湘教版初中数学九年级下册2.3垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·金乡期中）在 中，直径 弦 于点 若 ，则 的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图连接OD
∵直径AB＝15，
∴DO=BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝
∴DE＝2DC＝12．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案。
2．（2021九上·建华期中）如图， 的弦AB垂直平分半径OC，若 ，则 的半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵弦AB垂直平分OC，
∴ ， ，
∴D为AB中点，即 ，
设圆的半径为r，则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
则 的半径为6，
故答案为：D．
【分析】连接OA，利用垂径定理可得，再利用勾股定理列出等式，将数据代入计算即可。
3．（2021九上·金东期中）如图，在半径为5的⊙ 中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接 OA 过 作 垂足分别为 而
四边形 为矩形，
同理：
四边形 为正方形，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，过O作OF⊥AB，OE⊥CD，垂足分别为F、E，则 四边形OEPF为矩形，由垂径定理可得AF=BF=4，结合勾股定理求出OF，同理可得OE，推出四边形OEPF为正方形，则FP=FO=3，然后由勾股定理可得OP的值.
4．（2021九上·鸡西期中）如图， 是 的直径，弦 于点M， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM= =4，
∴CD=8．
故答案为：C．
【分析】先求出直径AB的长，再求出半径CO=AO=5，结合AM=2，即可得到OM=3，最后利用勾股定理求出CM的长，最后利用垂径定理可得CD=2CM。
5．（2021九上·宜兴期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE= AB= ×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）.
故答案为：D.
【分析】连接OA，设CD=2x，则OC=x，由垂径定理可得AE=BE=5寸，然后在Rt△AOE中，应用勾股定理求出x，进而可得CD.
6．（2021九上·无锡期中）如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个.
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，AP=BP=4，此时OP最短，在Rt△AOP中，应用勾股定理求出OP；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，据此可得OP的范围，结合OP长为整数可得OP的长，进而可得点P的个数.
7．（2021九上·黄石期中）如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A．2 cm B． cm C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作半径OE⊥AB于D，连接OA，则AD=BD，
根据题意得：OD= OE=1cm，则在直角△AOD中，由勾股定理得：AD= cm，
∴AB=2 cm.
故答案为：C.
【分析】作OE⊥AB于D，连接OA，由垂径定理可得AD=BD，根据折叠的性质可得：OD=OE=1cm，利用勾股定理求出AD，进而可得AB.
8．（2021九上·温州期中）如图，AB是⊙O的一条弦， ， =120°，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（ ）
A． B． C．13 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，
∴BF=，∠BFO=∠DEO=∠CFO=∠CEO=∠ECF=90°，
∴四边形CEFO是矩形，
∴CE=OF，CF=OE
∵弧AB=120°，
∴∠BOF=×120°=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴设OB=2OF=2x
在Rt△BOF中
4x2-x2=（）2
解之：x=5（取正值）
∴OB=OD=2×5=10，OF=5
∵
解之：BC=6+
∴CF=BC-BF=6+-=6
∴OE=6，CE=5
在Rt△DOE中
∴CD=CE+DE=5+8=13.
故答案为：C.
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，利用垂径定理可求出BF的长，同时可证得四边形CEFO是矩形，利用矩形的性质可知CE=OF，CF=OE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系，可得到∠BOF的度数，同时可求出∠B的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设OB=2OF=2x，利用勾股定理求出x的值，可得到OB，OF的长，结合已知求出BC的长，即可得到CF的长；再求出OE，CE的长；然后利用勾股定理求出DE的长，根据CD=CE+DE，代入计算求出CD的长.
9．（2021九上·拱墅期中）如图.在⊙O中，直径AB⊥CD，下列说法不正确的是（ ）
A．AB是最长的弦 B．∠ADB＝90°
C．PC=PD D．∠ABD＝2∠ADC
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径AB⊥CD，
∴AB是最长的弦，
∴选项A不符合题意；
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴选项B不符合题意；
∵直径AB⊥CD，
∴PC=PD，
∴选项C不符合题意；
∵直径AB⊥CD，
∴ ，
∴∠ABD＝∠ADC
∴选项D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】直径是圆中最长的弦，据此判断A；根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，据此判断B；根据垂径定理可得PC=PD，据此判断C；由垂径定理可得 ，根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD＝∠ADC，据此判断D.
