湘教版初中数学九年级下册2.4过不共线三点作圆 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC
∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴A、B、C、D四点共圆
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ADB是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=60°
∵DM=DC
∴△DMC是等边三角形
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC
∴∠ADM=∠BDC
∵AD=BD
∴△ADM≌△BDC
∴AM=BC
∴AC=AM+MC=BC+CD
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC
∵AD=AB=6
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大
∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大
此时C点在 中点处
∴∠CAB=30°
∴AC最大值=AB÷cos30°=4
∴CB＋CD最大为AC=4 .
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，在AC上取一点M，使得DM=DC，则A、B、C、D四点共圆，易得△ADB是等边三角形，得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△DMC是等边三角形，则∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，证明△ADM≌△BDC，得到AM=BC，推出当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大，此时C点在中点处，则∠CAB=30°，利用三角函数的概念求出AC的最大值，据此解答.
2．（2021九上·拱墅期中）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、符合外心的定义，故原命题正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
C、平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误；
D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误.
故答案为：A.
【分析】根据外心的定义、确定一个圆的条件，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系逐一判断即可.
3．（2021九上·灌云期中）如图，在 中， ∠ACB=90°， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 .
，
长度的最小值 .
故答案为：A.
【分析】以AC为直径作圆，圆心为M，作MF⊥AB于点F，由题意知∠AEC=90°，连接BM与圆相交于点E，此时BE取得最小值，在Rt△BCM中，应用勾股定理求出BM，据此求解.
4．（2021九上·灌云期中）如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°.在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣140°＝40°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；
在 上取一点E，连接AE、BE，
∴∠AEB＝∠ACB＝140°.
故答案为：D.
【分析】作直径AD，连接BD、AB，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠D＝180°，求出∠D的度数，根据圆周角定理可得∠ABD＝90°，求出∠BAD的度数，在上取一点E，连接AE、BE，则∠AEB＝∠ACB，据此解答.
5．（2021九上·宿迁月考）给出下列命题：①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆上两点间的线段叫弧；⑤过圆心的线段是直径；⑥直角三角形的三个顶点在同一个圆上.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】圆的认识；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，故弦不一定是直径，原说法错误；
②圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，原说法正确；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧叫做等弧，原说法错误；
④圆上两点间的线段叫弦，原说法错误；
⑤过圆心的弦是直径，原说法错误；
⑥直角三角形的三个顶点共圆，都在以斜边的一半为半径的圆上，原说法正确；
∴正确的有②⑥两个，
故答案为：C.
【分析】根据弦的定义，可对 ① 作出判断；根据弧的定义对②作判断；等弧必须在同圆或等圆中，则可对③作出判断；圆上两点间的线段叫弦，而不是弧，可对④作判断； 过圆心的线段不一定是弦，而直径是弦，可对⑤ 作判断；每个三角形都有一个外接圆，对⑥作判断.
6．（2021九上·镇海月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线必须过圆心 B．平分弦的直径垂直于弦
C．平分弧的直径平分弧所对的弦 D．三点确定一个圆
【答案】C
【知识点】垂径定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、垂直于弦的直线不一定过圆心，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
C、平分弧的直径平分弧所对的弦，正确，符合题意；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】垂直于弦的直线不一定过圆心，据此判断A；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断B；平分弧的直径平分弧所对的弦，据此判断C；不在同一直线上的三点确定一个圆，据此判断D.
7．（2021·梧州）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3 4 B．12 C．6+3 D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于 则四边形 是矩形，
是等边三角形，
故答案为：A
【分析】作△ABC的外接圆圆D， 连接DA，DB，DC，过点D作DH⊥x轴于点H， 作DG⊥y 轴于点G，则四边形DGOH是矩形，利用点的坐标可求出AB的长，∠ADB=60°，同时可证得DA=DB，可推出△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AG，BG的长，利用勾股定理求出DG的长；从而可求出OH，DH的长，利用勾股定理求出CH的长，然后根据OC=OH+CH，可求出OC的长，即可得到点C的坐标.
