE≌△BOE，据此可得结论.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接OB、OC，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出∠C=75°，再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 为等边三角形， 最后计算求解即可。
23．【答案】（1）证明：连接OC，
∵ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ＝ ，
∴△OCD的面积＝ ×OD×CD＝ ，
同理可得，△OCE的面积＝ ×OE×CE＝ ，
∴四边形DOEC的面积＝ + ＝ ．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆心角定理得出∠AOC＝∠BOC，再根据角平分线的性质，即可得出 CD＝CE；
（2）先求出∠OCD＝30°，得出OD＝OC＝1，利用勾股定理得出CD的长，从而得出△OCD和 △OCE 的面积，利用四边形DOEC的面积=△OCD的面积+△OCE的面积，即可得出答案.
24．【答案】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ACB＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴ ，
∴OE OD，DE OD，CD OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∴AE CE＝DE BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴ OD OD＝24，
∴OD OA，
∴CD ，BD ，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC ．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得∠ABE+∠ADB＝90°，利用圆周角定理可证得∠ADB＝∠ACB，根据∠BAC＝2∠ABE，可证得∠ACB＝90° ∠BAC，再利用三角形的内角和定理可推出∠ACB=∠ABC，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠BEC＝3∠ABE；利用已知△BCE是等腰三角形，分情况讨论：BE＝BC；BC＝CE；BE＝CE，此时E，A重合，舍去，分别求出符合题意的∠BCE的度数.
（3）连接AO并延长，交BC于点F，利用圆周角定理可推出∠BCD=90°，可得到AF∥CD，利用平行线分线段成比例定理，可推出OE OD，DE OD，CD OA；再证明△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可求出CD，BD的长；然后利用勾股定理求出BC的长.
25．【答案】（1）证明：连接AE，
∵AC是直径，
∴∠AEC=90°即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE.
（2）解： 连接CD，
BC＝2BE＝8，
设AC＝x，则AD＝x 3，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△BCD中，CD2＝BC2 BD2=82 32＝55，
在Rt△ADC中，∵AD2＋CD2＝AC2，
∴（x 3）2＋55＝x2，
解之：.
∴AC的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1） 连接AE，利用圆周角定理可证得AE⊥BC，利用等腰三角形的性质可证得结论.
（2）连接CD，利用已知求出BC的长；设AC＝x，则AD＝x 3，利用圆周角定理可证得∠ADC＝90°，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AC的长.
26．【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB，
即：∠DOB＝∠COA，
∴
（2）解：∵
∴BD＝AC，
∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)利用角的和差关系求出 ∠DOB＝∠COA，根据圆心角和弧的关系得出；
(2)根据等弧对等弦得出BD=AC，即可解答.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.2圆心角圆周角 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于 ，如果它的一个外角 ，那么 的度数为（ ）
A．64° B．128° C．20° D．116°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于
∴∠BAD+∠DCB=180°
∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠BAD=∠DCE=64°
∵∠BOD、∠BAD对着圆中同一段弧
∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°
故答案为：B
【分析】先求出∠BAD+∠DCB=180°，再求出∠BAD=∠DCE=64°，最后计算求解即可。
2．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，四边形 内接于 ，若它的一个外角 ，则 等于（ ）
A．144° B．70° C．110° D．140°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=72°，
∴∠BOD=2∠A=144°．
故答案为：A．
【分析】根据园内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可。
3．（2021九上·鲅鱼圈期中）如图，BC是 的直径，A，D是 上的两点，连接AB，AD，BD，若 ，则 的度数是（ ）
A．20° B．70° C．30° D．90°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接AC，如图，