10．（2021九上·灌云期中）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确；
B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确；
D、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的对称性可判断A、B；根据弧与圆心角的关系可判断C；根据垂径定理可判断D.
二、填空题
11．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB是⊙O的直径，弦 ，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为 ；
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝ ，
∴AE＝OA OE＝5 3＝2，
故答案为：2．
【分析】连接OC，利用直径AB＝10，则OC＝OA＝5，再由CD⊥AB，根据垂径定理得出CE＝DE＝ CD＝4，再利用勾股定理计算出OE，再利用AE＝OA OE进行计算即可。
12．（2021九上·拜泉期中）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝ 度．
【答案】25
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=50°，
∴∠ABD= ∠AOD=25°．
【分析】先求出∠AOD=∠BOD= ∠AOB=50°，再计算求解即可。
13．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，则⊙O上到弦AB所在直线的距离等于2的点有 个．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线CE，交AB于点D，交圆于点E，C，
∴CE是圆的直径，
∵AB=6，
∴AD=3，
∴，
∴CD=OC-4=5-4=1＜2，
∴在劣弧AB上，没有到弦AB所在的直线的距离为2的点；
在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个
∴⊙O上到弦AB所在直线的距离等于2的点有2个.
故答案为：2.
【分析】作AB的垂直平分线CE，交AB于点D，交圆于点E，C，利用垂径定理可得到CE是圆的直径，同时可求出AD的长，利用勾股定理求出OD的长；从而可求出CD的长，可推出在劣弧AB上，没有到弦AB所在的直线的距离为2的点；在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，由此可得答案.
14．（2021九上·鹿城期中）如图，
为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
15．（2021九上·汉滨期中）如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有 个．
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；
②中，同①的证明方法；
③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；
④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分，进而根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明.
故答案为：4.
【分析】由∠COA=∠AOD=60°可得△AOC、△AOD均为等边三角形，则OC=AC=OD=AD，据此判断①；由AC＝AD＝OA可得OC=AC=OD=AD，据此判断②；由中点的概念可得CE=ED、AE=OE，根据等腰三角形的性质可得AO⊥CD，据此判断③；由∠ACO=60°可得△ACO为等边三角形，根据AO⊥CD可得点E为AO的中点，据此判断④.
16．（2021九上·津南期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= cm．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CE=ED=4cm，
在Rt△OEC中，OE= =3(cm)，
∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，
故答案为8．
【分析】先求出CE=ED=4cm，再利用勾股定理求出OE=3cm，最后计算求解即可。
三、作图题
17．（2021九上·龙泉期中）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图.（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图②中的圆上找一点E，使OE平分AC.
【答案】（1）解：如图，根据圆的直径所对的圆周角等于 ，找到圆与格点的交点即可；
（2）解：如图，根据垂径定理找到 的垂直平分线与圆的交点即可，找到等腰三角形 ，则 ，作直线 与圆的交点即为所求的点 ，则OE平分AC.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆的直径所对的圆周角等于90°，找到圆与格点的交点，再连接DA、DB即可；
（2）找到等腰△AFC，则FA=FC，作直线OF与圆的交点即为所求的点E，则OE平分AC.
18．（2021九上·武汉期末）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙P经过A，B两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）.
（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；
（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG=FA.
【答案】（1）解： 如图，点P，线段BD即为所求作.
（2）解： 如图，点P，线段FG即为所求作.
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）取格点T，连接AT交BC于点P，连接AC，取AC的中点W，作射线PW交⊙P于点D，连接BD即可；
（2）取格点J，连接AB，AJ延长AJ交⊙P于Q，连接BQ可得圆心P，取格点R，⊙P与格线的交点D，连接FR，DR，作DR交⊙P于G，连接FG，可证FA＝FR＝FG，线段FG即为所求作.
19．（2021九上·嘉兴期末）如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O为圆心，AB为直径，点A，B，C，D是半圆弧与平行线的交点.只用无刻度的直尺作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BD边上的中线CE.
（2）在图2中作∠BCD的角平分线CF.
【答案】（1）解：过点O作OE⊥BD于点E，连接CE，
即CE就是所求作的线段；
（2）解：过点O作OF⊥BD叫圆O于点F，作射线CF，即CF就是所求作的角平分线.