8．（2021九下·樊城期中）有一题目：“已知，点 为 的外心， ，求 .”
嘉嘉的解答为：如图，画 以及它的外接圆 ，连接 ， .由 ，得 .
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， 还应有另一个不同的值.”
下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且 的另一个值是115°
B．淇淇说的不对， 就得65°
C．嘉嘉求的结果不对， 应得80°
D．两人都不对， 应有3个不同的值
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
当点A在优弧BAC上时，
∠BOC=2∠A
∴∠A=∠BOC=×130°=65°；
当点A在劣弧BC上时
∵∠A+∠A1=180°，
∴∠A1=180°-65°=115°.
∠A的度数为：65°或115°
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：当点A在优弧BAC上时，利用圆周角定理可得到∠BOC=2∠A，即可求出∠A的度数；当点A在劣弧BC上时，利用圆内接四边形的性质，可求出∠A的度数，即可作出判断.
9．（2021·泸县）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论： （其中R为△ABC的外接圆半径）成立.在△ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
由题意可知 ，
∴ ，
∴S圆= .
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= ，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD= ，
∴AD=OAcos30°，
∴OA= ，
∴S圆= .
故答案为：A.
【分析】法一：利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数，然后代入可求出R的值；然后利用圆的面积公式可求出结果；法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，利用圆周角定理求出∠AOB的度数，即可求出∠OAB的度数，利用解直角三角形求出AD的长及OA的长；然后利用圆的面积公式可求解.
10．（2021·淮安模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
∴∠D＝30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝2AB＝8，
∴⊙O的半径为4.
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角和三角形内角和可得∠C＝30°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝30°，根据直径所对的圆周角是直角和30°所对直角边等于斜边的一半可得结果.
二、填空题
11．（2021九上·南开期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，4），C（6，2）．
（Ⅰ）若经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心为M，
点M的坐标为 ；⊙M的半径为 ；
（Ⅱ）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 个格点．
【答案】（2，0）；2 ；8
【知识点】点与圆的位置关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：（Ⅰ）如图，点M即为所求．
M（2，0），MA＝ ．
故答案为：（2，0），2 ．
（Ⅱ）如图，满足条件的点有8个．
故答案为：8．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出MA的值，再求解即可；
（Ⅱ）根据图象求点即可。
12．（2021九上·镇海月考）在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OB交对称轴于点O′.
∵抛物线的对称轴x=2，A（0，2），A，B关于对称轴对称，
∴B（4，2），
∵△ABC的外接圆经过原点O，
∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′，
∴O′（2，1），
∴OB= =2 ，
∴O′C= ，
∴点C坐标为（2，1- ），
∴1- =4a-8a+2，
∴a= .
故答案为： .
【分析】连接OB交对称轴于点O′，易得B（4，2），O′（2，1），利用勾股定理求出OB，进而得到O′C，求出点C的坐标，然后代入抛物线解析式中就可得到a.
13．（2021九上·江干月考）已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ .
【答案】6.5cm
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ，
是直角三角形，
则 外接圆半径是斜边的一半，即为 cm；
故答案为：6.5cm.
【分析】由题意先计算52、122、132的值，再由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后由直角三角形的外接圆半径=x斜边可求解.
14．（2021九上·高港月考）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为 .
【答案】3 +3
【知识点】垂线段最短；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC.
当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大.
∵∠MON＝45°，
∴∠CO'A＝45°，
∴∠CPA＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴QA＝QC＝ AC＝3，
∴PQ＝ AC＝3，
PA＝ QA＝3 ，
OP＝AP＝3 ，
∴O'Q＝OP+PQ＝3 +3.
故答案为：3 +3.
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC；由题意知：当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大。根据O'Q＝OP+PQ可求解.