∵BC是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为20°．
故答案为：A．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出 ， ，再利用互余计算度数即可。
4．（2021九上·东光期中）已知O是 的外心，连接AO并延长交BC于D， ，过D作 于E，若 ，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥AC于H，连接BO．
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ADC＝2∠ACB，
∴∠AOB＝∠ADC，
∴∠BOD＝∠BDO，
∴BD＝BO，
∴BD＝OA，
∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，
∴△BDE≌△AOH，（AAS），
∴DE＝AH，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝ AC，
∴AC＝2DE＝4．
故答案为：B
【分析】先求出BD＝OA，再利用AAS证明△BDE≌△AOH，最后计算求解即可。
5．（2021九上·东光期中）下列图形中， 为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 根据圆心角的定义对每个选项一一判断即可。
6．（2021九上·福田期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：
①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE＝ AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE EF＝EQ DE．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=∠ABC=90°，OA=OB=OC=OD，
∵ 点E是边BC的中点，
∴∠EOB=∠EOC=45°，
∵∠EOB=∠OED+∠EDB，∠EOC=∠OEA+∠EAC，
∴ ∠AED+∠EAC+∠EDB＝∠OEA+∠EAC+∠OED+∠EDB=∠EOB+∠EOC=90°，
故①正确；
②连接AF，
∵PF⊥AE，
∴∠APF=∠ABC=90°，
∴A、P、B、F四点共线，
∴∠AFP=∠ABP=45°，
∴∠AFP=∠FAP=45°，
∴AP=FP，
故②正确；
③设BE=CE=a，则AB=BC=2a，
∴AE=a，OA=OB=OC=OD=a，
∴，
∴AE=AO，
故③正确；
④根据对称性得出△OPE≌△OQE，
∴S△OEQ=S四边形OPEQ=2，
∵OB=OD，BE=CE，
∴CD=2OE，OE⊥BC，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ=4，S△CDQ=8，
∴S△CDO=12，
∴S正方形ABCD=48，
故④错误；
⑤∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵△OPE≌△OQE，
∴PE=EQ，
∴CE·EF=EQ·DE，
故⑤正确；
∴ 正确的结论有4个.
故答案为：B.
【分析】①根据正方形的性质证出∠BOC=90°，∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角性质即可证出∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°；②先证出A、P、B、F四点共线，再根据圆周角定理得出∠AFP=∠ABP=45°，从而得出∠AFP=∠FAP=45°， 即可得出AP=FP；③设BE=CE=a，求出AE，AO的长，即可得出AE=AO；④利用对称性和相似三角形的判定与性质得出S△OEQ=2，S△ODQ=4，S△CDQ=8，纯粹从而得出S△CDO=12，即可而出S正方形ABCD=48；⑤证出△EPF∽△ECD，得出，根据△OPE≌△OQE，得出PE=EQ，即可得出CE·EF=EQ·DE.
7．（2021九上·无棣期中）如图，PA、PB分别与⊙O相切于小B网点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∵ PA、PB分别与⊙O相切，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴∠P=360°-130°-90°-90°=50°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=2∠C=130°， 根据切线的性质得出∠OBP=∠OAP=90°，再利用四边形的内角和等于360°，即可得出∠P的度数.
8．（2021九上·台州期中）如图，A ，B，C是⊙O上的三点，且∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．35° B．65° C．70° D．90°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB和∠AOB所对的弧为AB弧，
∴∠AOB=2∠ACB，
∴∠AOB=2×35°=70°.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，列式求解即可.
9．（2021九上·柯桥期中）如图，在△ABC中，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E，连接DE，若ED＝DC，AD＝3，AE＝2，则△AED与四边形BCDE的面积之比是（ ）
A．9：14 B．2：5 C．6：7 D．3：7
【答案】B
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BD，
∵ED＝DC，
∴弧ED＝弧CD，
∴∠CBD＝∠DBE，
在△BDE和△BDC中，
∴△BDE≌△BDC（SAS）
∴∠BED＝∠BDE＝∠BDC＝∠BCD，
∵∠AED＋∠BED＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ADB，
∴
∴
设S△ADB=9x，则S△AED=4x，
∴S△EDB=S△DBC=9x-4x=5x，
∴ S四边形BCDE=10x
∴ △AED与四边形BCDE的面积之比为4x：10x=2：5.
故答案为：B.