【知识点】垂径定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用垂径定理，作OD⊥BD于点E，连接CE即可。
（2）利用垂径定理，作OD⊥BD交圆O于点F，然后作射线CF即可。
四、解答题
20．已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
【答案】解：证明：过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，
∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）
∴AD=AE，
∴AB=AC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，利用垂径定理可证得AB=2AD，AC=2AE，利用角平分线的性质可证得OD=OE，利用HL可证得Rt△ADO≌Rt△AEO，可推出AE=AD，由此可证得结论.
21．（2021九上·北京月考）如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ， ，求 的半径．
【答案】解：连接AO，
∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AC=BC=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即：R2=（R-2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，设⊙O的半径为R，则OA=R，OC=R-2，利用垂径定理的推论得出OC⊥AB，AC=BC=6，利用勾股定理得出R2=（R-2）2+62，再解方程即可。
22．（2021九上·宿迁月考）如图，已知 为 的弦，且 ，求证： 是等腰三角形.
【答案】证明：从O向AB引垂线，交点为E，
则根据垂径定理可知AE＝BE
∵AC＝BD，
∴CE＝DE.
∴OE是CD的垂直平分线.
所以OC＝OD.
∴△OCD为等腰三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】 从O向AB引垂线，交点为E， 根据垂径定理得出AE＝BE，根据线段间的和差关系推出CE＝DE，则可判断出OE是CD的垂直平分线，得到OC=OD，即可得证.
五、综合题
23．（2021九上·台州期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝ ，BC＝4，求半径OA的长．
【答案】（1）证明：延长AO交弧BFC于F，
∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，
又∵AF经过O
∴AF平分弦BC所对的弧
即弧BF=弧CF
∴∠BAF=∠CAF
所以AO平分∠BAC （连接AO、CO证全等也可）
（2）解：如图，连接BO，
又（1）知AO平分∠BAC
∴AE⊥BC
在Rt△ABE中， ，
在Rt△OBE中，
即
解之，AO= 2.5，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1) 延长AO交弧BFC于F， 根据垂径定理求出AF平分弦BC所对的弧，则可得出∠BAF=∠CAF，即可得证；
(2)连接BO， 根据垂径定理知AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理建立关于AO的方程求解即可.
24．（2021九上·嘉兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF。
（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若AF：BC＝3：8，BE＝4，求⊙O的直径。
【答案】（1）证明：连接CE．
∵AC＝AE，
∴ ，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴FG⊥CE，
∴AD∥FG，
∵CF，AD是直径，
∴∠ACD＝∠CAF＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ADGF是平行四边形．
（2）解：∵∠AOF＝∠COD，
∴ ，
∴AF＝CD，
∵四边形ADGF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵AF：BC＝3：8，
∴BG：DG＝2：3，
∵EG∥AD，
∴ ，
∵BE＝4，
∴AE＝AC＝6，
∴AB＝10，BC＝ ＝8，
∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，
∴CD＝GD＝3，BG＝2，
∴AD＝ ＝3 ，
∴⊙O的直径为3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；垂径定理；圆周角定理；平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AD⊥CE，然后根据圆周角定理求出FG⊥CE，可得AD∥FG，根据直径所对的圆周角是直角求出∠CAF+∠ACD＝180°，可得AF∥BC，从而证出四边形ADGF是平行四边形．
(2) 根据平行四边形的性质和圆心角和弦的关系求出AF=CD=DG，可得BG：DG=2： 3，利用平行线分线段成比例定理求出AE、AC，再利用勾股定理求出BC、CD，即可求出结果.
25．如图．在⊙O中，AB为直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD＝2 ，AE＝5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连结CF，当∠FCD＝ ∠DOB时，直接写出EF的长，并在图中标出F点的具体位置．
【答案】（1）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴DE=，
设圆的半径为r，则OE=5-r，
∵OE2+DE2=OD2即
解之：r=3.
（2）解：EF=1
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：（2）连接CB，作点B关于CD的对称点F，点F就是所求作的点.
∴∠FCD=∠BCD，BE=EF
∵弧BD=弧BD
∴∠BCD=∠FCD=∠BOD
∵OE=5-3=2，
∴EF=BE=OB-OE=3-2=1.