15．（2021·红桥模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．
（1） 的长等于 ；
（2）M是线段 与网格线的交点，P是 外接圆上的动点，点N在线段 上，且满足 ．当 取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】（1）
（2）取格点D，连接 并延长，与圆相交于点E，连接 ；取格点F，G，连接 与网格线相交于点H，连接 与圆相交于点I，连接 与 相交于点O；连接 并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：(1) ，
故答案为： ，
(2)由题意可知，CP=3MN，当CP为直径时，MN最大，故确定圆心即可，如图所示，取格点D，以BD、AB为斜边的两个网格直角三角形全等，可得∠ABE=90°，AE为直径，同理，以BC、CH为斜边的两个直角三角形相似，可得∠BCI=90°，BI为直径，所以，O为圆心，此时，CP最大；
故答案为：取格点D，连接 并延长，与圆相交于点E，连接 ；取格点F，G，连接 与网格线相交于点H，连接 与圆相交于点I，连接 与 相交于点O；连接 并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求．
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2） 取格点D，连接 并延长，与圆相交于点E，连接 ；取格点F，G，连接 与网格线相交于点H，连接 与圆相交于点I，连接 与 相交于点O；连接 并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求 .
16．（2020九上·望江期末） 中， ， ， ，则 的外接圆半径长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AB2+AC2=92+402=412，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠A=90°，
∴△CAB是直角三角形，
其外接圆的半径是 cm，
故答案为： cm．
【分析】在 中， ， ， ，可判断△CAB是直角三角形，再由直角三角形的斜边是他外接圆的直径，求解即可。
三、解答题
17．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
【答案】解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为：y=x-.
将x=2代入得：y=×2-=.
∴A点不在直线BC上，
∴A、B、C三点不共线，
∴A、B、C三点可以确定一个圆.
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆.
18．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．
【答案】解：设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，
由A（2，3），B（﹣3，﹣7），
得 ，
解得 ．
∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x﹣1；
当x=5时y=2x﹣1=2×5﹣1=9≠11，
所以点C（5，11）不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一直线上，
因为“两点确定一条直线”，
所以A，B，C三点可以确定一个圆
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（﹣3，﹣7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．
19．已知直线l：y=x+4和点A（0，4），B（﹣4，0），设点C为直线l上一点，判断A，B，C是否在同一个圆上．
【答案】解：当x=0时，y=x+4=4，则点A（0，4）在直线y=x+4上；
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，则点B（﹣4，0）在直线y=x+4上，
而点C在直线y=x+4上，
所以点A、B、C不在同一个圆上
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征判断点A、B都在直线y=x+4上，然后根据确定圆的条件即可判断C、A、B不在同一个圆上．
四、综合题
20．（2019九上·长春期中）若x、x＋1、5为一个直角三角形的三条边长，回答下列问题：
（1）求x的值；
（2）求此三角形外接圆的半径．
【答案】（1）解：∵x＋1＞x，
∴x为直角边长，
当x＋1为斜边长时，
，
解得x＝12，
当5为斜边长时，
，
解得 （舍去）， ，
∴x＝12或3；
（2）解：∵直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，
当x＋1为斜边长时，x＝12，x＋1＝13，此三角形外接圆半径为 ，
当5为斜边长时，此三角形外接圆半径为 ，
综上：此三角形的外接圆半径为 或 .
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）分x+1为斜边和5为斜边两种情况，运用勾股定理列出方程求解即可；（2）根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，分两种情况求解.
21．（2021九上·建德期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若 是等腰三角形，设底边 ，腰 ，求圆片的半径R.
【答案】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求的圆心
（2）解：连接AO，OB，BC
∵BC=8cm，
∴BD=4cm，
∵AB=5cm，
∴AD= =3cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-3）cm，
∴R2=42+（R-3）2，
解得：R= ，
∴圆片的半径R为 .