【分析】连接BD，利用圆周角定理可证得∠CBD＝∠DBE，利用SAS证明△BDE≌△BDC，利用全等三角形的性质可证得∠BED＝∠BDE＝∠BDC＝∠BCD，利用补角的性质可得到∠AED＝∠ADB；再证明△AED∽△ADB，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得到；设S△ADB=9x，则S△AED=4x，可表示出△EDB，△DBC的面积，即可表示出四边形BCDE的面积；然后求出△AED与四边形BCDE的面积之比.
10．（2021九上·柯桥期中）已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，将AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为B'，连接BB'、CB'、AB与CB交于点D．则经过C、A、B'三点的圆的圆心在以下哪个区域（ ）
A．① B．② C．③ D．以上都错
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∵ 将AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为B'
∴∠BAB＇=90°，
∴∠CAB＇=45°+90°=135°，
∴△AB＇C是钝角三角形，
∴AC和CB＇的垂直平分线的交点在△AB＇C外，
∴经过C、A、B'三点的圆的圆心不在①②③外.
故答案为：D.
【分析】利用等腰直角三角形的性质，可知∠CAB=45°，利用旋转的性质可求出∠BAB＇=90°，即可得到∠CAB＇的度数，可知△AB＇C是钝角三角形，钝角三角形的外心在三角形外，由此可得答案.
二、填空题
11．（2021九上·西湖月考）如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝ ．
【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵ 对的圆周角是∠A，圆心角是∠EOD，
∴∠A＝ EOD，
∵∠A＝25°，
∴∠EOD＝50°，
∴∠AFC＝∠D+∠EOD＝25°+50°＝75°，
故答案为：75°
【分析】利用平行线的性质可求出∠D的度数，再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠EOD的度数；然后利用三角形外角的性质可得到∠AFC＝∠D+∠EOD，代入计算求出∠AFC的度数.
12．（2021九上·台州期中）如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，若∠A＝60°，∠C＝45°，则AC＝ ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BO并延长BO交圆于D点，AD、BD、CD，过D作DH⊥AC，
∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠ADB=∠ACB=45°，∠BDC=∠BAC=60°，
∴AD=BD=2，CD=BD=2，
∵∠DAH=∠CBD=30°，∠DCH=∠ABD=45°，
CH=CD=，AH=AD=，
∴AC=AH+HC=+.
故答案为：+.
【分析】连接BO并延长BO交圆于D点，AD、BD、CD，过D作DH⊥AC，由圆周角的定理得出∠ADB=45°，∠BDC=60°，然后根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出AD和CD的长，然后在Rt△AHD和△CHD中，利用三角函数求出AH和CH长，最后根据线段的和差关系即可得出结果.
13．（2021九上·柯桥期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C＝120°，则∠BOD＝ ．
【答案】120°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠A=180°-120°=60°，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD=2∠A=2×60°=120° .
故答案为：120°.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数；再利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠BOD的度数.
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 。
【答案】（5，5）
【知识点】点的坐标；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
AB的垂直平分线是y=5，
BC的垂直平分线为y=x，
∴△ABC的外心为直线y=x与y=5的交点，
∴外心的坐标为（5，5）.
故答案为：（5，5）.
【分析】观察网格，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，即可求出外心的坐标.
15．（2021九上·萧山期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度.
【答案】45
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°.
故答案为：45.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠DCF＝∠BAC＝30°，由圆内接四边形的性质可得∠ABC、∠ADC的度数，由外角的性质可得∠E+∠DCF=∠ADC，据此求解.
16．（2021九上·鹿城期中）已知 中， ， 则 的外接圆半径是
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为斜边长的一半＝ ×13＝6.5.
故答案为：6.5.
【分析】首先由勾股定理求出AB，然后结合直角三角形斜边上中线的性质求解即可.
三、解答题
17．（2021九上·鹿城期中）已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.
【答案】证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，推出，据此可得结论.
18．（2021九上·汉滨期中）如图，四边形 内接于 ，若 ，求 的大小．
【答案】解：∵四边形 内接于 ，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°．
答：∠AOC的度数为120°．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠D＝180°，结合∠ABC的度数求出∠D的度数，然后利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC的度数.