【分析】（1）利用垂径定理求出DE的长，设圆的半径为r，再利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）连接BC，作点B关于CD的对称点F，点F就是所求作的点；利用圆周角定理可证得∠FCD=∠BOD；再求出OE的长，根据EF=BE=OB-OE，代入计算求出EF的长.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.3垂径定理 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·金乡期中）在 中，直径 弦 于点 若 ，则 的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．（2021九上·建华期中）如图， 的弦AB垂直平分半径OC，若 ，则 的半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
3．（2021九上·金东期中）如图，在半径为5的⊙ 中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
4．（2021九上·鸡西期中）如图， 是 的直径，弦 于点M， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
5．（2021九上·宜兴期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
6．（2021九上·无锡期中）如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
7．（2021九上·黄石期中）如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A．2 cm B． cm C． D．
8．（2021九上·温州期中）如图，AB是⊙O的一条弦， ， =120°，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（ ）
A． B． C．13 D．12
9．（2021九上·拱墅期中）如图.在⊙O中，直径AB⊥CD，下列说法不正确的是（ ）
A．AB是最长的弦 B．∠ADB＝90°
C．PC=PD D．∠ABD＝2∠ADC
10．（2021九上·灌云期中）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
二、填空题
11．（2021九上·鄂尔多斯期中）如图，AB是⊙O的直径，弦 ，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为 ；
12．（2021九上·拜泉期中）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝ 度．
13．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，则⊙O上到弦AB所在直线的距离等于2的点有 个．
14．（2021九上·鹿城期中）如图，
为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
15．（2021九上·汉滨期中）如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有 个．
16．（2021九上·津南期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= cm．
三、作图题
17．（2021九上·龙泉期中）如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图.（保留作图痕迹）
（1）在图①中的圆上找一格点D，使得∠ADB＝90°；
（2）在图②中的圆上找一点E，使OE平分AC.
18．（2021九上·武汉期末）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙P经过A，B两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）.
（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；
（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG=FA.
19．（2021九上·嘉兴期末）如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O为圆心，AB为直径，点A，B，C，D是半圆弧与平行线的交点.只用无刻度的直尺作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BD边上的中线CE.
（2）在图2中作∠BCD的角平分线CF.
四、解答题
20．已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
21．（2021九上·北京月考）如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ， ，求 的半径．
22．（2021九上·宿迁月考）如图，已知 为 的弦，且 ，求证： 是等腰三角形.
五、综合题
23．（2021九上·台州期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝ ，BC＝4，求半径OA的长．
24．（2021九上·嘉兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF。
（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若AF：BC＝3：8，BE＝4，求⊙O的直径。
25．如图．在⊙O中，AB为直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD＝2 ，AE＝5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连结CF，当∠FCD＝ ∠DOB时，直接写出EF的长，并在图中标出F点的具体位置．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图连接OD
∵直径AB＝15，
∴DO=BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝
∴DE＝2DC＝12．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵弦AB垂直平分OC，
∴ ， ，
∴D为AB中点，即 ，
设圆的半径为r，则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
则 的半径为6，
故答案为：D．
【分析】连接OA，利用垂径定理可得，再利用勾股定理列出等式，将数据代入计算即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接 OA 过 作 垂足分别为 而
四边形 为矩形，
同理：
四边形 为正方形，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，过O作OF⊥AB，OE⊥CD，垂足分别为F、E，则 四边形OEPF为矩形，由垂径定理可得AF=BF=4，结合勾股定理求出OF，同理可得OE，推出四边形OEPF为正方形，则FP=FO=3，然后由勾股定理可得OP的值.
4．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM= =4，
∴CD=8．
故答案为：C．
【分析】先求出直径AB的长，再求出半径CO=AO=5，结合AM=2，即可得到OM=3，最后利用勾股定理求出CM的长，最后利用垂径定理可得CD=2CM。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE= AB= ×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）.
故答案为：D.
【分析】连接OA，设CD=2x，则OC=x，由垂径定理可得AE=BE=5寸，然后在Rt△AOE中，应用勾股定理求出x，进而可得CD.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个.
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，AP=BP=4，此时OP最短，在Rt△AOP中，应用勾股定理求出OP；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，据此可得OP的范围，结合OP长为整数可得OP的长，进而可得点P的个数.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作半径OE⊥AB于D，连接OA，则AD=BD，
根据题意得：OD= OE=1cm，则在直角△AOD中，由勾股定理得：AD= cm，
∴AB=2 cm.
故答案为：C.