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC ，BC交OA于点D，根据垂径定理和勾股定理可得AD的长度，故可得OD的长度，根据勾股定理可得OB的长度.
22．（2021·梧州模拟）已知：如图， 的高 、 相交于点 ， .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的外接圆半径.
【答案】（1）证明：在△ABC中，
∵∠BAC=45°，CE⊥AB，AD⊥BC，
∴AE=CE，∠EAH+∠B=∠ECB+∠B=90°，
∴∠EAH=∠ECB，
在△AEH和△CEB中，
，
∴△AEH≌△CEB（ASA）；
（2）解：作 的外接圆 ，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： 的外接圆 的半径是1.
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由题意可得 AE=CE ， ∠EAH=∠ECB， 易证得 △AEH≌△CEB（ASA）；
（2）作 的外接圆 ，连接 、 ， 利用三角形全等的性质可得 ， 利用勾股定理得出 ， 即得出结果.
23．（2021九上·临海期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A(1，0)，B(5，1)，C(2，4)
（1）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°所得的△AB1C1，并写出点C1的坐标;
（2）在(1)的条件下，直接写出△BB1C1的外接圆圆心的坐标.
【答案】（1）解：如图，
看图即知C1（-3,1）；
（2）（1,0）
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）∵AB==，AC==，AB1==，
∴AB=AC=AB1，
∴A为△BB1C1的外接圆圆心，
坐标为（1,0）.
【分析】（1）分别将AB、AC逆时针转过90°，然后顺次连接A、B1、C1即可；再看图可直接得出C1点坐标；
（2）利用勾股定理分别求出AB、AC与AB1的长，由于AB=AC=AB1，得出A为△BB1C1的外接圆圆心，读出其坐标即可.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.4过不共线三点作圆 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
2．（2021九上·拱墅期中）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
3．（2021九上·灌云期中）如图，在 中， ∠ACB=90°， cm， cm. 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于 ，连接 ，在点 变化的过程中，线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2021九上·灌云期中）如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°.在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021九上·宿迁月考）给出下列命题：①弦是直径；②半圆是弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆上两点间的线段叫弧；⑤过圆心的线段是直径；⑥直角三角形的三个顶点在同一个圆上.其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2021九上·镇海月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线必须过圆心 B．平分弦的直径垂直于弦
C．平分弧的直径平分弧所对的弦 D．三点确定一个圆
7．（2021·梧州）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3 4 B．12 C．6+3 D．6
8．（2021九下·樊城期中）有一题目：“已知，点 为 的外心， ，求 .”
嘉嘉的解答为：如图，画 以及它的外接圆 ，连接 ， .由 ，得 .
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， 还应有另一个不同的值.”
下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且 的另一个值是115°
B．淇淇说的不对， 就得65°
C．嘉嘉求的结果不对， 应得80°
D．两人都不对， 应有3个不同的值
9．（2021·泸县）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论： （其中R为△ABC的外接圆半径）成立.在△ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·淮安模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题
11．（2021九上·南开期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，4），C（6，2）．
（Ⅰ）若经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心为M，
点M的坐标为 ；⊙M的半径为 ；
（Ⅱ）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 个格点．
12．（2021九上·镇海月考）在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为 .
13．（2021九上·江干月考）已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝ .
14．（2021九上·高港月考）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为 .
15．（2021·红桥模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．
（1） 的长等于 ；
（2）M是线段 与网格线的交点，P是 外接圆上的动点，点N在线段 上，且满足 ．当 取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
16．（2020九上·望江期末） 中， ， ， ，则 的外接圆半径长是 ．
三、解答题
17．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
18．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆．
19．已知直线l：y=x+4和点A（0，4），B（﹣4，0），设点C为直线l上一点，判断A，B，C是否在同一个圆上．
四、综合题
20．（2019九上·长春期中）若x、x＋1、5为一个直角三角形的三条边长，回答下列问题：
（1）求x的值；
（2）求此三角形外接圆的半径．
21．（2021九上·建德期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若 是等腰三角形，设底边 ，腰 ，求圆片的半径R.