19．（2021九上·思明期中）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求∠BAC.
【答案】解：∵∠ABC与∠ADC是 对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=68°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=68°，∠ACB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余的性质进行求解.
20．（2021九上·灌云期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度数.
【答案】解：连接BC.
∴∠ADC=∠B，
∵∠ADC=50°，
∴∠B=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=40°，
∵∠CEB=∠ACD+∠BAC，∠ACD=60°，
∴∠CEB=60°+40°=100°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接BC，由圆周角定理可得∠ADC=∠B=50°，∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC的度数，再根据外角的性质得出∠CEB的度数.
21．（2021九上·邗江月考）如图，在 中， 为 的直径， ，点 为 上任意一点（不与 、 重合）.
求证： .
【答案】证明： ，
，
，
、 是 的半径，
，
在 和 中，
，
.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOC，结合邻补角的性质可得∠AOE=∠BOE，证明△AOE≌△BOE，据此可得结论.
四、综合题
22．（2021九上·东光期中）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD， ， ．
（1）求证： ；
（2）若圆O的半径为3，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接OB、OC，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出∠C=75°，再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 为等边三角形， 最后计算求解即可。
23．（2021九上·无棣期中）如图，在⊙O中， ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ＝ ，
∴△OCD的面积＝ ×OD×CD＝ ，
同理可得，△OCE的面积＝ ×OE×CE＝ ，
∴四边形DOEC的面积＝ + ＝ ．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆心角定理得出∠AOC＝∠BOC，再根据角平分线的性质，即可得出 CD＝CE；
（2）先求出∠OCD＝30°，得出OD＝OC＝1，利用勾股定理得出CD的长，从而得出△OCD和 △OCE 的面积，利用四边形DOEC的面积=△OCD的面积+△OCE的面积，即可得出答案.
24．（2021九上·西湖月考）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
【答案】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ACB＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴ ，
∴OE OD，DE OD，CD OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∴AE CE＝DE BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴ OD OD＝24，
∴OD OA，
∴CD ，BD ，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC ．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得∠ABE+∠ADB＝90°，利用圆周角定理可证得∠ADB＝∠ACB，根据∠BAC＝2∠ABE，可证得∠ACB＝90° ∠BAC，再利用三角形的内角和定理可推出∠ACB=∠ABC，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠BEC＝3∠ABE；利用已知△BCE是等腰三角形，分情况讨论：BE＝BC；BC＝CE；BE＝CE，此时E，A重合，舍去，分别求出符合题意的∠BCE的度数.
（3）连接AO并延长，交BC于点F，利用圆周角定理可推出∠BCD=90°，可得到AF∥CD，利用平行线分线段成比例定理，可推出OE OD，DE OD，CD OA；再证明△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可求出CD，BD的长；然后利用勾股定理求出BC的长.
25．（2021九上·柯桥期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接AE，
∵AC是直径，
∴∠AEC=90°即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE.
（2）解： 连接CD，
BC＝2BE＝8，
设AC＝x，则AD＝x 3，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△BCD中，CD2＝BC2 BD2=82 32＝55，
在Rt△ADC中，∵AD2＋CD2＝AC2，
∴（x 3）2＋55＝x2，
解之：.
∴AC的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1） 连接AE，利用圆周角定理可证得AE⊥BC，利用等腰三角形的性质可证得结论.
（2）连接CD，利用已知求出BC的长；设AC＝x，则AD＝x 3，利用圆周角定理可证得∠ADC＝90°，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AC的长.
26．（2021九上·嘉兴期中）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3cm。
（1）求证： ；
（2）能否求出BD的长？如能，求出BD的长；如不能，说明理由。
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB，
即：∠DOB＝∠COA，
∴
（2）解：∵
∴BD＝AC，
∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)利用角的和差关系求出 ∠DOB＝∠COA，根据圆心角和弧的关系得出；
(2)根据等弧对等弦得出BD=AC，即可解答.
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