【分析】作OE⊥AB于D，连接OA，由垂径定理可得AD=BD，根据折叠的性质可得：OD=OE=1cm，利用勾股定理求出AD，进而可得AB.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，
∴BF=，∠BFO=∠DEO=∠CFO=∠CEO=∠ECF=90°，
∴四边形CEFO是矩形，
∴CE=OF，CF=OE
∵弧AB=120°，
∴∠BOF=×120°=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴设OB=2OF=2x
在Rt△BOF中
4x2-x2=（）2
解之：x=5（取正值）
∴OB=OD=2×5=10，OF=5
∵
解之：BC=6+
∴CF=BC-BF=6+-=6
∴OE=6，CE=5
在Rt△DOE中
∴CD=CE+DE=5+8=13.
故答案为：C.
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，利用垂径定理可求出BF的长，同时可证得四边形CEFO是矩形，利用矩形的性质可知CE=OF，CF=OE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系，可得到∠BOF的度数，同时可求出∠B的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设OB=2OF=2x，利用勾股定理求出x的值，可得到OB，OF的长，结合已知求出BC的长，即可得到CF的长；再求出OE，CE的长；然后利用勾股定理求出DE的长，根据CD=CE+DE，代入计算求出CD的长.
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径AB⊥CD，
∴AB是最长的弦，
∴选项A不符合题意；
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴选项B不符合题意；
∵直径AB⊥CD，
∴PC=PD，
∴选项C不符合题意；
∵直径AB⊥CD，
∴ ，
∴∠ABD＝∠ADC
∴选项D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】直径是圆中最长的弦，据此判断A；根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，据此判断B；根据垂径定理可得PC=PD，据此判断C；由垂径定理可得 ，根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD＝∠ADC，据此判断D.
10．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确；
B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确；
D、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的对称性可判断A、B；根据弧与圆心角的关系可判断C；根据垂径定理可判断D.
11．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝ ，
∴AE＝OA OE＝5 3＝2，
故答案为：2．
【分析】连接OC，利用直径AB＝10，则OC＝OA＝5，再由CD⊥AB，根据垂径定理得出CE＝DE＝ CD＝4，再利用勾股定理计算出OE，再利用AE＝OA OE进行计算即可。
12．【答案】25
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=50°，
∴∠ABD= ∠AOD=25°．
【分析】先求出∠AOD=∠BOD= ∠AOB=50°，再计算求解即可。
13．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作AB的垂直平分线CE，交AB于点D，交圆于点E，C，
∴CE是圆的直径，
∵AB=6，
∴AD=3，
∴，
∴CD=OC-4=5-4=1＜2，
∴在劣弧AB上，没有到弦AB所在的直线的距离为2的点；
在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个
∴⊙O上到弦AB所在直线的距离等于2的点有2个.
故答案为：2.
【分析】作AB的垂直平分线CE，交AB于点D，交圆于点E，C，利用垂径定理可得到CE是圆的直径，同时可求出AD的长，利用勾股定理求出OD的长；从而可求出CD的长，可推出在劣弧AB上，没有到弦AB所在的直线的距离为2的点；在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，由此可得答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
15．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；
②中，同①的证明方法；
③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；
④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分，进而根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明.
故答案为：4.
【分析】由∠COA=∠AOD=60°可得△AOC、△AOD均为等边三角形，则OC=AC=OD=AD，据此判断①；由AC＝AD＝OA可得OC=AC=OD=AD，据此判断②；由中点的概念可得CE=ED、AE=OE，根据等腰三角形的性质可得AO⊥CD，据此判断③；由∠ACO=60°可得△ACO为等边三角形，根据AO⊥CD可得点E为AO的中点，据此判断④.
16．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CE=ED=4cm，
在Rt△OEC中，OE= =3(cm)，
∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，
故答案为8．
【分析】先求出CE=ED=4cm，再利用勾股定理求出OE=3cm，最后计算求解即可。
17．【答案】（1）解：如图，根据圆的直径所对的圆周角等于 ，找到圆与格点的交点即可；
（2）解：如图，根据垂径定理找到 的垂直平分线与圆的交点即可，找到等腰三角形 ，则 ，作直线 与圆的交点即为所求的点 ，则OE平分AC.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆的直径所对的圆周角等于90°，找到圆与格点的交点，再连接DA、DB即可；
（2）找到等腰△AFC，则FA=FC，作直线OF与圆的交点即为所求的点E，则OE平分AC.
18．【答案】（1）解： 如图，点P，线段BD即为所求作.
（2）解： 如图，点P，线段FG即为所求作.