22．（2021·梧州模拟）已知：如图， 的高 、 相交于点 ， .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的外接圆半径.
23．（2021九上·临海期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A(1，0)，B(5，1)，C(2，4)
（1）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°所得的△AB1C1，并写出点C1的坐标;
（2）在(1)的条件下，直接写出△BB1C1的外接圆圆心的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC
∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴A、B、C、D四点共圆
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ADB是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=60°
∵DM=DC
∴△DMC是等边三角形
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC
∴∠ADM=∠BDC
∵AD=BD
∴△ADM≌△BDC
∴AM=BC
∴AC=AM+MC=BC+CD
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC
∵AD=AB=6
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大
∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大
此时C点在 中点处
∴∠CAB=30°
∴AC最大值=AB÷cos30°=4
∴CB＋CD最大为AC=4 .
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，在AC上取一点M，使得DM=DC，则A、B、C、D四点共圆，易得△ADB是等边三角形，得到∠ABD=∠ACD=60°，推出△DMC是等边三角形，则∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，证明△ADM≌△BDC，得到AM=BC，推出当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大，此时C点在中点处，则∠CAB=30°，利用三角函数的概念求出AC的最大值，据此解答.
2．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、符合外心的定义，故原命题正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
C、平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误；
D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误.
故答案为：A.
【分析】根据外心的定义、确定一个圆的条件，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
由题意知， ，
在以 为直径的 的 上（不含点 、可含点 ，
最短时，即为连接 与 的交点（图中点 点），
在 中， ， ，则 .
，
长度的最小值 .
故答案为：A.
【分析】以AC为直径作圆，圆心为M，作MF⊥AB于点F，由题意知∠AEC=90°，连接BM与圆相交于点E，此时BE取得最小值，在Rt△BCM中，应用勾股定理求出BM，据此求解.
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：作直径AD，连接BD、AB，如图，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣140°＝40°，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠D＝50°；
在 上取一点E，连接AE、BE，
∴∠AEB＝∠ACB＝140°.
故答案为：D.
【分析】作直径AD，连接BD、AB，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠D＝180°，求出∠D的度数，根据圆周角定理可得∠ABD＝90°，求出∠BAD的度数，在上取一点E，连接AE、BE，则∠AEB＝∠ACB，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】圆的认识；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，故弦不一定是直径，原说法错误；
②圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，原说法正确；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧叫做等弧，原说法错误；
④圆上两点间的线段叫弦，原说法错误；
⑤过圆心的弦是直径，原说法错误；
⑥直角三角形的三个顶点共圆，都在以斜边的一半为半径的圆上，原说法正确；
∴正确的有②⑥两个，
故答案为：C.
【分析】根据弦的定义，可对 ① 作出判断；根据弧的定义对②作判断；等弧必须在同圆或等圆中，则可对③作出判断；圆上两点间的线段叫弦，而不是弧，可对④作判断； 过圆心的线段不一定是弦，而直径是弦，可对⑤ 作判断；每个三角形都有一个外接圆，对⑥作判断.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、垂直于弦的直线不一定过圆心，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
C、平分弧的直径平分弧所对的弦，正确，符合题意；
D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】垂直于弦的直线不一定过圆心，据此判断A；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断B；平分弧的直径平分弧所对的弦，据此判断C；不在同一直线上的三点确定一个圆，据此判断D.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于 则四边形 是矩形，
是等边三角形，
故答案为：A
【分析】作△ABC的外接圆圆D， 连接DA，DB，DC，过点D作DH⊥x轴于点H， 作DG⊥y 轴于点G，则四边形DGOH是矩形，利用点的坐标可求出AB的长，∠ADB=60°，同时可证得DA=DB，可推出△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AG，BG的长，利用勾股定理求出DG的长；从而可求出OH，DH的长，利用勾股定理求出CH的长，然后根据OC=OH+CH，可求出OC的长，即可得到点C的坐标.
8．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
当点A在优弧BAC上时，
∠BOC=2∠A
∴∠A=∠BOC=×130°=65°；
当点A在劣弧BC上时
∵∠A+∠A1=180°，
∴∠A1=180°-65°=115°.
∠A的度数为：65°或115°
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：当点A在优弧BAC上时，利用圆周角定理可得到∠BOC=2∠A，即可求出∠A的度数；当点A在劣弧BC上时，利用圆内接四边形的性质，可求出∠A的度数，即可作出判断.
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
由题意可知 ，
∴ ，
∴S圆= .
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= ，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD= ，
∴AD=OAcos30°，
∴OA= ，
∴S圆= .
故答案为：A.
【分析】法一：利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数，然后代入可求出R的值；然后利用圆的面积公式可求出结果；法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，利用圆周角定理求出∠AOB的度数，即可求出∠OAB的度数，利用解直角三角形求出AD的长及OA的长；然后利用圆的面积公式可求解.
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
∴∠D＝30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝2AB＝8，
∴⊙O的半径为4.
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角和三角形内角和可得∠C＝30°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D＝30°，根据直径所对的圆周角是直角和30°所对直角边等于斜边的一半可得结果.
11．【答案】（2，0）；2 ；8
【知识点】点与圆的位置关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：（Ⅰ）如图，点M即为所求．
M（2，0），MA＝ ．
故答案为：（2，0），2 ．
（Ⅱ）如图，满足条件的点有8个．
故答案为：8．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出MA的值，再求解即可；
（Ⅱ）根据图象求点即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OB交对称轴于点O′.
∵抛物线的对称轴x=2，A（0，2），A，B关于对称轴对称，
∴B（4，2），
∵△ABC的外接圆经过原点O，
∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′，
∴O′（2，1），
∴OB= =2 ，
∴O′C= ，
∴点C坐标为（2，1- ），
∴1- =4a-8a+2，
∴a= .
故答案为： .
【分析】连接OB交对称轴于点O′，易得B（4，2），O′（2，1），利用勾股定理求出OB，进而得到O′C，求出点C的坐标，然后代入抛物线解析式中就可得到a.
13．【答案】6.5cm
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ，
是直角三角形，
则 外接圆半径是斜边的一半，即为 cm；
故答案为：6.5cm.
【分析】由题意先计算52、122、132的值，再由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后由直角三角形的外接圆半径=x斜边可求解.
14．【答案】3 +3
【知识点】垂线段最短；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC.
当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大.
∵∠MON＝45°，
∴∠CO'A＝45°，
∴∠CPA＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴QA＝QC＝ AC＝3，
∴PQ＝ AC＝3，
PA＝ QA＝3 ，
OP＝AP＝3 ，
∴O'Q＝OP+PQ＝3 +3.
故答案为：3 +3.
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC；由题意知：当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大。根据O'Q＝OP+PQ可求解.
15．【答案】（1）
（2）取格点D，连接 并延长，与圆相交于点E，连接 ；取格点F，G，连接 与网格线相交于点H，连接 与圆相交于点I，连接 与 相交于点O；连接 并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：(1) ，
故答案为： ，
(2)由题意可知，CP=3MN，当CP为直径时，MN最大，故确定圆心即可，如图所示，取格点D，以BD、AB为斜边的两个网格直角三角形全等，可得∠ABE=90°，AE为直径，同理，以BC、CH为斜边的两个直角三角形相似，可得∠BCI=90°，BI为直径，所以，O为圆心，此时，CP最大；
故答案为：取格点D，连接 并延长，与圆相交于点E，连接 ；取格点F，G，连接 与网格线相交于点H，连接 与圆相交于点I，连接 与 相交于点O；连接 并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求．
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2） 取格点D，连接 并延长，与圆相交于点E，连接 ；取格点F，G，连接 与网格线相交于点H，连接 与圆相交于点I，连接 与 相交于点O；连接 并延长，与圆相交于点P，则点P即为所求 .