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）取格点T，连接AT交BC于点P，连接AC，取AC的中点W，作射线PW交⊙P于点D，连接BD即可；
（2）取格点J，连接AB，AJ延长AJ交⊙P于Q，连接BQ可得圆心P，取格点R，⊙P与格线的交点D，连接FR，DR，作DR交⊙P于G，连接FG，可证FA＝FR＝FG，线段FG即为所求作.
19．【答案】（1）解：过点O作OE⊥BD于点E，连接CE，
即CE就是所求作的线段；
（2）解：过点O作OF⊥BD叫圆O于点F，作射线CF，即CF就是所求作的角平分线.
【知识点】垂径定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）利用垂径定理，作OD⊥BD于点E，连接CE即可。
（2）利用垂径定理，作OD⊥BD交圆O于点F，然后作射线CF即可。
20．【答案】解：证明：过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，
∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）
∴AD=AE，
∴AB=AC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，利用垂径定理可证得AB=2AD，AC=2AE，利用角平分线的性质可证得OD=OE，利用HL可证得Rt△ADO≌Rt△AEO，可推出AE=AD，由此可证得结论.
21．【答案】解：连接AO，
∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AC=BC=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即：R2=（R-2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，设⊙O的半径为R，则OA=R，OC=R-2，利用垂径定理的推论得出OC⊥AB，AC=BC=6，利用勾股定理得出R2=（R-2）2+62，再解方程即可。
22．【答案】证明：从O向AB引垂线，交点为E，
则根据垂径定理可知AE＝BE
∵AC＝BD，
∴CE＝DE.
∴OE是CD的垂直平分线.
所以OC＝OD.
∴△OCD为等腰三角形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】 从O向AB引垂线，交点为E， 根据垂径定理得出AE＝BE，根据线段间的和差关系推出CE＝DE，则可判断出OE是CD的垂直平分线，得到OC=OD，即可得证.
23．【答案】（1）证明：延长AO交弧BFC于F，
∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，
又∵AF经过O
∴AF平分弦BC所对的弧
即弧BF=弧CF
∴∠BAF=∠CAF
所以AO平分∠BAC （连接AO、CO证全等也可）
（2）解：如图，连接BO，
又（1）知AO平分∠BAC
∴AE⊥BC
在Rt△ABE中， ，
在Rt△OBE中，
即
解之，AO= 2.5，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1) 延长AO交弧BFC于F， 根据垂径定理求出AF平分弦BC所对的弧，则可得出∠BAF=∠CAF，即可得证；
(2)连接BO， 根据垂径定理知AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理建立关于AO的方程求解即可.
24．【答案】（1）证明：连接CE．
∵AC＝AE，
∴ ，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴FG⊥CE，
∴AD∥FG，
∵CF，AD是直径，
∴∠ACD＝∠CAF＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ADGF是平行四边形．
（2）解：∵∠AOF＝∠COD，
∴ ，
∴AF＝CD，
∵四边形ADGF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵AF：BC＝3：8，
∴BG：DG＝2：3，
∵EG∥AD，
∴ ，
∵BE＝4，
∴AE＝AC＝6，
∴AB＝10，BC＝ ＝8，
∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，
∴CD＝GD＝3，BG＝2，
∴AD＝ ＝3 ，
∴⊙O的直径为3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；垂径定理；圆周角定理；平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AD⊥CE，然后根据圆周角定理求出FG⊥CE，可得AD∥FG，根据直径所对的圆周角是直角求出∠CAF+∠ACD＝180°，可得AF∥BC，从而证出四边形ADGF是平行四边形．
(2) 根据平行四边形的性质和圆心角和弦的关系求出AF=CD=DG，可得BG：DG=2： 3，利用平行线分线段成比例定理求出AE、AC，再利用勾股定理求出BC、CD，即可求出结果.
25．【答案】（1）解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴DE=，
设圆的半径为r，则OE=5-r，
∵OE2+DE2=OD2即
解之：r=3.
（2）解：EF=1
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：（2）连接CB，作点B关于CD的对称点F，点F就是所求作的点.
∴∠FCD=∠BCD，BE=EF
∵弧BD=弧BD
∴∠BCD=∠FCD=∠BOD
∵OE=5-3=2，
∴EF=BE=OB-OE=3-2=1.
【分析】（1）利用垂径定理求出DE的长，设圆的半径为r，再利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）连接BC，作点B关于CD的对称点F，点F就是所求作的点；利用圆周角定理可证得∠FCD=∠BOD；再求出OE的长，根据EF=BE=OB-OE，代入计算求出EF的长.
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