16．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵AB2+AC2=92+402=412，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠A=90°，
∴△CAB是直角三角形，
其外接圆的半径是 cm，
故答案为： cm．
【分析】在 中， ， ， ，可判断△CAB是直角三角形，再由直角三角形的斜边是他外接圆的直径，求解即可。
17．【答案】解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为：y=x-.
将x=2代入得：y=×2-=.
∴A点不在直线BC上，
∴A、B、C三点不共线，
∴A、B、C三点可以确定一个圆.
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆.
18．【答案】解：设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，
由A（2，3），B（﹣3，﹣7），
得 ，
解得 ．
∴经过A，B两点的直线解析式为y=2x﹣1；
当x=5时y=2x﹣1=2×5﹣1=9≠11，
所以点C（5，11）不在直线AB上，
即A，B，C三点不在同一直线上，
因为“两点确定一条直线”，
所以A，B，C三点可以确定一个圆
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（2，3），B（﹣3，﹣7）代入即可求出其解析式，再把C（5，11）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．
19．【答案】解：当x=0时，y=x+4=4，则点A（0，4）在直线y=x+4上；
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，则点B（﹣4，0）在直线y=x+4上，
而点C在直线y=x+4上，
所以点A、B、C不在同一个圆上
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征判断点A、B都在直线y=x+4上，然后根据确定圆的条件即可判断C、A、B不在同一个圆上．
20．【答案】（1）解：∵x＋1＞x，
∴x为直角边长，
当x＋1为斜边长时，
，
解得x＝12，
当5为斜边长时，
，
解得 （舍去）， ，
∴x＝12或3；
（2）解：∵直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，
当x＋1为斜边长时，x＝12，x＋1＝13，此三角形外接圆半径为 ，
当5为斜边长时，此三角形外接圆半径为 ，
综上：此三角形的外接圆半径为 或 .
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）分x+1为斜边和5为斜边两种情况，运用勾股定理列出方程求解即可；（2）根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，分两种情况求解.
21．【答案】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求的圆心
（2）解：连接AO，OB，BC
∵BC=8cm，
∴BD=4cm，
∵AB=5cm，
∴AD= =3cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-3）cm，
∴R2=42+（R-3）2，
解得：R= ，
∴圆片的半径R为 .
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC ，BC交OA于点D，根据垂径定理和勾股定理可得AD的长度，故可得OD的长度，根据勾股定理可得OB的长度.
22．【答案】（1）证明：在△ABC中，
∵∠BAC=45°，CE⊥AB，AD⊥BC，
∴AE=CE，∠EAH+∠B=∠ECB+∠B=90°，
∴∠EAH=∠ECB，
在△AEH和△CEB中，
，
∴△AEH≌△CEB（ASA）；
（2）解：作 的外接圆 ，连接 、 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： 的外接圆 的半径是1.
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由题意可得 AE=CE ， ∠EAH=∠ECB， 易证得 △AEH≌△CEB（ASA）；
（2）作 的外接圆 ，连接 、 ， 利用三角形全等的性质可得 ， 利用勾股定理得出 ， 即得出结果.
23．【答案】（1）解：如图，
看图即知C1（-3,1）；
（2）（1,0）
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）∵AB==，AC==，AB1==，
∴AB=AC=AB1，
∴A为△BB1C1的外接圆圆心，
坐标为（1,0）.
【分析】（1）分别将AB、AC逆时针转过90°，然后顺次连接A、B1、C1即可；再看图可直接得出C1点坐标；
（2）利用勾股定理分别求出AB、AC与AB1的长，由于AB=AC=AB1，得出A为△BB1C1的外接圆圆心，读出其坐标即可.
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